考虑空间三维模态及振型修正的高耸结构风振响应分析

吴玖荣, 钟文坤, 徐 安

(广州大学—淡江大学 工程结构灾害与控制联合研究中心, 广东 广州 510006)

0 引 言

高频天平风洞试验是目前分析和确定建筑结构风载荷响应的有效手段之一[1-2]，它通过假定结构振动振型在建筑物各主轴方向(该方向往往和风洞试验对应的坐标轴方向相同)的一阶振型为理想线性振型，即在平动方向上的模态振型为沿高度是线性变化、扭转方向上的模态振型沿高度为常数，来测量模型底部的剪力、弯矩和扭矩。对于体型规则的结构，由于楼层的刚心与质心沿高度分布是均匀的，可假定结构的一阶振型近似为理想的线性振型。但随着经济的快速发展，人们对建筑结构的使用要求越来越高，部分建筑结构的体型也越来越不规则。对于体型不规则的结构，楼层的刚心与质心沿高度分布有时不再是均匀的，此时结构的基阶振型沿高度也不是线性变化的。

另一方面，在用有限元软件对被分析的建筑物进行有限元建模分析时，有时会出现建筑物实际自由振动的主轴方向与有限元分析模型所采用三维坐标系的各主轴方向不重合的情况。由于风洞试验测力系统采用的坐标系往往与有限元分析模型所采用的坐标系统一致，此时对建筑物进行模态分析得到的各阶振型，一般均同时含有x、y方向的平动和z方向的扭转分量，即此时振型表现为空间三维振型，而且此时由高频天平测力风洞试验得到的各方向气动载荷之间的相关性比较强。此时就需要考虑考虑建筑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合对传统高频天平测力风致分析的修正，从而达到更加精准的结构风致响应计算结果。

基于高频底座天平测力风洞试验基础，风工程学者对于振型的修正做了很多研究。Vickry[3]等较早地发现在广义风载荷作用下，结构振型的形状对基底弯矩和加速度的影响是不一样的，但并没有给出振型修正的过程；Boggs[4]等提出对基底弯矩进行修正代替振型修正，但是振型对基底弯矩的修正因子影响比较小；Holmes[5]考虑结构不同高度处风作用的相关性大小，提出了振型修正的高相关限值和低相关限值理论，并且不区分横顺风方向响应；Xu[6]在Holmes的理论基础上增加了z高度处的调幅，这使经过振型修正后的广义力谱更符合实际情况，但是Xu的振型修正理论中，把横方向与顺风向区别开来，当振型指数β≤1时，取高相关性限制，当振型指数β>1时，取低相关性限制，这样的方法存在不足，因为在实际结构中，有时由于风向角的复杂性较难以区分横风向与顺风向；周印[7]等通过结构动力学及随机振动知识推导了广义载荷、风致响应、等效静力风载荷的振型修正公式，并分别分析β大小对振型修正因子的影响。蓝晓华[8]通过对广州东塔的风洞试验分析，不区分横顺风向，对数据进行拟合得到振型修正公式，并与Holmes公式进行对比，具有较吻合的结果。

对于振型的修正研究，大多数都是在高层建筑方面，对于格构式结构方面的研究比较少。邹良浩等[9]通过高频底座天平测力风洞试验对通讯塔和输电塔进行了研究，并且分析比较了振型修正与不修正对结构顶部加速度的大小。本文利用某假设电视塔模型进行高频底座天平测力风洞试验数据的试验结果，在对试验数据进行半刚性处理的基础上，考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合，对传统高频天平风致分析结果进行修正分析，忽略高阶振型的影响，分别计算了该电视塔模型在三个不同风向角下的风振位移响应，并把考虑上述各因素后的风致分析结果，与仅考虑一维直线振型且不考虑气动载荷耦合性计算结果进行了对比分析。

1 高频底座天平测力风洞试验

1.1 试验模型

本次风洞试验的模型[10]主要采用黄铜和不锈钢制作而成，模型的几何缩尺比为1∶100，模拟B类地貌，平均风剖面服从粗糙度α=0.142的指数分布。试验参考点高度为1 m，对应的风速为18.37 m/s，高频测力风洞试验采用的坐标系及试验测试的风向角为0°、30°、45°、60°和90°，如图1所示。

1.2 模型简化

用“串联多质点系”力学模型建立了电视塔简化计算模型，把电视塔分为17个质量点(如图2所示)，各质量点的质量和惯性矩由有限元软件ANSYS获得。电视塔原型高度110 m，底部尺寸为26 m×22.5 m，构件的截面尺寸见表1，各节点坐标及各构件之间的拓扑连接关系详见文献[10]。

