概率考查知多少

吴永

一、考查概率的意义一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率。

例1 下列说法正确的是（ ）。

A“. 买中奖率为110 的奖券10 张，中奖”是必然事件

B.概率是1%的事件在一次试验中一定不会发生

C.襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨

D.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率为0.5

【解析】中奖率110 表示中奖的可能性为110，因此买奖券10张不一定中奖，选项A不正确;概率为1% 的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，选项B不正确;“明天的降水概率为70%”表示明天下雨的可能性为70%，因此明天不一定下雨，选项C不正确;抛掷一枚质地均匀的硬币两次，所有可能出现的结果为：①两次都是正面朝上，②两次都是反面朝上，③第一次正面朝上，第二次反面朝上，④第一次反面朝上，第二次正面朝上，它们都是等可能的，因此抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率为24=0.5，选项D正确。故选D。

【点评】概率反映了事件发生的可能性的大小，试验次数的多少不能决定事件一定发生，可能性大也不一定发生，可能性小也可能发生。

二、考查古典概型的概率一般地，如果一个试验有n 个等可能的结果，当其中的m 个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A 发生的概率P（A）=mn。

1. 一步概率一次试验只需一步操作即可完成，直接利用等可能条件下的概率公式求解。

例2 （2020·山东济宁）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图1所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”。其中第（1）个图案中有1 个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体……按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）。

A. 1100 B. 120 C. 1101 D. 2101

【解析】观察图案可知，第（1）个图案中正方体的个数为1，第（2）个图案中正方体的个数为3=1+2，第（3）个图案中正方体的个数为6=1+2+3…… 于是猜想，第（100）个图案中正方体的个数为1+2+3+…+99+100=（1 + 100 ）× 1002 =5050，其中带有“心”字的正方体个数为100，所以从第（100）个图案中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率为1005050= 2101。故选D。

2. 两步概率一次试验需要两步操作完成，先利用列表法（或画树状图法）列出所有可能出现的结果，再利用等可能条件下的概率公式求解。

例3 （2020·江西）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成員。小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级。现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试。

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为;

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或画树状图法求两名同学均来自八年级的概率。

【解析】（1）从4名同学中随机抽取一名同学，共有4种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中恰好抽到小艺同学有一种可能，所以恰好抽到小艺同学的概率为14。故填14。

（2）用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两名同学均来自八年级”记为事件A，它的发生有2种可能，所以事件A 发生的概率P（A）= 212=16。

3. 三步概率一次试验需要三步操作完成，先利用画树状图法列出所有可能出现的结果，再利用等可能条件下的概率公式求解。

例4 （2020·江苏镇江）智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义。例如：符号“ ”有刚毅的含义，符号“ ”有愉快的含义。符号中的“ ”表示“阴”，“ ”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义。所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同。

（1）所有这些三行符号共有种;

（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率。

【解析】（1）用树状图列出所有可能出现的结果：

所以所有这些三行符号共有8 种。故填8。

（2）由树状图可知，共有8 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”记为事件A，它的发生有3 种可能，所以事件A 发生的概率P（A）=38。

【点评】求古典概型的概率，关键是确定一次试验中所有可能出现的结果数以及其中某个事件发生可能出现的结果数。需要注意的是：第一步操作后是否放回，会影响第二步操作可能出现的结果数。如例3第（2）问中就隐含了抽取的第一名同学是“不放回”这个条件。

三、考查几何概型的概率试验等可能出现的结果是无限个，利用转化的数学思想，通过“划分”转化为有限个结果，进而利用“几何概型”中的等可能条件下的概率公式求解。

例5 （2020·山西）如图2是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形。将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）。

A.13

B.14

C.16

D.18

【解析】如图3所示画出分割线，设最小矩形的面积为S，则S 最大矩形=16S，S 阴影=4S，所以飞镖落在阴影区域的概率为4S16S=14。故选B。

【点评】试验等可能出现的结果数如果是无限个，较为常见的方案是转化为图形的面积或线段的长度等求解。

四、考查利用频率估计概率

在一定条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动。在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值。例6 （2020·江苏扬州）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用。如图4是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内。为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为cm2。

【解析】∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

∴点落入黑色部分的概率为0.6。设黑色部分的面积为S。

∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，

∴S4=0.6，解得S=2.4（cm2）。故填2.4。

【点评】同一试验的概率求法往往不唯一，有时我们可以采用“算两次”的数学方法来解决某些实际问题。需要注意的是：利用频率估计概率，必须在同一条件下进行，并且试验次数要足够多。

（作者单位：江苏省盐城市盐都区实验初中）