结构化教学观点下的数学问题探究教学

李志 王浩

摘  要：先界定好的数学问题，再以2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题为例，研讨结构化教学观点下的数学问题探究教学，形成了教学范式——探究教学的五个基本环节，最后进行了问题探究教学的优越性分析.

关键词：数学问题;结构化;问题探究

数学教学的宽度容易实现，而数学教学的深度很难实施，这需要学生具有一定的认知和理解能力，教师要有数学专业上的真功夫和学科教学上的真水平，三者缺一不可. 这里我们说的深度，不是说学习那些偏、难、怪题，而是指对数学核心思想方法的综合运用，对数学核心问题的深刻思考. 我们知道，数学学科担负着对学生思维能力培养的使命，没有经历过深刻的思考，没有思考的深度，就很难突破思维的上限，也就难以达到思维的高度.

数学教学的深度对于启发学生思考数学本质、培养学生的创新精神、孕育创新人才来说非常重要. 那么，怎样才能使我们的教学有深度？怎样才能让学生经历有深度的思考？在学生深刻思考后，怎样才能使他们在数学学科核心素养方面得到提升？

经过多年一线教学实践和相关理论学习，笔者发现好的数学问题能够引发学生深入思考. 如果教师能有效运用，对学生数学学科核心素养的提升和思维品质的培养可以起到事半功倍的效果.

一、 好的数学问题的界定

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）强调数学建模和数学探究的落实，建议主题教学和深度学习，整体把握学科课程，抓住学科本质，促进学生学科核心素养的提升、发展. 无独有偶，单墫教授在《数学学习&数学解题》中所附的解题12条原则中有这样一条：要做100道有质量的题目. 这里所说的有质量的题目也许正是好的数学问题，好的数学问题可以成为主题教学和深度学习的载体. 那么，什么样的问题才是好的数学问题呢？

1. 好的數学问题不是题目，可以承载思维的厚度

现在的学生把做题说成“刷题”，作为教师，每当听到这两个字，笔者会深感不安. 因为“刷题”一般只是对数学知识和方法的掌握有好处，是浅层次的思考. 做一些题就可以了，过度“刷题”容易形成惯性思维、模式思维. 长此以往，思维容易僵化、固化，必将降低学生的创新思维能力. 这与数学学科的意义和价值是相悖的. 好的数学问题不同于一般的题目，一定要能引起学生的深刻思考，要能够承载思维的厚度. 笔者认为，数学学科的最终育人价值就是提升人的思维能力.

2. 好的数学问题要有背景，能够激发探究的欲望

好的数学问题应该有一定的数学背景，可以引起学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望. 学生做的题目虽然繁多，但是有意义的、好的数学问题偏少. 这些数学题目一般没有什么数学背景，大致只有数学知识或数学方法的训练价值，不能引起学生的深入思考，不能激发学生的探究欲望，不能促进学生思维的发展. 好的数学问题应该有比较深刻的数学背景，能引起学生不同角度、不同层次的深入思考. 只要教师适时地启发和引导，学生就会经历由浅入深、深入浅出的探究过程，其分析问题和解决问题的能力必将得到大幅度提升. 久而久之，学生就会掌握探究问题的一般过程和基本方法，或许有一天也能尝试发现和提出好的数学问题.

3. 好的数学问题可以拓展，是智力发展的平台

波利亚指出，高中数学首先和主要的教学目标是教会年轻人思考. 那么，怎样才能教会学生思考？好的数学问题是数学教学的灵魂，可以承载学生的智力发展，是发展学生数学学科核心素养的媒介. 因此，数学教学应该始于学生感兴趣、能探究和能拓展的问题. 好的数学问题应该具有拓展探究的可能，也有拓展探究的价值，应该能进行探究性延伸教学. 好的数学问题可以为学生的智力发展提供广阔的舞台，能让学生经历思考问题的过程，并在分析问题和解决问题的过程中，积累探究的经验，形成探究的能力，发展数学思维品质. 在探究问题的过程中，我们期望学生的数学情感、品性和价值观受到良好的熏陶.

二、问题探究教学

“基于结构化教学观点的课堂教学”是上海市第四期“双名工程”攻关计划虞涛数学基地的研究课题. 该课题以《标准》和教材为基础，用联系的、整体的和发展的观点分析数学知识结构和学生的认知结构，希望构建中学数学课堂教学设计的基本框架体系，分析和开发丰富的教学案例，在此基础上研究教学实践的范式，促进数学课堂教学的改革.