图1 试验风向角及坐标系统Fig.1 Wind azimuths and coordinate system

图2 电视塔串联多质点系简化分析模型Fig.2 Simplified analysis model of TV tower with a series multi-masses

杆件编号截面类型截面面积/m21圆形截面8.63272圆形截面2.35443L型截面0.81004L型截面0.5100

1.3 风洞试验数据

类似于电视塔的格构式高耸结构，由于其质量小、刚度柔。高频天平测力试验中只能制作出半刚性的模型，而对于频率不够高的半刚性模型，在风洞试验时底部气动载荷受半刚性测力模型在各方向一阶振型的共振作用较明显[11]，本文按照文献[11]中的方法，对试验数据进行了半刚性修正，得到各方向角工况下经过半刚性模型修正后的底部气动载荷功率谱。基本方法如下：

在高频天平测力风洞试验中，当测力模型的刚度足够大时，由脉动风载荷引起模型的基底弯矩为：

(1)

当测力模型刚度不够大，此时半刚性模型由于结构体系具有弹性效应，在风洞试验中在表面气动力作用下产生风振响应时，测量得到的实际基底弯矩实则为风载荷、惯性力和阻尼力引起的基底弯矩之和：

(2)

假定半刚性模型的各方向一阶振型为线性，并考虑振型正交性，可得到考虑半刚性模型修正后的一阶广义载荷谱表达形式为：

(3)

式中H为模型的总高度，H(iω)为待修正方向的半刚性模型气动弯矩修正函数，

其中，ω0为半刚性模型的基阶圆频率，SF*(ω)为对半刚性模型处理后的各方向一阶广义载荷谱，SMF′(ω)为半刚性模型底部的实测基底弯矩谱。限于篇幅，本文只给出0°方向角下的弯矩谱处理情况(如图3～图5所示)。

(a) 实测基底弯矩谱

(b) 半刚性处理后的一阶广义载荷谱

(a) 实测基底弯矩谱

(b) 半刚性处理后的一阶广义载荷谱

(a) 实测基底弯矩谱

(b) 半刚性处理后的一阶广义载荷谱

2 仅考虑单方向一维振型的风致响应振型修正

高耸结构的振型，在各主轴方向仅考虑一维振型形式时，可近似表达成沿高度按指数分布的形式，即：

φ(z)=(z/h)β

(4)

式中h为结构总高度，β为振型指数值。

电视塔原型的一阶模态频率见表2，模型振型方向如图6所示。电视塔每一层上关键节点的位移通过有限元软件ANSYS提取，再求同一层节点位移的平均值，得到电视塔简化模型节段两个方向的位移，最后根据节点与节段位移的关系求出节段的转角。根据上述方法，得到每阶振型均同时含有x、y方向的平动和z方向的扭转分量，表现为空间三维振型，取前两阶平动为主和一阶扭转振动为主的三阶振型作为后续风致响应分析的振型输入。在前两阶平动为主的振型中，主振方向的振型分量基本上是同一质点在另一方向振动分量的10倍左右。由此看出由实体结构得到的简化分析模型，其空间三维振动模态的各分量之间的耦合性不算很大。

根据电视塔三维空间振型的前三阶振型曲线，把各阶空间振型的同一方向振型分量按高度从低到高的顺序依次列出，通过曲线拟合，可以得到与式(1)对应的β值，见表3。

图6 电视塔模型振型方向示意图Fig.6 Specified vibration direction (x and y) of TV tower

从电视塔各阶振型指数β值可以看出，类似电视塔类格构式高耸结构的β值比高层建筑的β值要大(高层建筑的振型指数β一般取1.5)。由此可知，在直线振型假定的基础上，考虑空间三维模态、非直线振型的影响对于电视塔风致响应分析的修正程度，一般要比常规高层建筑要大，不可忽略。对于钢结构电视塔，高阶振型对风振响应的风致位移影响较小，可以忽略[12]。

表2 电视塔原型前三阶主要振动模态频率Table 2 Natural frequencies of the first three vibration modal shapes of the TV tower prototype

考虑实际结构的振动模态为空间三维模态、非直线振型的影响，对常规高频天平测力风洞试验的风致响应分析结果进行修正时，其振型修正系数一般是取考虑实际振型的各阶广义载荷谱与仅考虑直线振型的对应各阶广义载荷谱的比值，即：

(5)

其中C0(z1,z2,f)为沿建筑物高度分布的脉动风力互谱。 Holme根据不同高度处风载荷的相关性，提出振型修正的高相关性与低相关性理论，不区分横顺风方向，并且在低相关性时忽略地貌指数α的影响[5]，对式(5)进一步化简有：

