理解概念内涵 把握概念本质

王翠玲

数学概念是数学的基石。无论是数学本身的发展，还是解决数学问题，都需要运用到数学概念。“锐角三角函数”这一章的主要概念有：锐角三角函数的定义、解直角三角形、仰角与俯角、坡度与坡角。运用数学概念解决问题的前提是正确理解概念。但老师发现：同学们在数学学习中经常因为概念不清而导致“事故”频发。下面通过几个具体例子的剖析，谈谈在学习“锐角三角函数”时如何理解概念内涵，把握概念本质。

错误一：忽视前提

例1 如图1，已知AB=5，AC=4，BC=3，求厶4的正弦值。

【错解】因为BC=3，AC=4，AB=5，所以

。

【错因剖析】求一个锐角三角函数的前提条件是什么？我们知道，一个锐角的三角函数只与角的大小有关，与所在的三角形形状、大小无关。但初中锐角三角函数是在直角三角形中定义的。本题中求厶4的正弦值，是直角三角形中对边与斜边的比。该解法忽略了概念使用的前提条件是“△ABC是直角三角形”，根本原因是概念理解出现偏差。

【正解】因为BC=3，AC=4，AB=5，所以BC2+A C2=32+42=25，A82=25，所以BC2+AC2=AB2，所以∠C=90°，所以sinA=

。

错误二：审题不清

例2 如图2，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+6x-5的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，求∠ACB的正切值。

【错解】求得点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（5，0）、（0，-5），易得AB=4，AC=26，OB=OC=5，所以∠OBC=45°。作AD⊥BC，则AD=AB·sin45°=22，故在E Rt△ADC中，∠ACD的正切值为

。

【错因剖析】应该说，解题者思维灵活、方法独特。但我们要注意到，问题要求的是“∠ACB 的正切值”，而解题者求的

是AD与AC 的比，这个比实质上是∠ACD 的正弦值。导致这种错误可能是两种原因：一是审题不清，将正切看成了正弦;二是概念混淆，将正切理解为直角三角中锐角的对边与斜边的比，与正弦混淆。因此，解题中，既要注意认真看清题目的要求，也要理清数学概念。

【正解】求出CD=3 2，在Rt△ADC 中，tan∠ACD=

。

错误三：概念不清

例3 （2020·江苏泰州改编）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动。小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A 处测得在C 处的龙舟俯角为23°;他登高6m到正上方的B 处测得驶至D 处的龙舟俯角为50°。问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23° ≈0.42，tan40° ≈0.84，tan50° ≈1.19，tan67°≈2.36）

【错解】如图3，设直线CD 与AB 相交于点E。在△AEC 中，由∠E=90° 得tan∠CAE=

，故CE=AEtan∠CAE=15tan23°，同理DE=21tan50°，所以CD=CE-DE=15tan23°-21tan50°≈15×0.42-21×1.19=-18.69……至此无法解答。

【錯因剖析】将俯角理解为视线与铅垂线的夹角，属于概念理解错误。在测量中有一些专有名词概念，如俯角、仰角都是指视线与水平线的夹角。本题中“A 处测得在C 处的龙舟俯角为23°”“D 处的龙舟俯角为50°”，即图中分别过点A、B 作水平线AG、BH，其中俯角分别为∠GAC、∠HBD。另外，坡度是指斜坡的垂直高度与水平宽度的比，而坡角是坡面与水平面的夹角。还有一些概念是约定俗成的，如方向角，一般是视线与方向线的夹角，特别地，西北方向指北偏西45°的方向，等等。

【正解】如图4，在△AEC 中，由∠E=90°得tan∠CAE=

，故CE=AEtan∠CAE=15tan67°同理DE=21tan40°，所以CD=CE-DE=15tan67°-21tan40° ≈15×2.36-21×0.84=17.76≈18（m）。锐角三角函数沟通了直角三角形的边与角的数量关系，是解决图形问题的重要工具，而理清锐角三角函数概念本质，把握概念内涵，才是正确、合理、高效解决相关问题的前提。

（作者单位：江苏省睢宁县高级中学初中部）