概率度量空间中调和映象对的公共不动点定理

张树义，张芯语

（渤海大学数理学院，辽宁 锦州 121013）

1 预备知识

Istratescu 等[1]引入并研究了非阿基米德Menger概率度量空间和一些拓补性质。随后许多人在非阿基米德Menger 概率度量空间建立了一些不动点存在性定理[2−18]。文献[12,19 − 20]研究了概率度量空间的度量化问题。文献[21]在度量空间引入集值映象与单值映象对的调和概念，证明了一类调和映象对的公共不动点以及随机不动点的存在性定理。本文的目的是在非阿基米德概率度量空间中建立一类积分型调和映象对公共不动点的存在性定理，从而改进和推广以往的研究结果。

定义1[9]映象f:R=(−∞,+∞)→R+=[0,+∞)称为分布函数，如果它是不减的，左连续的，

定义2[7 − 8]设X是非空集，D为全体分布函数，F:X×X→D,称(X,F)为非阿基米德概率度量空间，若满足下面条件（对x,y∈X,分布函数F(x,y)记为Fx,y，Fx,y(t)表示Fx,y在t∈R的 值)：

1）Fx,y(t)=1,∀t＞0,当且仅当x=y；

2）Fx,y=Fy,x,∀x,y∈X；

3）Fx,y(0)=0,∀x,y∈X；

4）若Fx,y(t)=1,Fy,z(s)=1，则Fx,z(max{t,s})=1,∀x,y,z∈X。

定义3[9]映象∆:[0,1]×[0,1]→[0,1]称为三角范数，如果满足以下条件：

1）∀a∈[0,1],∆(a,1)=a；

2）∀a,b∈[0,1],∆(a,b)=∆(b,a)；

3）∀a,b,c,d∈[0,1],若a≥b,c≥d,有∆(a,c)≥∆(b,d)；

4）∀a,b,c∈[0,1],∆(a,∆(b,c))=∆(∆(a,b),c)。

定义4[7 − 8]三元组(X,F,∆)称为非阿基米德Menger 概率度量空间，若(X,F)是一非阿基米德概率度量空间，∆是满足下列条件的 ∆−范数：

5）Fx,z(max{t,s})≥∆,∀t,s∈[0,+∞),∀x,y,z∈X。

定义5[10]连续的三角范数 ∆称为阿基米德的，如果∆(t,t)＜t,∀t∈(0,1)。

引理1[11]∆为严格递增的阿基米德三角范数的充分必要条件是

其中g:[0,1]→[0,+∞)连续，严格递减，且g(1)=0,g(0)=+∞，g−1为g的伪逆，即g◦g−1(t)=t，∀t∈[0,+∞)。

引理2[12,13]设(X,F,∆)为非阿基米德Menger概率度量空间，∆为严格增的阿基米德三角范数，则∀x,y,z∈X,∀t＞0，有gFx,y(t)≤gFx,z(t)+gFz,y(t)，其中g满 足引理1。

定义6[14]设(X,F,∆)是具有连续三角范数的非阿基米德Menger 概率度量空间，(X,F,∆)中序列{xn}收敛于x当且仅当对∀ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整数集)，使得n≥N，有gFxn,x(ε)＜g(1−λ)。

定义7[15]设(X,F,∆)是具有连续三角范数的非阿基米德Menger 概率度量空间，(X,F,∆)中序列{xn}称为Cauchy 序列当且仅当对∀ε ＞0,λ ＞0，存在N(ε,λ)∈N(正整数集)，使得∀n,m≥N，有gFxn,xm(ε)＜g(1−λ)。(X,F,∆)称为完备的，如果每一Cauchy 序列{xn}在X中收敛。

设(X,d)是一度量空间，用CB(X)表示X的一切非空有界闭集的集合族，H表示CB(X)上的由度量d导出的Hausdorff 度量：

映象T:X→CB(X)称为是连续的，如果xn→x时，有。由文献[9]知，若(X,d)完备，则(CB(X),H)也是完备度量空间。

定义8[21]设(X,d)是一度量空间，映象f:X→X和T:X→CB(X)称为调和的，如果对∀x∈X，fT x∈CB(X)且当X中序列{xn}使得T xn→M∈CB(X)及f xn→ξ ∈M时，下面各极限存在且满足：1）若存在N＞0，使得当n＞N时有d(f xn,f xn+1)≤H(T xn,T xn−1)，那么

定义9[19]设(X,F)是PM 空间，A是X中非空子集，则称为A的 概率直径，若，则称A是概率有界的。

设(X,F,∆)是非阿基米德Menger 概率度量空间，用W(X)表示X中一切非空闭的概率有界集合。表示由F导出的Hausdorff 概率度量

引理3[19]设(X,F,∆)是Menger 概率度量空间，∆连续，则W(X),F˜,∆是Menger 概率度量空间。

将引理3 证明稍做修改，易知下面引理4 成立。

引理4设(X,F,∆)非阿基米德Menger 概率度量空间，∆连续，则W(X),F˜,∆也是非阿基米德Menger 概率度量空间。

若(X,F,∆)是非阿基米德Menger 概率度量空间，映象T:X→W称为连续的，如果xn→x时，有

定义10设(X,F,∆)是非阿基米德Menger 概率度量空间，映象f:X→X和T:X→W(X)称为调和的，如果对∀x∈X，fT x∈W(X)且当X中序列{xn}使得T xn→M∈W(X)及f xn→ξ ∈M时，下面各极限存在且满足：1）=0；2）若存在N＞0，使得当n＞N时有那么

