动车牵引电机转子的弯扭振动特性研究

周生通， 曹涛影，朱经纬，祁 强，周新建

(华东交通大学 机电与车辆工程学院，江西 南昌 330013)

弯扭振动是牵引电机各种故障的重要诱因[1]。在高速列车中，动车牵引电机又置身于复杂的列车运行环境中并持续受到电磁激励、负载扭矩等内外激扰作用，因而掌握其弯扭振动特性规律是确保牵引电机安全可靠运行以及控制和优化牵引电机动力学性能的关键环节。

当列车高速运行时，动车牵引电机的定子、转子与轴承间便形成一个复杂的机电耦合转子动力学系统。而全面分析这一机电系统动力学行为的前提是建立一个能够正确反映牵引电机转子系统弯扭振动特性的动力学模型。在众多研究中电机动力学模型以Jeffcott转子模型居多，即将电机转子集中为单个集中质量来分析系统在机-电-磁作用下的复杂弯曲或扭转动力学问题[2-5]。不过，当前更复杂和准确的电机模型越来越多的被提出和使用，尤其是基于有限元技术的方法。文献[6]采用等效为三集中质量的电机转子模型分析系统弯扭振动特性。文献[7]利用某牵引电机转子的一维和三维有限元模型对比圆盘在不同厚度时的临界转速结果，而圆盘在一维梁元模型中被等效为一个集中质量。文献[8]建立三维有限元模型，用正交各项异性材料表达电机叠片铁芯属性。文献[9]在分析某大型感应电机转子的临界转速时将铁芯等效为包含质量和转动惯量的圆盘。文献[10]提出利用夹紧刚度和阻尼并结合双转子有限元模型的概念模拟铁芯与转轴关系。可以发现电机转子建模的关键在铁芯模拟上，事实上铁芯在电机动力学建模中一直是一个难点，其对电机转子系统的刚度和质量贡献非常值得探讨[11]。此外，牵引电机在工作中必然要拖动负载，而由传动机构和工作机引入电机轴的惯性负载对电机转子系统动力学的研究也是不可忽略的[12]，尤其是在高速运行的动车组牵引电机中。

本文以某动车牵引电机为例，在剖析其结构特点的基础上，采用转子动力学有限元方法构建电机转子系统弯扭动力学模型，并着重探讨转子铁芯质量分布、铁芯刚度贡献以及电机惯性负载对牵引电机转子系统弯扭振动特性的影响规律。

1 动车牵引电机的结构特点

我国动车组用牵引电机普遍使用鼠笼式三相异步电动机[13]。其转子部件由转轴、铁芯以及导条和端环焊接而成的鼠笼绕组构成。转子转轴一般用高强度的锻造合金钢制成，铁芯则由绝缘冷轧硅钢板叠压而成，并和压板一起热套安装到转轴上。铜导条插入铁芯槽内并在传动端和非传动端分别用铜合金端环铜焊在一起组成鼠笼绕组结构。在电机转子转轴两端各布置一套滚动轴承，并放置在定子两侧端盖的轴承座内。这样电机转子、轴承和定子部分便一起构成一台完整的鼠笼式三相异步电动机，内部结构示意见图1。

图1 动车牵引电机内部结构示意

相比一般的转子结构，牵引电机转子的建模比较复杂。这是因为，实际中为了增强高速电机转轴的刚性以及解决临界转速问题，由冲片叠成的铁芯大都是采用热套轴工艺实现轴与铁芯周向固定的[14]，即完全依靠铁芯与转轴的过盈配合传递功率和扭矩。过盈连接虽然能增强转轴刚度，但其刚度的增强贡献并不能完全按照整个铁芯结构计算。因此实践中这种叠片转子的刚度模化问题常需要寻求专业单位给出经验公式或试验图表，以供电机转子的设计计算之用[11]。此外，由于牵引电机转子铁芯宽径比大，若按照一般转子结构的常用简化方式将其质量贡献简单地等效为铁芯质心位置处的一个集中质量是不合适的，尤其是当要同时分析转子弯扭动力学行为时。合理的做法应该是按照分布质量的方式加在转子铁芯与转轴过盈配合的位置上。