本文希望在结构化教学观点下研究问题探究教学的基本结构，探索构建问题探究教学的范式. 我们希望的教学范式要求在教学上容易操作，具有可行性，在学习上可以实施，要有有效性.

1. 提出问题，引发探讨

当找到了好的数学问题，怎么让这些问题最大程度地发挥出其教学价值呢？这是教师要认真思考的问题. 2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题第（2）小题就是一个很好的数学问题. 下面以它为例，在“结构化教学”观点下摸索“问题探究教学”的范式.

已知[A，B]为椭圆[E： x29+y2=1]的左、右顶点，[P]是直线[l：x=6]上的动点，[PA]与[E]的另一个交点为[C]，[PB]与[E]的另一个交点为[D]. 证明：直线[CD]过定点.

教学的确需要解题，但绝不只是解题. 教学更重要的是启发学生思考，帮助学生打开思路，给予学生适当的指引，鼓励学生探究下去，勇敢地去发现. 怎样证明直线过定点？把这个问题交给学生探讨. 下面是探究的过程.

2. 思维碰撞，共享智慧

证明：设[P6，m]，则[A-3，0，B3，0]，直线[PA]与直线[PB]的方程分别为[y=m9x+3]和[y=][m3x-3].

联立直线[PA]和椭圆的方程，得[y=m9x+3，x29+y2=1.]

所以[m2+9x2+6m2x+9m2-81=0].

所以[-3xC=9m2-81m2+9]，解得[xC=-3m2+27m2+9].

从而[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9].

同理，联立直线[PB]和椭圆的方程，可以得到[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

教师设问1：用参数[m]表示出点[C]和点[D]的坐标后，发现直线[CD]的方程很难表示. 采用哪种形式的直线方程好呢？

大部分学生认为，不管哪种形式的方程，计算量都比较大，运算过程都比较麻烦. 那么，就只好直接计算. 因为[CD=2m2+3m2+1m2+93m2-9，-4m]，所以法向量[n=4m，3m2-9]. 从而直线[CD]的点法式方程为[4mx-3m2-3m2+1+3m2-3y--2mm2+1=0]. 化简，可得[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直线[CD]恒过定点[32，0].

生1：我采取行列式的形式表示，計算量会小一些，可操作性强. 其他形式方程计算量都很大，甚至会由于计算太烦琐而没办法进行下去.

生1用行列式形式表示的计算过程如下.

根据题意，得直线[CD]的直线方程可以表示为[xy13m2-3m2+1-2mm2+11-3m2+27m2+96mm2+91=0]，即[xy13m2-3-2mm2+1-3m2+276mm2+9=0]. 按第一行展开这个三阶行列式，得[x-2mm2+16mm2+9-][y3m2-3m2+1-3m2+27m2+9+3m2-3-2m-3m2+276m=0]. 化简，可以得到[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直线[CD]恒过定点[32，0].

教师设问2：这个解法容易想到，找个合适的参数，按部就班写出直线方程，整理化简后，就可以看到过哪个定点了. 缺点是计算量大，有没有简单些的方法呢？

探讨后征询学生的想法.

生2：我们可以先找到这个定点，再证明直线[CD]恒过这个点.

生2的证明过程如下.

因为椭圆和直线[x=6]都是关于[x]轴对称的，

所以直线[CD]恒过的定点在[x]轴上，即定点的纵坐标为[0].

取[P6，3]，联立直线[PA]和椭圆的方程，可以得到[C0，1].

同理，可得[D125，-35].

由此可得直线[CD]的方程为[y=-23x+1].

所以定点的坐标应该是[T32，0].

教师设问3：下面，再来证明所有直线[CD]都经过点[T32，0]，怎么证明呢？这是一个需要思考也值得思考的问题.

生3：好像还是要回到上面的过程引入参数表示出点[C]和点[D]的坐标，只要证明[TD∥TC]就可以了.

生3的证明过程如下.

设[P6，m]，联立方程，得

[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9]，[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

从而[TC=-32m2+93m2-9，-4m]，

[TD=12m2+13m2-9，-4m].

所以[TD∥TC].

所以直线[CD]恒过定点[32，0].

师：生2的想法是我们证明恒过定点问题的一般方法，也是通法. 先用特例找到定点，再进行一般性证明. 证明的运算过程在生3的方法的处理下得到了简化. 他们的想法都非常宝贵.

