巧分割 妙拼图

苑建广

本文出示了一个问题的解决方法及解决问题后的延伸思考，给大家提供了一个学习数学的有效方法。

问题：请你把任意一个凸四边形剪成四块。使这四块能拼接成一个矩形。

方法：如图1所示，ABCD是一个凸四边形。分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、Q、N、P，连结MN；再分别过点P、Q作PH₁⊥MN，QH₂⊥MN，垂足分别为H₁、H₂。此时，四边形ABCD被分割成四块。把四边形AMH₁P绕点P逆时针旋转180°，把四边形CNH₂Q绕点N顺时针旋转180°，再把四边形BQH₂M沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图2所示的矩形。

你知道如此剪拼能成功的道理吗?(可连结线段PM、PN、QM、QN得“中点∪PMQN”，证得MH₁=NH₂，MH₂=NH₁，进而分析可得)事实上，在图1中，当H₁为MN上任意一点时，连结PH₁，再过点Q作QH₂／／PH₁，交MN于点H₂(如图3)。在拼法不变的情况下，可得到平行四边形(如图4)。

继续思考，你能用其他方法将任意一个凸四边形剪成四块。使这四块能拼接成平行四边形吗?

如图5所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、O、N、P，连结MN、PQ交于点H。此时，四边形ABCD被分割成四块。把四边形AMHP绕点P逆时针旋转180°，把四边形CNHQ绕点N顺时针旋转180°，再把四边形BQHM沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图6所示的平行四边形。

如图7所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、O、N、P，连结PN，MQ，过点B作BH／／AD，交QM于点H。此时，四边形ABCD被分割成四块。把△PND绕点N逆时针旋转180°把△BQH绕点O顺时针旋转180°，再把△BMH绕点M逆时针旋转180°，即可拼接成如图8所示的平行四边形。

再继续思考，能否将任意一个凸四边形剪成五块，使这五块能拼接成矩形?这里出示一种方法：

如图9所示，分别取四条边AB、BC，CD、DA的中点M、Q、N、P，连结PN、QM；再分别过点D、B作DE⊥PN，BF⊥QM,垂足分别为E、F。此时，四边形ABCD被分割成五块。把△DNE绕点N逆时针旋转180°，把△DEP绕点P顺时针旋转180°，把△BQF绕点QN顺时针旋转180°，把△BFM绕点M逆时针旋转180°，即可拼接成如图10所示的矩形。

事实上，在图9中，当E为PN上任意一点时，连结DE，再过点B作BF∥DE，交MO于点F(如图11)。在拼法不变的情况下，可得到平行四边形(如图12)。

再继续思考，还有其他方法能将任意一个凸四边形剪成五块，使这五块能拼接成平行四边形吗?

如图13所示，分别取四条边AB、BC、CD、DA的中点M、O、N、P，连结PM、PN、QN、QM。此时，四边形ABCD被分割成五块。把△AMP绕点P逆时针旋转180°，把△CNQ绕点N顺时针旋转180°，再把△BQM沿射线BD的方向平移线段BD的长度，即可拼接成如图14所示的平行四边形。

简评：剪拼图形是一类有趣的数学问题，在思考过程中存在着极强的目的性，对提高思维品质有很大好处。

随着被剪图形形状的变化，拼接后的图形形状也会作相应的变化。如，当图5中凸四边形对角线互相垂直时，图6将变为菱形；当图13中凸四边形对角线互相垂直时，图14将变为矩形；而当图13中凸四边形对角线相等时，图14中的平行四边形邻边之比为1:2。