GeoGebra软件助力信息技术素养的落实

李素波

摘  要：以[GeoGebra]软件为主要信息技术平台，以2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题的讲评为例，展示了一节数学实验课的教学过程及成果，说明应重视数学实验课在培养学生数学素养中的作用.

关键词：信息技术;数学实验;数学素养

随着课程改革的深入，信息技术对数学教育产生了深远的影响，它改变了数学及其研究方法. 信息技术不但影响着教师的教学方式，还影响着学生的学习方式.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）注重培养学生在学习上的自主探究，鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题. 响应《标准》的要求，笔者开展了一堂基于[GeoGebra]软件的数学实验课.

一、教学过程

以2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题的讲评为契机，笔者开展了一堂数学实验课. 授课地点是我校的数学实验室：一个配备有40台电脑、1台服务器和1个投影仪的多媒体教室. 另外，每台电脑上都安装有[GeoGebra]软件. 笔者所带班级的学生都参加过校本课程《[GeoGebra 5.0]软件入门基础》的学习，为本次数学实验课的顺利开展提供了先决条件.

1. 试题回放

首先，在大屏幕上展示2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题如下.

已知[A，B]分别为椭圆[E： x2a2+y2=1 a>1]的左、右顶点，[G]为[E]的上顶点，[AG · GB=8]，[P]为直线[x=6]上的动点，[PA]與[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D].

（1）求[E]的方程;

（2）证明：直线[CD]过定点.

答案：（1）[x29+y2=1];（2）定点为[32，0]，具体证明略.

由于在开展本节课的前一天已经解答过该题，所以本节课的教学目标不再是传统的解题教学，而是借助信息技术工具[GeoGebra]软件来“解题”，并探究问题. 下面进入这节课的主题.

2. 探究过程

师：同学们，在校本课程《[GeoGebra 5.0]软件入门基础》的学习中，我们已经掌握了该软件的基本操作，你能借助[GeoGebra]软件对该题第（2）小题的定点问题进行直观验证吗？

学生打开[GeoGebra]软件，开始操作验证.

师：有哪位同学愿意展示一下操作过程？

生1：如图1，拖动点[P]在直线[x=6]上运动，可以发现在运动过程中，直线[CD]恒过定点，且该定点为[32，0].

师：很好！看来大家对[GeoGebra]软件的基本操作还是很熟练的. 接下来开始我们真正的探究过程. 定点问题是解析几何中的常见问题，在问题的背后一定有着深层次的原因. 那么，很自然我们会提出问题1.

问题1：在该题中，椭圆[x29+y2=1]，定直线[l：x=][6]，以及定点[32，0]之间有什么样的内在关联呢？

生2：我猜测定直线[l]应该是[x=2a]，而定点应该是[a2，0].

师：你为什么这么认为呢？

生2：因为在该椭圆中[a=3].

师：大家认为呢？

生3：我觉得生2的回答不一定正确，难道直线[l]不可能是[x=6b]吗？

师：大家能够通过思考提出猜想，值得表扬. 但凡事要讲依据，现在大家就运用[GeoGebra]软件来探究一下吧！在这里，为了便于讨论，我们先做一个约定. 首先，创建三个滑块，并分别命名为[a，b，m]，然后创建椭圆[x2a2+y2b2=1]，直线[x=m]，并先将[m]的值编辑为[2a]，后续步骤由大家自己操作.

【设计意图】使用[GeoGebra]软件时，用户可以先创建一个对象，然后对它的属性进行修改. 这里，设置三个参数[a，b，m]，不仅是为了使问题的讨论更具一般性，更为下文在其他曲线中的纵向拓展埋下了伏笔. 例如，可以修改曲线[E]的方程为[x2a2+y2a2=1]，[x2a2-y2b2=1]，探究在椭圆中成立的结论在其他圆锥曲线中是否成立. 这有利于避免重复作图，提高学习效率.

学生独立思考，并运用[GeoGebra]软件操作验证.

生4：我刚才验证过了，生2的回答是正确的. 如图2，通过拖动点[P]在直线[l]上运动及改变滑块[a，b]的值，可以发现当直线[l]为[x=2a]时，定点始终是[a2，0].

师：大家怎么看呢？

经过作图分析，学生表示赞同生4的回答.

教师肯定了结论的正确性，并要求学生课后完成严格的证明. 然后与学生一起鼓掌，对生2的表现给予鼓励，这样就顺理成章地得出我们这节课的第一个成果，即性质1.

性质1：已知[A，B]分别为椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右顶点，[P]为直线[l：x=2a]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点[a2，0].

【评注】至此，学生经历了从最初的提出猜想，到[GeoGebra]软件的动态演示和操作确认，再到（课后）解析法的严格证明这样一个完整的探究过程. 这样的探究活动，既可以激发学生学习数学的兴趣，还可以提升学生的直观想象素养及运用信息技术的能力.