教师设问4：上面两种解决问题的办法运算量还是有点大，同学们想想还有什么好的办法吗？

生4：由于这个问题仅仅涉及“点在直线上”这一仿射性质，而不涉及长度、夹角、面积等度量性质，从而进行仿射变换将会保持“过定点”的性质.

由于当时与学生探究了仿射变换在解析几何中的应用，所以生4突发奇想，想到用仿射变换来解决这个问题.

生4的证明过程如下.

先研究单位圆过定点的问题（因为比较简单，所以研究一般情况）.

已知[A，B]为圆[x2+y2=1]和[x]轴的两个交点，[P]是直线[x=x0 x0≠0]上的动点，[PA]与圆的另一个交点为[C]，[PB]与圆的另一个交点为[D]. 证明：直线[CD]过定点.

设[Px0，m]，则[A-1，0，B1，0].

所以直线[PA]的方程为[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直线[PB]的方程为[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

联立直线[PA]与圆的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12+m2， 2mx0+1x0+12+m2].

联立直线[PB]与圆的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12+m2， -2mx0-1x0-12+m2].

故线段[CD]的中点的坐标为

[M4m2x0x20+1+m22-4x20， 2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20].

直线[CD]的点法式方程为[2mx0x-4m2x0x20+1+m22-4x20+][m2+1-x02y-2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20=0].

化简，得[2mx0x-1x0+m2+1-x02y=0].

所以恒过点[Q1x0，0].

当[x0=±1]时，结论仍然成立.

通过上面的探究发现：[x0xQ=1].

下面我们利用仿射变换解决原题目.

作仿射变换[x=3x，y=y，]

则椭圆[E： x29+y2=1]变为单位圆[x2+y2=1]，直线[x=6]变为直线[x=2].

按照单位圆的情形下得出的结论，直线[CD]过定点[Q12，0].

因此点[Q12，0]对应直线[CD]过的定点[Q32，0].

生4：应用仿射变换，我们还可以简单地得到下面的一般化结论，否则很难得到.

已知[A，B]为椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右顶点，[P]是直线[l：x=x0]上的动点，[PA]与[E]的另一个交点为[C]，[PB]与[E]的另一个交点为[D]. 则直线[CD]过定点[a2x0，0].

师：生4的证明方法打开了探究这个问题的全新的思路. 通过仿射变换，把椭圆的问题转化成单位圆的问题，使得运算变得简单可行，而且得到了较一般的结论. 生4的这个想法非常奇妙，具有开创意义.

3. 激发潜能，拓展探究

教师设问5：我们知道，在平面几何中，一些椭圆有的性质，一般情况下双曲线也有. 由于可以进行仿射变换，為了计算简单，我们选取等轴双曲线，大家可以尝试探究下面的问题.

拓展探究1：已知[A，B]为双曲线[E：x2-y2=1]的左、右顶点，[P]是直线[l：x=x0 x0≠±1]上的动点，[PA]与[E]的另一个交点为[C]，[PB]与[E]的另一个交点为[D]. 证明：直线[CD]过定点.

证明：设[Px0，m]，

则[A-1，0，B1，0].

所以直线[PA]的方程为[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直线[PB]的方程为[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

联立直线[PA]与双曲线的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12-m2， 2mx0+1x0+12-m2].

联立直线[PB]与圆的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12-m2， -2mx0-1x0-12-m2].

故线段[CD]的中点为

[M-4m2x0x20+1-m22-4x20， -2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20].

则[CD=2x20+1-m22-4x20m4-x20-12，-2mx0x02-m2-1].

所以法向量[n=2mx0x02-m2-1，m4-x20-12].

则直线[CD]的点法式方程为[2mx0x02-m2-1 · ][x+4m2x0x20+1-m22-4x20+m4-x20-12y+2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20=0].

化简，得

[2mx0x02-m2-1x-1x0+m4-x20-12y=0].

所以直线[CD]恒过定点[1x0，0].

教师设问6：椭圆和双曲线都至少有两个定点，类似问题容易提出. 而对于抛物线，类似的问题是什么呢？

抛物线是无心二次曲线，根据射影几何学的观点，另一个顶点在无穷远处，两条平行线相交于无穷远点. 因此，我们提出下面的问题，证明比较简单，就留给读者.

拓展探究2：已知抛物线[Γ：y2=2px p>0]，[P]是直线[x=x0 x0≠0]上的动点，过点[P]作[y]轴的垂线，交抛物线[Γ]于点[C]，[OP]与抛物线[Γ]的交点为[D]. 证明：直线[CD]过定点.