另一方面，动车牵引电机作为动力源，其输出转矩经联轴器、齿轮箱和轮对，最终带动整列列车高速运行。换句话说，牵引电机要驱动负载。若撇开负载单独讨论牵引电机的动力学特性是不符合实际的，尤其是在研究牵引电机扭转动力学问题时，这是因为在动车组中负载对牵引电机的作用不光提供阻力矩，而且还贡献有较大的惯性负载[15]，对系统的振动特性会产生明显影响。

2 弯扭动力学特性方程

按照前述分析，牵引电机转子系统的建模关键是合理模拟转子部件(铁芯质量分布和刚度贡献)和处理电机负载问题，为此采用基于梁单元的转子动力学有限元方法[16]实现。为了分析转子的弯扭振动特性，模拟电机转轴的梁单元除了具有4个横向振动自由度外，还必须包括扭转自由度，故电机转轴单元具有5个自由度。电机铁芯的质量贡献用具有转动惯量的集中质量单元模拟，依附在转轴单元节点上，并具有同样的5个自由度。滚动轴承在电机转子系统中主要提供刚度和阻尼作用，为此用弹簧阻尼单元模拟，若需计及轴承的质量贡献则可在单元中引入质量参数。电机定子可以单独按照静止部件由一般的结构有限单元模拟，也可以将其质量和刚度贡献等效到轴承的单元模拟参数中。

构建如图2所示的牵引电机转子系统有限元模型，推导得出系统有限元动力学方程为

图2 牵引电机转子系统有限元模型示意

(1)

式中：M、C、K和G分别为惯性坐标系下的电机转子系统整体质量、阻尼、刚度和陀螺矩阵。

M=m+mc+ml

(2)

K=k+kc

(3)

G=g+gc

(4)

式中：m和k分别为电机定子、转轴和滚动轴承所贡献的质量和刚度矩阵；g为电机实际转轴贡献的陀螺矩阵；mc、kc和gc分别为由铁芯贡献的质量、刚度和陀螺矩阵；ml为由电机负载引入的质量矩阵。当仅研究电机转子弯扭特性时，方程(1)中阻尼矩阵C可忽略不计。

针对转子铁芯对电机转子动力学方程的贡献，在有限元模型中有两种处理方式。

第一种是通过增大与转子铁芯段的转轴半径考虑铁芯刚度贡献影响，如图1所示，此时与铁芯有关的质量、刚度和陀螺矩阵可分别表示为

(5)

式中：msc、ksc、gsc分别为转轴半径增大部分所贡献的铁芯质量、刚度和陀螺矩阵，计算时将它们和实际的电机转轴部分一起作为转轴单元进行处理；mrc、grc为剩余铁芯部分所贡献的质量和陀螺矩阵，计算时需要按照一定的铁芯质量分布方式分割为刚性圆盘，并等效为集中质量单元附加在转轴节点上。假设转子铁芯被等效为一理想的空心圆柱体，内半径Ri，外半径Ro，长度H，剔除铁芯对转轴的刚度贡献后，剩余铁芯的内半径变为Re，若将剩余铁芯质量分割为M个刚性圆盘，则每个圆盘的质量特性为

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：diag{·}为对角矩阵算子；Ω为电机转子转速。

第二种计及铁芯刚度贡献的方法是增大铁芯段转轴材料的弹性模量。这是因为，依据转子动力学的梁单元有限元理论，EI和GIp分别代表着转轴单元的弯曲刚度和扭转刚度项，其中I和Ip分别是转轴截面的直径惯性矩和极惯性矩，可以看到无论是增大材料的弹性模量E或剪切模量G，还是增大转轴截面半径都可以实现转轴刚度项的增强。按照第二种方法，转子铁芯的全部质量属性将等效为集中质量单元，而刚度贡献则仍然按照转轴单元计算，相应的矩阵可表示为

(11)

式中：mc和gc分别为按照式(9)和式(10)计算的单元矩阵。只是此时Re取为铁芯空心圆柱体的实际内半径Ri。

针对牵引电机负载的质量贡献，可按照机械传动系统的动能与功率不变原则，将动车组传动装置中的单级齿轮箱、动力轮对以及整车的质量特性等效为一个绕电机轴的转动惯量，等效公式为[15]

(12)

(13)