注1设(X,d)是一度量空间，对∀x,y∈X,t＞0，在定义10 中取−1,∀x∈(0,1]，则g(1)=0,g(0)=+∞，于是可得定义8。且(X,F,∆)是完备的当且仅当(X,d)是完备的。若(X,d)是度量空间,则易知(X,F,∆)是非阿基米德Menger 概率度量空间，其中∆≥∆1=min{a+b−1,0}，特别地可取∆=min{a,b}，此时∆≥∆1=min{a+b−1,0}。是完备的当且仅当(CB(X),H)是完备的。又(X,d)是完备的，则(CB(X),H)也是完备的，于是由(X,d)完备性，则可推出(X,F,∆)与W(X),,∆是都完备的。

设h1={h|h:[0,+∞)→[0,+∞)，∀t≥0，其中hn(t)表h(t)的n次 迭代函数}。

Φ1=Φ|Φ:[0,∞)5→[0,∞)对每一变量是非减连续的函数，∀t∈[0,+∞),max{Φ(t,t,t,a1t,a2t)|a1,a2∈Z+,a1+a2=2}=h(t)满足(h1)，其中 Z+表示非负整数集。

例1定义函数H:[0,∞)5→[0,∞)为H(t1,t2,t3,t4,t5)=kt1(0 ＜k＜1)，则H对每一变量是非减的函数，h(t)=kt，易知h∈h1，因此H∈H1。

引理5[21]设h∈h1，则h(t)＜t，∀t＞0。

2 主要结果

定理1设(X,F,∆)是完备的非阿基米德Menger 概率度量空间，∆为严格增的阿基米德三角范数，f:X→X和T:X→W(X)是调和的连续映象，使得T(X)⊆f(X)，并且对∀x,y∈X，t＞0，有

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒贝格可积与可和的:∀a,b∈R+，且,ε ＞0，再设对∀x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得

注2文中附加完备性是可以满足的，例如当取注1 中的分布函数时,由(X,d)完备性,则可推出是完备的。又如由文献[20]或文献[19]定理4 知Menger 概率度量空间(X,F,∆)，当∆≥∆1=min{a+b−1,0}可在X上定义度量d

使得(X,d)成为度量空间，且(X,F,∆)是完备的(X,d)是完备的，进一步若(X,F,∆)是完备Menger 概率度量空间，∆≥∆1=min{a+b−1,0}，由文献[19]定理6 的推论知与(CB(X),H)均是完备的。

推论1设(X,F,∆)是完备的非阿基米德Menger 概率度量空间，∆为严格增的阿基米德三角范数，f:X→X和T:X→W(X)是调和的连续映象，使得T(X)⊆f(X)，并且对∀x,y∈X，t＞0，有

其中是从[0,+∞)到自身的递增函数且再设∀x∈X，u∈T x，存在v∈Tu，使得,∀t＞0f,T，则有公共不动点。

证明在定理1 中取ψ(t)=1,Φ(t1,t2,t3,t4,t5)=

设(X,d)是完备度量空间，对∀x,y∈X，t＞0，在定理1 中取−1,∀x∈(0,1]，∆=min{a,b}，则g(1)=0,g(0)=+∞，由注1 易知(X,F,∆)是完备非阿基米德Menger 概率度量空间，于是由定理1 可推出如下推论2 成立。

推论2设(X,d)是完备度量空间，f:X→X和T:X→W(X)是调和的连续映象，使得T(X)⊆f(X)，并且对∀x,y∈X，满足

其中Φ ∈Φ1，ψ:R+=[0,+∞)→R+是勒贝格可积与可和的：∀a,b∈R+，，再设对∀x∈X，∀u∈T x，存在v∈Tu，使，则f,T有公共不动点。

下面我们对推论2 随机化，得到积分型调和映象的随机不动点定理。

设(Ω,A)是可测空间，A为 Ω上的 σ−代数，B(X)表示度量空间X的一切Borel 子集的 σ−代数，φ:Ω →X称为可测映象,若对X中任意开集B，φ−1(B)∈A。映象J:Ω →2X称为可测映象，若对X中任意开集B，J−1(B)={ω ∈Ω;J(ω)∩B≠∅}∈A。T:Ω×X→2X称为随机映象,若对任x∈X，T(·,x)是可测映象。

定理2设(X,d)是完备可分的度量空间，(Ω,A)是完全的可测空间，f:Ω×X→X，T:Ω×X→W(X)是两连续随机映象，对∀ω ∈Ω，下列条件成立：(i)f(ω,·),T(ω,·)是调和的；(ii)T(ω,X)⊆f(ω,X)；(iii)对∀x,y∈X，有