严谨答题 深刻反思 有错必纠

戴回娟

不知同学们是否有这样的感受：“锐角三角函数”这一章在学习时并不感到困难，但到了做作业或考试时却经常出错。这方面的错误类型较多，下面列举部分典型错误，以期同学们引以为戒。

一、忽视范围致多解

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2-ab-b2=0，求tanA。

【错解】a2-ab-b2=0，所以，所以

。所以

或

。

【错因分析】这个解答错在哪里呢？一般来说，求出多解时要考虑是否都符合条件。显然，tanA不能为

。造成这一错误的原因是忽略了锐角三角函数值的范围。锐角三角函数值是直角三角形边的比值，所以sinA>O、cosA >O、tanA >O。更需要注意的是：当A为锐角时，O

【正解】求出

后，因为tanA>0，所以tanA=

。

因此，无论是在解题过程中还是解题结束后，我们都需要反思：这样的过程正确吗？概念运用正确吗？结果符合题干要求吗？符合实际意义吗？我们只有养成反思的习惯，才能提高自身的思维品质。

二、毫无根据地想当然

例2 如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC于点D，且AD=4，AC=2

，求sin∠CAB的值。

【错解】Rt△ACB中，因为AD=4，AC=2

，所以

=2，

。因为AD平分∠CAB，所以

。

【错因分析】这是错误地以为由角成倍数关系可以推出对应的三角函数值也成倍数关系，即由∠CAB=2∠CAD想当然地得到sin∠CAB=2sin∠CAD。这个判断正确吗？我们不妨看一个特例：60°=2×30°，而sin60°=

，很明显，sin60°≠2sin30°。其

实我们可以给出二倍角正弦关系的几何证明：如图2，△ABC内接于⊙0，其中AB为⊙0的直径，连接OC，作CDIAB，D为垂足，设∠A=a，则∠BOC=2a，则sin2a

由此可见sin2a≠2sina。产生这个错误的原因是解题无依据，全凭自己的想象。

【正解】Rt△ABC中，因为AD=4， AC=

，所以

，所以

，所以∠CA D=30°。因为AD平分∠CAB，所以∠CA B=60°，所以

。

数学是逻辑的科学，由数学的定义、公理、定理、公式、定律组成严密的逻辑体系。解题要言之有理、言而有据，形成理性精神。

三、考虑不周致漏解

例3 在△ABC中，AB=

，AC=13，

，則BC边的长为 。

【错解】17。

【错因分析】我们来看满足AB=12

、AC=13的△ABC是什么形状。由

得∠B=45°，如图3，作∠B=45°，在∠B一边上截取AB=

，过点A作另一边的垂线，D为垂足，可得△ABD为等腰直角三角形，从而AD=12。以A为圆心，13为半径画弧交直线BD于点C，由于AD

【正解】由上可知：在Rt△ADC中，CD=

。当点C在点D左侧时，BC=12-5=7;当点C在点D右侧时，BC=12+5 =17。综上所述，BC=7或17。

数学解题讲究严谨。由于考虑不周密、不严谨，我们在遇到图形问题时会因为位置不全而导致漏解，遇到代数问题时会因为没有排除而导致多解。所以解题时我们一定要以严谨的态度、踏实的精神，仔细思考、认真反思，确保解题过程完整、结果完美。 （作者单位：江苏省泰兴市实验初级中学）