为了获得转轴的弯扭特性，需将式(1)改写为状态空间方程

(14)

求解该方程的广义特征值问题，即可得到反映牵引电机转子系统弯扭特性的模态解为

δi=φiexp(λi)=(ai±bi)exp[(σi±jωi)t]

(15)

式中：λi和φi分别为特征值和特征向量；σi为特征值实部，反映系统稳定性，在忽略系统阻尼C时其值为零；ωi为特征值虚部，代表系统第i阶模态圆频率；ai和bi为第i阶模态振型的实部和虚部向量。

需要注意的是，在具体求解电机转子系统弯扭振动特性前，需要先利用等效方法将实际非轴对称的铁芯结构(如铁芯齿槽、导条、端环、通风孔等)等效成为轴对称结构，之后再按照前述思路处理转子铁芯质量分布、刚度贡献以及电机惯性负载。

3 算例与结果讨论

以某型动车牵引电机为参考，建立其转子系统有限元模型，并分别探讨铁芯质量分布、刚度贡献以及电机惯性负载影响下的牵引电机转子弯扭振动特性规律。该型牵引电机转子的部分结构参数为：转轴总长为0.675 m，非铁芯段转轴输入端和输出端轴段长度分别为0.125、0.230 m，输入端轴承处轴径0.025 m，输出端轴承处轴径0.04 m，铁芯的内半径、外半径和宽度尺寸分别为0.047、0.16、0.32 m，输入、输出端轴承刚度系数分别为1.5×108、7.0×107N/m，其余结构参数略。由于铁芯对转轴刚度的增强作用与实际过盈情况、铁芯径宽比和工作条件等因素有关，需要借助试验或仿真手段确定，这里不做具体讨论，而是直接假定本算例中铁芯对转轴刚度的增强作用等价于将该处转轴半径增加T/4，其中T=Ro-Ri为铁芯厚度。由于仅讨论弯扭振动特性规律，因而这一假定并不影响算例结论的适用性。

3.1 铁芯质量分布的影响

有限元模型中集中质量是以点单元的形式施加在节点上的，因而铁芯段转轴网格密度在一定程度上决定了铁芯质量分布的形式。为了探讨铁芯质量分布的影响，设计两种计算模型：第一种是在铁芯段采用高密度转轴网格并保持网格不变，然后依次增加铁芯离散的集中质量个数，如图3(a)～图3(d)所示。模型1能反映剔除转轴网格密度影响的铁芯质量分布影响规律。第二种计算模型是使铁芯离散的集中质量数与铁芯段转轴网格节点数一致变化，如图3(e)、图3(f)所示。相比来说，模型2比较符合有限元建模习惯，是实践中常采用的建模方式，但模型结果包含了转轴网格密度的影响。两种模型均按照集中质量的个数依次命名为M1工况，M2工况，…，等。

图3 两种铁芯处计算模型示意

3.1.1 模型1结果与分析

利用模型1计算时将铁芯段转轴直接取为高密度网格(均分为16份，共17个转轴单元节点)，然后依次取各工况的铁芯质量被离散为1、2、3、5、9、17个集中质量(各集中质量均匀布置于轴段，如图3所示)，并计算牵引电机转子系统在各工况时的前20阶弯扭模态信息，取前14阶模态频率列于表1。由于模型中电机转子绕轴线转动自由度为自由状态，故各工况的第1阶模态均为转子刚体转动模态且频率为零，后续各工况中不再对此论述，模态数据直接从第2阶开始。

作为对比，取M17工况作为参照工况，因为该工况的铁芯质量分布最接近实际情况。M17工况的部分弯扭振型分别被绘制在图4、图5中。从图中以及表1中可以看到，M17工况的第2、3阶，第4、5阶振型分别是转子动力学中常见的圆柱模态和圆锥模态；第7、8阶，9、10阶以及12、13阶是更高阶弯曲模态，但相比之下，它们的模态频率要比前四阶弯曲模态的频率高出许多；表1中第6、11和14阶模态则属于扭转模态。图5中还给出了更高阶的扭转模态(扭振17：4 227.1 Hz、扭振20：4 633.2 Hz)振型。进一步对比分析这些弯扭模态振型可以发现，扭转振型(扭振20：4 633.2 Hz除外)和高阶弯曲振型(从第7阶起)的形态变化主要集中在电机转轴的铁芯段。基于此可以推断出铁芯质量在这里的分布形式势必会对这些电机转子模态产生较大影响。而电机转子的圆柱、圆锥振型以及4 633.2 Hz的扭转振型，由于它们在铁芯段的形变或变形较小，因而可以推断这些模态受铁芯质量分布的影响比较小。在后续的讨论中这些推断可以得到验证。

