说零点问题
2021-03-15黑龙江省实验中学王晓红
黑龙江省实验中学 王晓红
题目：已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）
A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）
高考背景：
此题是2014年新课标I理科11题，是一道关于零点求参数范围问题.在近几年的高考中，零点问题频频出现，不仅出现于客观题中，考查考生对零点基础知识的理解与基本技能的掌握，而且渗透于主观题中，多与导数有机融合，考查考生的思辨能力、转化能力.该类型题的特征是：设问多样、隐显分明、注重基础、适度交汇，其解法要因题择法，既要重视定义、定理、构造等代数方法，又要强调数与形的转化思想.事实上，教材概述零点问题，就给零点赋以“形”与“数”的双刃面，这不仅拓展了知识理解的深度，而且提升了问题解答的宽度.
知识准备：
1.函数零点的定义.
一般地，如果函数y＝f（x）在实数a处的值等于零，即f（a）＝0，则a叫作这个函数的零点.
2.几个等价关系.
方程f（x）＝0有实数根？函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.
解题方法：
题目：已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）
A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）
解法一：一个函数讨论画图象.
函数y＝f（x）的零点，即y＝f（x）函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
①a＝0时，f（x）＝-3x2+1，易知舍去.
②a＞0时，f（x）＝0则
x （-∞，0）0（0，2 a） 2 a （2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） ↑ ↑a↑
由图象可知函数f（x）存在负数零点，此时不满足题意.
③a＜0时，
x（-∞，2 a）2 a （2，0）0（0，+∞）f（x） - 0 + 0 -f（x） ↑a↑↑
由图可知函数f（x）的极大值为f（0）＝1＞0，所以只需f（x）的极小值，所以a＜-2.
综上所述，a的取值范围是（-∞，-2）.
解法二：转化为方程的根，然后参量变量分离.
函数f（x）的零点，即函数y＝f（x）的图象与轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为方程f（x）＝0的根.转化为ax3-3x2+1＝0有唯一根，且此根为，设奇函数）
x（0，1） 1（1，+∞）y' + 0 -y ↑ ↑
x→0时，y→-∞.
x→+∞时，y→0.
由图可知，a＜-2.
解法三：转化为方程的根，然后化为两个函数图象交点个数问题.
函数y＝f（x）的零点，即函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.因此，求函数的零点问题可转化为y＝f（x）函数的图象与轴x交点的横坐标，或将方程f（x）＝0整理成f1（x）＝f2（x）的形式，然后在同一直角坐标系下，画出函数y＝f1（x），y＝f2（x）的图象，交点的横坐标即为函数f（x）的零点，交点的个数即为函数f（x）的零点个数.
y＝ax-3与相切时，斜率为±2，由题意可知a＜-2.
归纳说明：化为两个函数时，选择曲线对曲线不易控制，选择直线对曲线相对容易.
比对三种方法，分析哪个方法更适合本题.
变式训练：
变式（1）已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是 .
变式（2）已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有三个零点，则a的取值范围是 .
变式（3）已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）在区间[0，2]上有两个零点，则a的取值范围是 .
首先用上述的第一种方法解决三个变式
变式（1）
变式（2）
变式（3）
用上述另外两种方法解决三个变式，分析哪方法更恰当.
变式（4）已知函数f（x）＝ax3-3x2+1，若x＞0，f（x）＞0恒成立，则a的取值范围是 .
首先用上面的第一种方法解决，
①a＝0舍去，
②a＞0且
③a＜0舍去，
∴a＞2.
用另外两种方法解决，分析哪个方法更恰当.
变式（5）（高考题）当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）
当x＝0时，a∈R，成立.
当0＜x≤1时，a
在0＜x＜1时，y'＞0，故y在[0，1]上递增.
∴ymax＝-6，∴a≥-6.
当-2≤x＜0时同理可知，
x（-2，-1）-1（-1，0）y' - 0 +y↑↑ -2
∴a≤-2.
综上所述，-6≤a≤-2.
对于本题，若是从“求函数f（x）＝ax3-x2+4x+3（-2≤x≤1）的最小值”角度求解将很麻烦，例题本身求导之后可以因式分解，用最值法容易解决，所以解题需要合理的方法.
转化为（x-1）ex＜a（x-2），设y＝（x-1）ex，y＝a（x-2），y＝xex,
x（-∞，0）0（0，+∞）y' - 0 +y-1 ↑↑
归纳说明：将问题转化为两个函数更为恰当，隐直线的挖掘，进而化为直对曲..
归纳总结：
解决函数零点问题主要依赖数形结合，可以直接用一个函数讨论画图象，也可以参变量分离，又可以化为两曲线（两函数）讨论画图象，无论选择哪种办法都依赖于图象，正所谓“数形结合百般好，隔离分家万事休”.我们可以从体会更深刻的数学转化思想.