4. 深度研究，揭示背景

为了揭示问题的本质，我们引入高等几何中的一个定义. 这个定义给出了极线和极点的代数关系. 而下面的两个定理揭示了它们的几何意义.

定义：已知圆锥曲线[Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+][F=0]，点[Px0，y0]（非中心）和直线[l：Ax0x+By0x+x0y2+][Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0]. 我们称点[Px0，y0]是直线[l]关于圆锥曲线[Γ]的极点，直线[l]是点[Px0，y0]关于圆锥曲线[Γ]的极线.

特别地，给定椭圆[Γ： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，以及不同于椭圆中心的任意一点[Px0，y0]，则点[Px0，y0]关于椭圆[Γ]的极线是[xx0a2+yy0b2=1]. 如果点[Px0，y0]在椭圆[Γ]上，它的极线就是经过点[P]的椭圆[Γ]的切线.

定理1：若一个四边形的四个顶点在一条二次曲线上，则这个四边形的对边延长线的交点（假设四边形对边不平行）及其对角线的交点组成的三角形叫自极三角形，即每个顶点和对边所在直线是极点和极线的关系.

定理2：若点[S]和直线[lS]是关于圆锥曲线[Γ]的极点和极线，[AB]是[Γ]的一条弦，[CD]是[Γ]的另一条弦，直线[AC]与[BD]的交点为[P]. 则点[P]在[lS]上的充要条件是[CD]经过点[S].

定理1的证明可以参看文[3]中的“6.4 关于二次曲线的极点和极限”. 定理2的证明可以参看文[4]. 前面的定义和定理揭示了2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题第（2）小题的本质.

本质：直线[l：x=6]关于椭圆[E： x29+y2=1]的极点是[32，0]. 因为直线[AB]经过极点[32，0]，点[P]是极线[l：x=6]上任意一点，所以直线[CD]一定恒过点[32，0].

5. 总结反思，提升素养

好的数学问题的解决一定有总结提升的价值. 这里探讨了三种方法：方法1，选取合适的参数，写出关于参数的直线方程，整理化简后可以求得定点，应用了直线方程的概念;方法2，先用特殊的两条直线求出定点，再证明一般直线都经过这个点，运用了特殊与一般的辩证关系;方法3，通过仿射变换，把椭圆的问题转化为单位圆的问题，先解决单位圆过定点的问题，再解决椭圆的相应问题. 方法1和方法2是解决过定点问题的基本思路，属于通法;方法3运用了转化与化归的思想.

圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线. 一般情况下其中之一有某些性质，其他几个也可能有，我们可以进行类比拓展探究. 在发现和提出相应问题、分析和解决问题的过程中培养学生的数学能力，深化数学思维的发展.

分别解决了以上问题之后，自然会问：对于一般的二次曲线，这个问题会是什么样的呢？可以统一解决吗？不管有没有能力解决，问题能不能解决，都要有这样的问题意识. 因为发现和提出问题，相对于分析和解决问题，有时更困难，也更有意义. 这个问题必将揭示原来问题的背景，定会抓住问题的本源，研究的价值更大.

三、问题探究教学结构

数学探究活动是围绕某个数学问题，展开自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 我们知道，一般的数学探究活动不适合集体课堂教学，而问题探究教学是想把数学问题探究活动应用于数学课堂教学，我们希望探讨问题探究教学的基本结构.

1. 结构化教学观点下，探究的五个基本环节

在2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题的探讨和研究过程中，我们运用了联系的观点、整体的观点和发展的观点，这就是结构化的教学观. 在结构化教学观的指导下，形成了问题探究教学的基本范式和实施途径.

实现问题探究教学，分为五个环节：提出问题，引发探讨;思维碰撞，共享智慧;激发潜能，拓展探究;深度研究，揭示背景;总结反思，提升素养.

为了达到教学效果，教师可以通过有质量的层层递进的设问，以问题串的形式启发学生思考，鼓励他们探究下去，继而发现问题的本源.

2. 五个环节相互联系，思维层次不断深化发展

上面的五个教学环节相互联系、相互影响，问题的质量会决定探究的深度，探讨的过程会展现问题教学的效果，从而也反映了教师选题的能力.

（1）第一个环节要能提出有质量的好问题，学习用联系的观点辩证地发现问题.