表1 不同铁芯质量分布影响下的牵引电机转子模态频率 Hz

图4 前14阶中的弯曲振型

图5 前20阶中的扭转振型

在M1工况(即将铁芯质量等效为质心处的1个集中质量，如图3(a)所示)时，从表1可以看到，其前六阶弯曲模态频率与参考工况M17结果差别不大，而查看对应的振型形态也与图4(a)～图4(c)振型非常接近。不过，M1工况的扭转模态以及其他更高阶弯曲模态与参照工况M17差异却较大。其中，扭转模态的出现不但推后(第一阶扭转频率为3 877.6 Hz)，而且扭转振型差异也较大。如图6所示，前两阶扭振模态，M1:扭振(3 877.6 Hz)和M1:扭振(4 626.8 Hz)，都是仅在其中一侧发生较大扭振，扭振的传递被等效在质心处的较大集中质量所割断。同样高阶弯曲模态也呈现出与扭转模态类似的情况，对应的频率和振型与M17工况差异均较大。因此，从M1工况模型的振动特性来看，这种单质心的铁芯质量处理方式只适用于研究牵引电机转子系统的低阶弯曲动力学问题，而当涉及转子的扭转振动和高阶弯曲振动时，则无法满足电机转子系统的动力学分析要求。

图6 M1工况和M2工况中的部分扭转振型

在M2工况(等效为铁芯两端处2个集中质量，如图3(b)所示)时，从表1可以看到模型在第6阶时出现了扭转模态(708.85 Hz)，查看该模态振型可知其与参考工况M17在图5所示扭振6(1 090.9 Hz)接近，可确认其对应系统的第一阶扭转振型。但更高阶的扭转模态直到第15(4 610.3 Hz)和16(5 074 Hz)阶才连续出现两个(这两阶模态频率未在表1中列出，但它们对应的扭转振型为图6中绘制的M2:扭振)。对于M2:扭振(5 074 Hz)，虽然其与图5中扭振11的振型类似，但其扭转变形被两个较大的集中质量限制在了铁芯段内部，使得铁芯以外部位的扭振幅值很小。对于M2:扭振(4 610.3 Hz)，其与图5中扭振20(4 633.2 Hz)的振型类似且频率比较接近，可以发现该振型在电机转轴铁芯段的变形幅值比较小。实质上，这一现象验证了前述推断，即当某阶模态振型在电机转轴铁芯段的变形幅值较小时，该阶模态受铁芯质量分布的影响就比较小，那么在各工况下的该阶模态频率和振型将基本维持不变。这一现象在后续其他工况中也可以观察到。在模态频率方面，M2工况除了转子圆柱模态频率(第2、3阶)和M2:扭振(4 610.3 Hz)外，其他在表1中所列模态频率与参考工况M17的差别均比较大，而且包含了低阶弯曲和扭转模态频率，如第4、5阶圆锥模态和第一阶扭转模态频率。另外，M2工况的模态频率在整体上要比其他工况均偏小。因此，对于M2工况模型，虽然其能反映出电机转子系统的弯扭特性，但由于其低阶圆锥弯曲模态频率值以及第一阶扭转模态频率值都与参考工况存在较大偏差，所以除非只关注电机转子系统的低阶圆柱模态，其他情况都不宜采用这种将铁芯质量等效为两个集中质量的模拟方式。

在M3工况(图3(c)所示)时，相比M2工况，该工况的模态频率值整体增大，且新增了与M17工况模态振型相似的第二阶扭转模态(1 417.6 Hz)。对比可以发现，M3工况的模态分析结果无论是在模态频率还是振型方面都与M17工况更为接近，从表1数据可以看到两种工况的低阶弯扭模态频率误差基本都在11%以内。后续计算可以看到，当用更多集中质量描述铁芯质量特性时，如M5和M9工况，计算模态结果也更趋近于M17工况(见表1)。因而，当分析牵引电机转子的弯扭动力学问题时，为了能够较为准确地反映转子的弯曲和扭转振动特性，其电机转子铁芯的质量分布至少要按M3工况进行模拟。