就在这时，生3满脸疑惑地发问了.

生3：大家得出的性质1是正确的，而且与题目也是一致的，这毫无疑问. 但是我发现当直线[x=6b]时，直线[CD]也过定点，只是定点不再是[a2，0]. 目前我还没探究出该定点的坐标、定直线[l]的方程及椭圆间的联系.

师：是吗？真如生3所说吗？

学生再次投入到[GeoGebra]软件的操作验证中.

生：当直线[l]为[x=6b]时，直线[CD]确实过定点，那么定点是多少呢？

师：同学们，探究问题要讲究方法，我们是不是可以通过合情推理来探究一下呢？我们可以取[a，b]的几组不同取值（为了便于发现规律，数据应尽量容易计算），从而获得相对应的定直线的方程及定点坐标.

例如，可以得到下表，大家看能有什么发现吗？

[[a] [b] 定直线 定点 3 2 [x=12] [0.75，0] 2 1 [x=6] [0.67，0] 6 3 [x=18] [2，0] ]

生3：老师，我发现了！把定点的坐标都改写为分数形式，即[0.75=34]，[0.67=23]，且[12×34=][32]，[6×23=22]，[18×2=62]. 归纳可得定点为[a26b，0].

师：大家认同生3的回答吗？

学生经过探究，表示赞同生3的说法.

师：很好！为生3的精彩表现鼓掌！

此时教室再次响起热烈的掌声.

师：合情推理是发现结论的重要手段，同学们应该掌握. 现在返回性质1，再观察一下定直线[l：x=2a]与定点[a2，0]的关系，你怎么看呢？

生4：老师，我发现了，[a2 · 2a=a2]，这一点上是相同的.

师：观察入微，很好.

此时，笔者顺水推舟，提出问题2.

问题2：用鼠标拖动滑块[m]，改变定直线[l：x=m]的位置，你发现了什么？

生5：如图2，通过实践操作，可以发现无论[m]取何值，直线[CD]恒过定点，且该定点的坐标为[a2m，0].

师：你是如何发现定点坐标的呢？

生5：经过刚才的讨论，发现当定直线[l]为[x=2a]，[x=3b]时，直线[CD]恒过定点，且定点的横坐标与直线的横截距的乘积都恰好为[a2]. 那么，对于任意一条垂直于[x]轴的直线[l：x=m]，会不会都有这样的规律呢？然后，我绘制了点[a2m，0]，发现该点与直线[CD]所过的定点完全重合.

师：大家同意生5的观点吗？

学生思考过后，表示赞同. 这样，我们就得到了性质2.

性质2：已知[A，B]分别为椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右顶点，[P]为直线[x=m]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点[a2m，0].

【评注】探究问题，不能胡乱猜测，要注重方法，才能有所获. 合情推理是发现结论的重要方法，在教学中要多从方法上引导学生，使他们积累一些基本活动经验.

问题3：如果将[A，B]改为椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下顶点，相应地，定直线改为[l：y=m]，此时直线[CD]是否过定点呢？若过定点，定点坐标又是多少呢？

生6：那还不是一样嘛！直线[CD]肯定要过定点[0， a2m].

不少学生随声附和起来.

师：可以亲自试一试！

生6脸上露出困惑的表情，怎么不是呢？学生苦思冥想中……

生7：我发现了规律，直线[CD]要过定点[0， b2m].

师：很棒！你是怎么发现的？

生7：如图3，我拖动滑块改变[a]的值，发现定点并未随之移动，而再拖动滑块[b]却发现该定点也跟着移动，这说明定点的坐标与[a]无关，却与[b]有关，类比性质2的探究方法，發现定点的坐标恰好是[0， b2m].

师：很好！只要勤于动手实践和尝试，你就会有意想不到的收获. 生7的回答是正确的，希望大家在课后完成证明.

于是，得到性质3.

性质3：已知[A，B]分别为椭圆[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下顶点，[点P]为直线[y=m]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点[0， b2m].

【评注】[GeoGebra]软件的最大特点就是能在变动状态中保持不变的几何关系. 这为我们提供了一个进行数学“实验”、实际“操纵”几何图形的环境. 学生可以任意拖动图形，通过观察、思考，发现结论并验证. 学生在观察、探索的过程中，增加了对图形的感性认识，形成了丰富的几何经验背景，从而更有助于发展学生的直观想象素养.

生8：为什么[A，B]作为左、右顶点和上、下顶点，定点的情况会不一样呢？

师：这个问题提得很好！世界上真正巧合的事情是很少的，这背后是有原因的. 事实上，这道题的背景涉及共轭直径、极点与极线等高等几何的知识，所以我们不妨将这个问题先放一放，有机会我们可以专门开展一节研究型学习课来探讨这方面的知识.