好的问题不需要看起来就很难，拒人于千里之外，可以是一些看起来朴素但又有内涵的问题. 首先，不管是问题本身，还是解决问题的方法，最好都有探究的价值. 其次，提出的问题要能引起学生探究的兴趣，因为感兴趣就是探究下去最好的动力. 最后，经历了问题的钻研和探讨后，学生要有学识和思维的提升. 因此，在第一个环节，教师要学习用联系的观点，辩证地审视数学问题，要提出有质量的好问题，因为这是后继探究的基础和前提.

（2）第二个环节和第三个环节要激发出学生的潜在想法，引导学生学习运用发展的观点探讨和研究.

第一个环节选的问题到底好不好，需要第二个环节和第三个环节来证明. 也可能问题的确是个好问题，但是由于教师的专业能力或者教学水平有限，学生探讨的积极性和主动性没能调动起来，没能激发出学生钻研的兴趣. 因此，在这个环节教师要运用自己的教学能力，把握好教学的节奏，充分运用好第一个环节找到的好的数学问题. 可以通过设问不断把探讨推向高潮，要学会运用发展的观点提出和研讨问题.

（3）第四个环节和第五个环节要善于引导学生去发现，使学生学会运用统一的观点整体看问题.

第四个环节和第五个环节难度比较大，需要鼓励学生探究下去，教师要给予学生必要的帮助和指引，提供必需的探究途径和研究材料. 第四个环节将揭示问题的背景，要求第一个环节选取的问题要有背景，否则就成了无米之炊，无源之水. 在这里，要学会运用统一的观点整体看问题. 第五个环节是总结反思，是收获的时候，希望学生有方法、思想和意识形态上的获得感. 这两个环節将实现探究的目标，也是第二个环节和第三个环节发展的必然，是第一个环节价值的实现.

3. 由浅入深，深入浅出，洗礼思维，感悟创新

完整地经历了结构化教学观点下的数学问题探究教学过程，由浅入深、深入浅出地探讨和钻研，一定会经受思维的洗礼，在创新思维方面也会有所提升. 这里的问题不要太难，可以由浅入深，否则学生将无从下手. 当然，问题难与不难要考虑学生的思维能力，这是相对而言的. 通过五个环节的深入探讨，分析了问题的背景后，希望能得出统一的、浅显明了的结论，从而体现数学的统一美和简洁美.

教学研究的最终目的是培养人，而数学教学的核心任务就是培养人的思维能力，让人更聪慧. 让学生经历探究的历程，必将开启智慧、激发潜能、洗涤思维，从而达到感悟创新的目的.

四、问题探究教学的优越性

问题探究教学有哪些优点？下面我们从对问题的解决、对思维的养成和对人的培养三个方面来分析.

1. 引导学生发现问题背景，有利于问题的彻底解决

一个数学问题如果没有得到自然、彻底、简单的解决，那它就没有得到真正的解决. 从解决问题的方法和过程来讲，就无法让学生感悟到数学的和谐美、统一美、简洁美. 但是，如何才能完善地解决一个数学问题呢？怎样才能让人感受到思维的洗礼呢？实践表明，在解决问题的过程中引导学生了解问题的背景，发现问题的本源，激励学生探究问题的解决办法，有助于学生彻底解决问题.

2. 启发学生的高阶深度思考，有利于思维的提升和突破

布鲁纳指出，教授一门学科不是要在学生头脑中建立一个小型图书馆，而是要让他们参与知识的构建，掌握该学科的思维方式. 问题探究教学就是在学生探究的过程，启发学生进行深度思考，提升学生数学思维能力的上限，不断突破思维的极限. 问题探究教学的目标就是让学生掌握数学学科的思维方式，养成良好的数学学科核心素养.

3. 落实新课程的精神，有利于创新人才的孕育

从问题探究教学的五个基本环节来看，在问题探究的过程中，我们要注重有策略地持续提升学生的“四能”. 在探索研究的实践过程中，的确提高了学生数学学习的兴趣，发展了学生自主学习和探究的能力，树立了学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，提升了学生的创新意识.

要实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展. 在课堂上，怎样才能让所有学生都有收获？如何解决“吃不饱”的问题？这些都是问题探究教学想要解决的教学难题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京人民教育出版社，2020.

[2]李昌官. 高中数学研究型教学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2019.

[3]朱德祥. 高等几何[M]. 北京：高等教育出版社，1983.

[4]孙四周. 圆锥曲线中任意点和它的对偶直线[J]. 数学通报，2014，53（2）：56-57.

[5]李志，王浩. 关于圆锥曲线伴随直线几何意义的实验性探索：应用GeoGebra软件的数学实验案例研究[J]. 中国数学教育（高中版），2020（3）：59-64.

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