3.1.2 模型2结果与分析

当利用模型2计算时，分别将铁芯段转轴网格均匀地划分为n份，这里取n为偶数，即n=2、4、6、…、16份，共8种工况，每种工况对应的节点数为n+ 1，相应地转子铁芯质量分别被离散为M=n+ 1个等效集中质量。这里，仅将模型2的M3、M5、M9和M17工况模态结果列于表1中，其中M17工况在模型2和模型1中是一样的，故模态结果也是一样的。同样取M17工况为参考工况。

对比两种计算模型的模态结果可知，两种模型所呈现的规律是大致相同的。从表1可以看到，在相同工况下(或者说同样的铁芯质量分布情况下)，模型2的弯曲模态频率比模型1会略有增大，而且模态阶数越高这种差异就越大，但随着铁芯质量离散密度的增加(由M3过渡到M17工况)，这两种模型弯曲模态频率的差别则逐渐减小了。而对于扭转模态，相同工况下两种模型的扭转模态频率差异几乎为零。由此可见，在铁芯质量分布一定的情况下，转轴网格密度的改变(由模型1到模型2)对电机转子弯曲模态结果影响较大，但对扭转模态结果影响却较小，说明电机转子扭转模态主要依赖于铁芯质量分布。另一方面，两种模型的对比结果也说明，单纯增加转轴网格密度对牵引电机转子系统的模态结果改善是非常有限的，必须同时增加铁芯质量离散个数，才能使得电机转子弯扭模态趋于参考工况结果。

3.2 铁芯刚度贡献的影响

铁芯对转轴弯曲和扭转刚度起到增强作用，这种刚度增加势必会影响在转轴铁芯段存在复杂形态的电机转子模态。这里仅讨论在不同铁芯刚度贡献下的电机转子振动特性变化规律。为此，首先采用前述第一种考虑铁芯对转轴刚度增强的方法(简称方法1)，取铁芯质量分布为M17工况，并令铁芯段转轴半径由Ri逐渐增至Ro，设计9种刚度增强工况，即各工况增强转轴的半径分别为

R=Ri+N(Ro-Ri)/8N=0,1,…，8

(16)

分别记为N0，N1，N2，…，N8工况。计算出的各工况部分模态数据列于表2，部分模态频率随工况的变化曲线如图7所示。

表2 不同铁芯刚度贡献影响下的电机转子模态频率 Hz

图7 电机转子弯扭模态频率随工况的变化曲线

从表2和图7可以看到，随着工况的改变(即铁芯段转轴刚度的增大)，电机转子的各阶模态频率也整体上随着增大。其中在弯曲模态中，转子圆柱和圆锥模态频率曲线(图7中的B1～B4)到N2工况以后变化就趋于平缓了，而更高阶弯曲模态(如图7中B5～B6)达到N4工况才变化比较平缓，究其原因是因为更高阶的弯曲模态振型在铁芯段有较大形变，故而受刚度增强的作用就比较明显。不过，各阶弯曲模态频率并未随着转轴刚度的增强而迅速增加，而是到达一定程度后就增加的非常缓慢，说明通过提高铁芯与转轴的热套过盈量来提高转轴的弯曲刚度是不可行的，反而会使电机转子的装配变得更加困难[9]。另一方面，对于扭转振型T1、T2、T3由于它们的形态改变都集中在铁芯段，故而转轴刚度的增强对这些扭转模态的频率影响非常明显，但对于扭转振型T*，由于受铁芯段转轴刚度的影响较小，所以在整个过程中其模态频率波动不大，维持在4 600 Hz左右。

采用第二种通过增大转轴材料弹性模量参数的方法考虑转轴刚度增强作用时，简称方法2。为了与方法1对比，依据转轴单元刚度参数中E或G与I或Ip的关系可知，弹性模量参数的增大系数为

(17)