生：太神奇了！

问题4：众所周知，各圆锥曲线之间有着很多优美和谐的性质，那么在其他曲线中是否也有类似的结论呢？请大家小组合作，探究一番吧！

各小组又投入到紧张的探究活动中. 大约5分钟之后，各小组都取得了不错的成果.

师：下面各小组汇报一下成果吧.

第1小组汇报：在椭圆[x2a2+y2b2=1]中，将滑块[b]的值修改为[a]，此时曲线[E：x2+y2=a2 a>0]变为圆，经操作验证，随着滑块[m]的改变，我们发现如下结论.

（1）当定直线为[l：x=m]，且点[A，B]分别为圆[E]与[x]轴的两个交点时，直线[CD]恒过定点[a2m，0].

（2）当定直线为[l：y=m]，且点[A，B]分别为圆[E]与[y]轴的两个交点时，直线[CD]恒过定点[0， a2m].

于是，我们不难得到性质4和性质5.

性质4：已知[A，B]分别为圆[E： x2+y2=r2 r>0]与[x]轴的两个交点，[P]为直线[x=m]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点[r2m，0].

性质5：已知[A，B]分别为圆[E： x2+y2=r2 r>0]与[y]轴的两个交点，[P]为直线[y=m]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点[0， r2m].

第2小组汇报：将曲线[E]的方程由[x2a2+y2b2=1]变为[x2a2-y2b2=1]. 此时，曲线[E]代表双曲线，定直线仍为[l：x=m]，点[A，B]为双曲线的两个顶点. 经操作验证，随着滑块[m]的改变，直线[CD]同样过定点，且定点同样为[a2m，0]. 于是得到性质6.

性质6：已知[A，B]分别为双曲线[E： x2a2-y2b2=1][a>0，b>0]的两个顶点，[P]为直线[x=m]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]过定点[a2m，0].

时间过得真快，下课的铃声响了，学生有一种意犹未尽的感觉. 总体来讲，这节课还是收获满满. 事实上，由于知识所限，学生并未触及到试题的真背景（极点、极线及共轭直径等）.

二、试题背景

极点与极线是高等几何中一个非常重要的概念，虽然在中学教材中没有具体介绍，但以它为背景命制的高考试题却层出不穷. 作为教师，掌握了极点与极线的基础知识，就可以让我们居高临下，直击问题的本质.

例如，在原题中，在椭圆[x29+y2=1]中，它的其中一条极线[l：x=6]，即[32 · x9+0 · y=1]所对应的极点为[32，0];性质1中，椭圆[x2a2+y2b2=1 a>b>0]的一条极线[l：x=2a]，即[l： a2 · xa2+0 · yb2=1]所对应的极点为[a2，0];更一般地，在性质2和性质3中，在椭圆[x2a2+][y2b2=1 a>b>0]中，极线[l： a2m · xa2+0 · yb2=1]對应极点[a2m，0]，极线[l： 0 · xa2+b2m · yb2=1]对应极点[0， b2m]. 同样地，在性质4、性质5和性质6中也是如此.

事实上，经过探究不难发现更具一般性的性质，即性质7.

性质7：已知椭圆[E]和任意一条直线[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直径，[A，B]分别为[l0]关于[E]的共轭直径的两个端点，[P]为直线[l]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点，且该定点与直线[l]为关于[E]的一对极点与极线.

同样地，在双曲线、圆中也有类似的结论，也就是下面的性质8和性质9.

性质8：已知双曲线[E]和任意一条直线[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直径，[A，B]分别为[l0]关于[E]的共轭直径的两个端点，[P]为直线[l]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点，且该定点与直线[l]为关于[E]的一对极点与极线.

性质9：已知圆[E]和任意一条直线[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直径，[A，B]分别为[l0]关于[E]的共轭直径的两个端点，[P]为直线[l]上的动点，[PA]与[E]的另一交点为[C]，[PB]与[E]的另一交点为[D]，则直线[CD]恒过定点，且该定点与直线[l]为关于[E]的一对极点与极线.

篇幅所限，各性质的证明过程不再赘述，留给读者自己完成.

三、结束语

在信息化时代，信息技术对于数学教学已不是用与不用的问题，而是如何用好的问题. 教学中对于信息技术的融入和运用，学生有着浓厚的兴趣，而很多教师往往忽略了这一点，认为只要通过信息技术的演示让学生看问题是如何解决的就可以了. 实际上，这是远远不够的，要让学生真正动起手来，主动参与到教学活动中来，能在活动中提出问题、形成猜想、验证结论，最后能用数学知识加以证明. 让学生多经历这样的完整的探究过程，对于学生核心素养的培养有着举足轻重的作用. 久而久之，即使在脱离信息技术的情况下，学生仍然能够在头脑中进行信息技术操作，借助直观想象更直观地解决问题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]李伟，胡典顺. 信息技术素养视角下的高考试题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（1 / 2）：110-115.

3136500589211