利用“K字型”模型求点坐标

王春龙

一、“K字型”模型再认识

如图1，点B、E、C三点在同一条直线上，AB⊥BE，DC⊥CE，AE⊥ED，易证△ABE-△ECD。只要两个三角形的相似比及其中一个三角形的一边长已知，就可求出三角形所有边的长。

若将此图形置于平面直角坐标系中，且点E坐标已知（定点），那么通过相似求得EC、CD后，即可通过平移点E的坐标求得点D的坐标。

一般情况下，两个三角形的相似比不会直接给出，如图2，连接AD，若∠DAE是一个大小确定的角（定角），则根据tan∠DAE=DE/AE=k就可以确定△ECD和△ABE的相似比。如果AE和点E的坐标也已知，那么类比图1的方法也可求得点D的坐标。

因此，我们可以利用这个模型求点D的坐标。如果题目只告诉我们∠DAE的大小和该角一边上的点E的坐标，那么我们需要构造如图2这样的“K字型”解决问题。

模型建立：如图3，当一角确定（角度或该角的三角函数值确定）时，在该角的一边（由两个定点组成的边）上找到一已知坐标的点（除角的顶点外的另一个定点），过已知点作垂线与角的另一边相交，可构造直角三角形（这个直角三角形的形状和大小是确定的），然后过直角顶点所在直线构造“K字型”即可确定点D的坐标

二、利用“K字型”模型求点坐标

例1 （2019·江苏常州二模）已知，如图4，二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为该抛物线的顶点，点E（2，3）是抛物线上一点，连接AD、AE。若在该抛物线上有一点M，使得∠DA E=∠MCB。（1）略;（2）略;（3）求点M的坐标。

【分析】由（1）（2）的求解可知tan ∠DA E=1/3;第（3）问因为∠DA E=∠MCB，所以∠MCB是一个定角，又因为BC是一条定边，所以可套用模型，过定边BC上的点B作BF⊥BC，交CM的延长线于点F，然后以直角顶点B所在直线构造“K字型”求解。

【略解】分类讨论：①若M在BC上方（如图5）时，∠M1 CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM1的延长线于点F，过点F作FG⊥BG于点Go由△COB-△BGF得BG=FG=1。由B（3，0）平移得F（4，1），所以直线CF的表达式为y=- 1/2x+3，得交点M1（5/2，7/4）。②若M在BC下方（如图6）时，∠M2CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM2于点、F，作FH⊥BH，CQ⊥BQ，垂足为H、Q。同理可得M2（4，-5）。

【点评】过定角一边上的定点作垂线构造直角三角形是正确建立“K字型”模型的关键步骤。

例2 （2020·江苏常州二模）已知二次函数y=ax2+bx+6的图像开口向下（如图7），与x轴交于点A（-6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C。（1）略;（2）略;（3）如图8，该函数图像的顶点为D，在该函数图像上是否存在点E，使得∠EAB=2∠DA C？若存在，請直接写出点E的坐标;若不存在，请说明理由。

【分析】要使得∠EAB=2∠DAC，就要先确定∠EAB的大小。可以通过作点D关于AC的对称点构造2倍角，然后构造Rt△DHA确定tan∠DAH的大小。当∠EAB大小确定，在∠EAB的一边AB上过定点B作垂线即可解决问题。

【略解】作点D关于AC的对称点D'（如图9），连接AD'，作DH⊥AD'于点H。计算发现△DAC是一个直角三角形，然后在Rt△DAH中可得tan ∠DAH=3/4。由于∠EAB=2∠DAC，∠DA H=2∠DAC，所以∠EAB=∠DAH。分类讨论（如图10）：①过点B作BF⊥AB交AE1于点F，易得F（2，6），直线AF的表达式为Y=3/4x+9/2，得交点E1（1/2，39/8）;②过点B作BG⊥AB交AE2于点G，同理可得E2（7/2，-57/8）。

【点评】由于定角的一边在坐标轴上，所以此题的“K字型”模型简化成了一个直角三角形。此题求解的关键是构造得到2∠DAC的角，然后∠EAB才能符合模型中的定角原则。

例3 （2020·江苏常州）如图11，二次函数y=x2+bx+3的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（l，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD。（1）略;（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q，若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标;（3）略。

【分析】此题确定tan ∠ACB=2的方法和例2相同，但定角∠CQD的两边都不是定边，此时不符合模型所需的条件。因此我们可构造平行线转化角。如图12，过点C作CE∥BD交AB于点E，得到∠ECQ=∠CQD，而∠ECQ的一边CE是定边，此时构造模型解题。

【略解】①若Q在点D上方（如图12），过点C作CE∥BD交AB于点E，易求得点E（ 2.5，3），然后利用“K字型”相似求得点F（ 8.5，0），发现点F在x轴上，即点P是抛物线与x轴的交点，易得点P（3，O）;②若Q在点D下方（如图13），过点C作CE∥BD交y轴于点E，同理可得点F（4，-4），所以直线CF的表达式为y=一4/3x+4/3，最后求得交点P（5/3，-8/9）。

【点评】解决此题的关键是通过平行转化角，使得角的一边满足模型中的定边这一条件。

（作者单位：江苏省常州市金坛区茅麓中学）