依据式(17)计算9种工况，并将方法2结果仍列于表2中。可以看到，两种方法计算结果基本一致，表明两种转轴刚度增强方法都是可行的。其中，对于弯曲模态结果，方法2计算出的弯曲频率值要比方法1略高，且随着模态阶数的增大而有所增加；而对于扭转模态结果则相反，方法1的扭转频率会略高于方法2。

3.3 电机惯性负载的影响

前述各节分析中并未计及电机惯性负载的影响，本节将式(12)计算所得转动惯量以集中质量的方法附加在电机转子模型的输出端节点上，以考查动车牵引电机惯性负载对电机转子系统弯扭振动特性的影响。这里仍在参考工况M17模型基础上计算计及惯性负载的系统弯扭特性的前20阶模态信息，并在表1中数据列出了前15阶，图8绘制了前20阶出现的扭转振型，而弯曲振型与M17工况基本一致(图4)。从表1可以看出，惯性负载的引入并不影响弯曲模态，与参考工况一致，仅仅影响系统的扭转模态，如出现了更低频率的扭转模态(105.20 Hz)，该频率甚至低于第一阶弯曲频率(133.36 Hz)，其他扭转模态的固有频率则略有增加(约10 Hz)。进一步，对比图5和图8中的扭转振型图，可以发现两者的差别主要存在于电机转子输出端的扭振幅值，其中考虑惯性负载的电机转子系统扭振幅值在转轴输出端几乎为零，究其原因是等效的惯性负载数值要比电机转子本身的极转动惯量大。这一现象类似于在转子输出端节点添加固定扭转边界，但又与直接施加固定扭转边界不同，因为这个模型具有刚体转动模态，更能准确地描述考虑惯性负载的牵引电机转子弯扭振动特性。另一方面，可以看到不考虑惯性负载的电机转子系统第一阶扭转频率(如1 090.9 Hz)远高于动车牵引电机的工作转速，但当计及惯性负载影响后，第一阶扭转频率(如105.20 Hz)会降低，有可能降到工作转速范围附近或以内，尤其是当考虑负载中诸如联轴器等零部件的柔性影响时。因而，当研究电机轴扭转或弯扭耦合振动时，必须要考虑动车牵引电机惯性负载的影响。

图8 考虑负载惯性的牵引电机转子扭转振型

4 结论

本文采用转子动力学梁元有限元方法建立动车牵引电机转子系统的弯扭振动特性分析模型，并详细讨论铁芯质量分布、刚度贡献以及电机惯性负载对系统弯扭振动特性的影响规律。得到如下结论：

(1)无论是铁芯的质量分布还是其刚度增强作用，它们的变化主要影响在转子铁芯段存在较大形变的模态振型。而像转子的圆柱模态、圆锥模态以及其他一些在铁芯段振型变化较小的扭转和弯曲模态受它们的影响则较小。

(2)铁芯质量分布的选择受制于铁芯段转轴网格密度以及铁芯质量离散个数，直接影响系统弯扭振动特性的准确性，可以发现常用的单质心集中质量模型(M1工况)只适用于分析牵引电机转子系统的低阶弯曲振动规律，而若要全面分析系统的弯扭耦合振动，铁芯质量分布至少要采用M3工况及以上工况进行模拟。另外，采用的模型1和模型2都能正确模拟铁芯质量分布，其中模型2从工程角度看更适合M3工况及以上工况的模拟。

(3)铁芯刚度贡献的模拟方法1和方法2是等效和可行的。可以发现随着转轴刚度的增强，电机转子的模态频率会增高，尤其是对扭转模态频率影响显著，但弯曲模态的频率曲线在转轴刚度增加到一定程度后变化就比较缓慢了，表明即使铁芯与转轴间采用过大的热套过盈量也不能有效提高系统弯曲振动频率，反而会造成转子铁芯装配困难。

(4)电机惯性负载的引入使得牵引电机转子系统新增了电机与负载之间的扭转振型，第一阶扭转频率降低，很有可能落入牵引电机工作转速范围附近或以内，造成电机与负载之间的扭转共振。不过，电机惯性负载仅影响系统的扭转模态，对弯曲模态是没有影响的。因而，在分析系统扭转振动或弯扭耦合问题时，非常有必要计及牵引电机惯性负载的影响。