(6)

(7)

为论述方便，采用上述式(6)和式(7)对应的风致响应修正因子进行风致响应计算的分析方法，本文称之为振型修正因子1a。根据随机振动理论的频域计算方法[13]，当只考虑各方向的一维基阶振型，可得到考虑非直线振型修正后电视塔任意高度z处的位移响应标准差：

(8)

蓝晓华[8]参照横顺方向的广义力谱修正公式，通过对风洞试验数据进行曲线拟合，得到只考虑各方向的一维基阶振型，以及实际结构的非直线振型，然后得到如下与式(6)、式(7)相对应的另一组风致响应修正因子，进行风致响应计算的修正计算，本文称之为振型修正因子1b。

(9)

(10)

对应的电视塔任意高度z处的位移响应标准差为：

(11)

3 考虑三维耦合振型的风致响应振型修正方法

由结构动力学[14]可知，当主体结构的各阶振型为空间三维耦合振型时，其各阶振型对应的广义载荷可由下式求得：

Fi={φi}T{fi}

(12)

其中i为模态阶数；{φi}T={φ1x,φ1y,φ1θ,… ,φnx,φny,φnθ}T、{fi}={f1x,f1y,f1θ,…,fnx,fny,fnθ}分别对应于各阶空间三维耦合振型向量和各质点在对应高度的气动风载荷。对式(12)做功率谱变换，忽略高阶振型的影响，考虑三维振型在各方向分量沿高度直线分布的假设，并假定高频天平基底各方向的气动弯矩值互不相关时，可得到考虑空间三维耦合振型对应的各模态广义载荷功率谱密度计算公式如下：

(13)

采用式(13)对应的各阶广义载荷谱来进行风致响应分析的方式，本文称之为振型修正因子2a。

在式(13)的基础上，若考虑三维耦合振型在各方向振型分量沿高度非直线分布的修正，并同时假定高频天平测力基底各方向的气动弯矩值互不相关时，可得到空间三维耦合振型考虑振型非直线形式后的各模态广义力功率谱密度：

(14)

在式(13)的基础上，由Irwin[15]等引入高频天平测力基底各方向的气动弯矩值Mx、My、Mθ之间的相关性，来进一步考虑气动载荷之间的耦合相关性，忽略高阶振型的影响，考虑空间三维耦合振型在各方向分量沿高度直线分布的假设时，可得三维耦合振型且考虑气动载荷之间的耦合相关性对应的各模态广义力功率谱密度：

(i=1,2,3)

(15)

采用式(15)对应的各阶广义载荷修正谱来进行风致响应分析的方式，本文称之为振型修正因子3a。

在式(15)的基础上，进一步考虑三维耦合振型在各方向分量沿高度非直线分布的修正[16-17]，可得到三维耦合振型考虑各方向气动载荷的相关性，以及振型非直线形式，进行修正后的各模态广义力功率谱密度：

(i=1,2,3)

(16)

采用式(16)对应的各阶广义载荷修正谱来进行风致响应分析的方式，本文称之为振型修正因子3b。

4 风振响应结果分析

根据电视塔的高频天平测力风洞试验结果，在对其进行半刚性处理的基础上，采用第3节所述振型修正方法，用六种不同的方法分别考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合等因素，与单方向一维直线振型的风致位移响应计算结果，在0°、30°、45°、60°和90°五个不同风向角下进行了电视塔顶部位移均方根响应的对比分析。假设此电视塔位于广州市郊区B类地貌，50年重现期设计风速为0.45 kN/m2。所得分析结果详述如下。

4.1 0°风向角下电视塔顶部位移均方根计算

电视塔在0°风向角下顶部位移计算结果见表4。

表4 0°风向角位移均方根响应Table 4 RMS displacement response at 0° azimuth

由表4的结果可知：

(1) 采用振型修正因子1a和1b，进行风致响应修正的计算结果比直线振型假设得出的计算结果小30%～35%；

(2) 分别考虑空间三维振型耦合、各方向气动载荷相关耦合性，但不考虑振型修正的影响时，振型因子2a和3a的计算结果与直线振型假设的计算结果相接近。主要原因是风洞试验所采用的电视塔模型为对称的正六边形，其三维空间振型的耦合效应较小，仍偏向于常规的两方向平动振型。而且各方向基底气动载荷的相关性较小。因此虽考虑了空间三维振型耦合、各方向气动载荷耦合的相关性，但对本算例的风致响应结果影响不大。如果空间三维振型和各方向气动载荷的耦合性较强的话，产生的差异会较明显。

