数形结合思想在高中数学课堂中的渗透

郑艳丽

摘 要：在我国面向多地推行新课改的背景下，有不少教师已经转变了教育观念，对学生核心素养的培养越来越重视。在这种背景下，高中数学教学的过程中，虽然教师需要重视学生对基础数学概念的理解与掌握，但是也要注重对学生数学思想的培养。数形结合思想就是学生需要掌握的其中一种重要的数学思想方法，本文对如何实现数形结合思想在学生学习中的应用进行讨论与研究.

关键词：数形结合;高中数学;渗透

引言：在日常教学的过程中，教师应该注重对学生数形结合思想的培养，并在潜移默化中让各种数学思想渗透到学生学习的过程中去.本文通过研究数形结合思想在高中数学课堂教学过程中的具体应用，试图论证数形结合思想对学生数学核心素养的培养具有重要意义.

一、利用数形结合思想阐述基本概念解决课内例题

在高中数学课堂中，教师在讲述某些内容时首先需要对学生进行基础概念的阐述，让学生理解掌握了基础的概念，才能尝试着去解决数学问题.但是因为数学的许多概念是抽象的，如果单凭教师口述不利于学生对基础概念进行掌握理解.因此，在对学生进行基础的数学概念的教学时，教师可以尝试以数形结合的方法帮助学生去更好的理解.这样可以将概念以一种较为直观的方式在黑板上为学生演示出来，便于学生更好的理解掌握基本概念.

例如，教师在为学生讲述函数单调性、最值、极值等概念时，用“形”学生更容易理解，同样以数形结合的方式为学生讲解例题，更易于学生理解和掌握.比如，解不等式.在对这道例题讲解时，教师首先应带领学生对题干进行简单分析：令y=，对该函数进行变形得到y²=-（x-3），代表抛物线的上半支，令y=x-1表示一条直线，做出函数的图像（图1）.

如上图1，是抛物线y²=-（x-3）（y≥0）及直线y=x-1的图像，根据图像，启发学生运用数形结合思想求解，答案一目了然.通过这种简单的数形结合的思想应用，教师可以充分启发学生对数学基本概念的理解与应用.

二、将数形结合渗透到解题过程中

在高中数学教学过程中，数形结合思想是学生必须掌握并有能力应用其解决数学问题的一种常用方法.学生在应用数形结合思想的过程中，可以充分锻炼自身思维的活跃性，提高解决数学问题的效率.在高中数学中，常需考虑数形结合的题型有：建立合适的坐标系将代数关系在坐标系中直观表示类及将代数问题几何化以及向量问题几何化类;除此，数形结合思想也常常被用来解决一些诸如通过观察题目所给的几何图形列出代数关系式，或者是根据题目所给的条件，画出相应的几何图形的题型.学生在解决这一类题型时就需要熟练掌握数形结合的思想，不断练习与应用，实现能够凭借数形结合思想更好地解决数学问题.

教师可以通过带领学生一同解决一些数学问题来启发学生如何运用数形结合思想.比如，已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）;②对任意的0≤x1≤x2，都有f（x1）<f（x2）;③y=f（x+2）的图像关于y轴对称;则f（4.5）， f（6.5） ，f（7）之间的大小关系是：_________.

在解决这道函数问题时，教师可以引导学生对这道题进行简单的理解与分析，首先由条件①可以得知，T=4;由条件②可以得知，f（x）在[0，2]上是增函数;由条件③可以得知，f（x+2）为偶函数，则f（-x-2）=f（x+2），所以可以得出f（x）的图像关于直线x=2对称，由此学生可以作出示意图，从而可以直观的比较大小，示意图如（图2）所示.

在对题目进行分析并作出简图过程中，学生就可以直观的从函数图像中得出答案：f（4.5）<f（7）<f（6.5）.在解决这道问题时，如果使用代数法会使得解题过程变得极为复杂，会花费大量的时间甚至求不出解或错解.数形结合思想的应用使得抽象的题目形象化，更有利于学生寻找答案.

三、利用数形结合思想解决数学疑难问题

在高中数学教学的过程中，除了将数形结合的思想应用到解释基础概念或者解决基础问题中更重要的是用于简化问题.由于数学本身的抽象性等特点，不少数学问题解题过程复杂学生对题目理解不透彻，这时数形结合的思想成为学生简化处理这类疑难问题的有力工具.教师可以通过数形结合的思想启发学生将复杂的问题进行简化，通过观察直观的数学图形，找到简化疑难问题的方法.这样不仅可以启发学生以不同的思路去解决数学疑难问题，更是可以缩短学生解题的时间，同时也让学生解题的正确率得到提高.

例如，数形结合思想为解决高考题中的一些疑难问题提供巨大帮助。比如下面这道高考题：设关于θ的方程θcos+sinθ+a=0在区间（0，2π）内有两个相异的实根α、β。①求实数a的取值范围;②求α+β的值。

在解决这道高考题的过程中，教师要充分引导学生对数形结合思想的应用，将复杂的函数问题以图形的形式进行简化，并尝试寻找解题方法。首先对①问进行分析，对原方进行变形可得到sin（θ+）=-，随后令y= sin（θ+）（x∈（0，2π）），并做出该函数的图像，如图3所示，从图中可以较为清楚的看出，方程在（0，2π）的范围内有相异的实根α、β的充分必要条件，是;所以可以较为轻松的得知实数a的范围，-2<a<-或<a<2

对②问进行分析求解，因为在上一问中学生已经画出了函数的图像，因此通过对函数图像进行分析，可以得当-<a<2，即y=-与三角函数y= sin（x+）的图像相交于C、D两点，它们的中点的横坐标为，所以，从而得出α+β=。通过这道例题可以发现，在高考之中也存在不少需要运用数形结合思想的题目，在解决这些问题中，教师要启发学生多加思考，开拓思维，尽可能的通过数形结合来简化解题步骤，为自己在高考中节省时间并提升自身正确率。

三、结束语

为了让数形结合的思想融入渗透带学生日常学习中，教师可以用数形结合的思想为学生阐述基本概念分析例题，也可以启发学生运用数形结合的思想来帮助自己解决数学问题，同时教师更应该注重对学生数形结合思想的培养，提高学生对复杂问题简单化的能力，实现對自身数学素养的提升。

参考文献：

[1]徐秀英.数形结合思想在高中数学教学中的应用分析[J].佳木斯职业学院学报，2021，37（3）：112-113.

[2]陈双全.数形结合思想在高中数学教学中的应用思考[J].教育界，2020（25）：88-89.

[3]杨佑华.数形结合思想在高中数学教学中的实际运用[J].中国多媒体与网络教学学报：电子版，2020（9）：257-258.

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