全等、相似“手拉手”闯江湖

陈正亮

熟悉“全等”的江湖高手们想必都知道“手拉手”模型的大名，面对题目时也会“找条件，定模型”。一旦抓住它们的命门——四线共点，两两相等，夹角相等，问题就能迎刃而解。

条件：如图1，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠A0B=∠COD（夹角相等）。

结论：△OAC≌△OBD（SAS）。

结合特殊图形可以设计出很多问题，得出许多结论，譬如下面两个常见的例题。

例1 如图2，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P。结论：1.△ACD≌△BCE，△ACN≌△BCM，△M CE≌△NCD;2.△MNC是等边三角形;3.∠APB= ∠BPC= ∠CPD= ∠DPE=60°：4.PA+PC+PE的值最小（即点P是△ACE的费马点）。高手们可以自行验证以上结论。

例2 如图3，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确的是

（填序号）。

“手拉手”模型中，携手闯荡汀湖的又岂止一对全等三角形，其背后还活跃着一对相似的等腰三角形的身影，从图1中，你是否能发现它们的踪迹？提示：△OAB-△OCD。

例3 （2019.天津）如图4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（

）。

A.AC=AD

B.A B⊥EB

C.BC=DE

D.∠A =∠EBC

【解析】根据△ABC≌△DEC，可得△CAD和△CBE都是等腰三角形，且△CAD-△CBE，

∴∠A =∠EBC。故选D。

例4 （2017.江苏苏州）如图5，在矩形ABCD中，将∠ABC绕A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G。连接BB'、CC'。若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则CC/BB'=______。（结果保留根号）

【解析】连接AC、AC'，易证△ABB'-ACC'，可得CC'/BB=AC/AB，求出AB即可。

連接AG，设AB' =x，则B'G=x，DG=x-4，AG2=A B'2+B'G2=A D2+DG2，即x2+x2=72+（x-4）2，

解得x1=5 ，x2=-13（舍），∴CC'/BB=AC/AB=74/5。

例5 （2018.山东济南）在△ABC中，AB=AC，∠BA C=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠A CB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD、DE、AE。

（1）如图6，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数。

（2）如图7，当点D落在线段BC（不舍边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明;如果不成立，请说明理由。

（3）在（2）的条件下，若AB=6，求CF的最大值。

【解析】（1）易证△ABD≌△ACE，

∴∠BA D=∠CAE，AD=AE，

∴∠BA D-∠CAD=∠CAE-∠CAD，

即∠BAC=∠DAE，∴△ABC-△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=30°。

（2）成立。易证△ABD≌△ACE，

再证△ABC-△ADE，

∴∠ADE=∠ABC=30°。

（3）要求CF的最大值，就是求AF的最小值。

∵∠ADF=∠ACD.

∴△AFD-△ADC，∴AF/AD=AD/AC，

即AD2=AF·AC，

∵AC=A B=6，∴AF=AD2/6

显然当ADIBC时，AD取最小值为3，此时AF=3/2所以CF的最大值为9/2。

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）