(3) 考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合和振型修正时，采用振型修正因子2b和3b进行风致响应修正的计算结果，比直线振型假设得出的计算结果小25%～32%；

(4) 仅考虑空间三维振型耦合(振型修正因子2a)时，横风向响应(y向)会略有增加(6.94%)；仅考虑空间三维振型耦合及气动载荷耦合时(振型修正因子3a)时，横风向响应(y向)也略有增加(7.05%)，但两种情况下顺风向(x向)的位移响应基本不变。

4.2 30°风向角下电视塔顶部位移均方根计算

电视塔在30°风向角下顶部位移计算结果见表5。

由表5的计算结果可知：

(1) 在30°风向角下，电视塔考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合各因素，对传统高频天平测力风致分析结果进行修正结果，与在0°风向角下的对比分析，得到的结论基本一致。总体而言，在30°风向角下x向均方根位移在各对应工况下比0°风向角要小，y向位移与0°风向角对应工况下的数值相当。

(2) 分别考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合及振型修正后的计算结果，比直线振型假设得出的计算结果减少将近30%～38%。

(3) 仅考虑空间三维振型耦合(振型修正因子2a)，或空间三维振型耦合及气动载荷耦合时(振型修正因子3a)时，横风向响应(y向)和顺风向(x向)的位移响应基本不变。

表5 30°风向角位移均方根响应Table 5 RMS displacement response at 30°azimuth

4.3 45°风向角下电视塔顶部位移均方根计算

电视塔在45°风向角下顶部位移计算结果见表6。

表6 45°风向角位移均方根响应Table 6 RMS displacement response at 45°azimuth

由表6的计算结果可知：

(1)在45°风向角下，电视塔考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合各因素，对传统高频天平风致分析结果进行修正结果，与在30°风向角下的对比分析，得到的结论基本一致。

(2) 考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合及振型修正后的计算结果，与各方向采用直线振型假设得到的风致响应结果相比，减少将近25%～35%。

4.4 60°风向角下电视塔顶部位移均方根计算

电视塔在60°风向角下顶部位移计算结果见表7。

由表7的计算结果可知：

(1) 在60°风向角下，电视塔考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合各因素，对传统高频天平风致分析结果进行修正结果，与在30°风向角下的对比分析，得到的结论基本一致。

(2) 考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合及振型修正后的计算结果，与各方向采用直线振型假设得到的风致响应结果相比，减少将近21%～35%。

表7 60°风向角位移均方根响应Table 7 RMS displacement response at 60° azimuth

4.5 90°风向角下电视塔顶部位移均方根计算

电视塔在90°风向角下顶部位移计算结果见表8。

表8 90°风向角位移均方根响应Table 8 RMS displacement response at 90° azimuth

由表8的计算结果可知：

(1) 在90°风向角下，电视塔考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合各因素，对传统高频天平风致分析结果进行修正结果，与在0°风向角下的对比分析，得到的结论基本一致。

(2) 总体而言，在90°风向角下x向均方根位移在各对应工况下比0°风向角要小，但y向位移与0°风向角对应工况下的数值要大。

(3) 考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合及振型修正后的计算结果，与各方向采用直线振型假设得到的风致响应结果相比，减少将近29%～37%左右。

综合前述分析方法可得到电视塔在五个风向角下的顶部位移均方根值，如图7所示。

(a) x方向顶部位移均方根

(b) y方向顶部位移均方根

5 结 论

本文利用电视塔模型的高频底座天平测力试验，采用六种不同的方法分别考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合等因素，与考虑单方向一维直线振型的风致位移响应计算结果进行对比分析，得到以下结论：

(1) 电视塔考虑空间三维模态、非直线振型及各方向气动载荷耦合各因素，对传统高频天平风致分析结果进行修正后，五个风向角工况下得到的结论基本一致。

(2) 考虑空间三维振型耦合、各方向气动耦合及振型修正后的计算结果，与各方向采用直线振型假设得到的风致响应结果相比，要减少将近21%～38%，显然不考虑振型修正计算的结果偏于安全。

(3) 由于风洞试验所采用的模型为对称的正六边形，其三维空间振型的耦合效应及各方向基底气动载荷的相关性较小。因此仅考虑上述两因素时对本算例的风致响应分析结果影响不大。如果空间三维振型和各方向气动载荷的耦合性较强的话，其产生的差异会较明显。从另一方面来看，对本例模型而言由于非直线振型修正产生的差异更加明显。

致谢:感谢武汉大学梁枢果教授和邹良浩老师提供的试验数据和对本文提供的帮助。