基于核心素养的一道新高考试题的分析及备考启示

张天定 刘连杭 吴燕春 张晓斌

摘  要：通过分析2021年高考数学全国新高考Ⅱ卷第21题解答中体现的思维灵活性和方法综合性，探索试题的内涵与外延，给出相应备考建议.

关键词：概率与统计;试题分析;备考启示

一、试题再现

2021年高考数学全国新高考Ⅱ卷第21题如下.

假设开始时有一个微生物个体（称为第0代），该个体繁殖的若干个个体，形成第1代，第1代的每个个体繁殖的若干个个体，形成第2代，……. 假设每个个体繁殖的个体数相互独立且分布列相同，记第1代微生物的个体总数为[X]，[X]的分布列为[PX=i=pi>0]，[i=0]，[1，2，3].

（1）若[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）以[p]表示这种微生物最终消亡的概率. 已知[p]是关于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的最小正根. 证明：当[EX≤1]时，[p=1];当[EX>1]时，[p<1];

（3）说明（2）的结论的意义.

二、试题分析

1. 考查目标分析

该题以生命科学中的微生物繁殖问题为背景，着重考查学生对统计概率概念本质的理解，试题与函数、导数、不等式等知识相结合，创新性和开放性较强，考查学生的综合应用能力和思维创新意识. 试题设置三道小题，由浅入深，层层递进，问题之间联系紧密，在解答问题的过程中展现了思维的连续性与缜密性. 第（1）小题属于常规问法，求数学期望，体现了基础性;第（2）小题证明结论，将概率、方程、函数、导数等知识与思想方法综合起来，考查学生解决实际问题的能力，体现了综合性;第（3）小题则是开放性、创新性的问法，要求学生结合数学问题的本质，从数学概率评估与决策的角度解释第（2）小题中结论的意义，具有一定的探究味道，也更好地考查了学生的数学抽象能力和转化表达能力，体现了新课程倡导的研究型学习理念.

2. 解答思路分析

第（1）小题根据分布列，可以直接求出数学期望[EX];第（2）小题由分布列的性质，结合“[p]是关于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的最小正根”，将[EX]与方程对比，类似于二项式定理通过赋值求系数和的原理，注意到系数与多项式的次数有关，从而联想到求导，建立新的函数利用导数解决问题;第（3）小题概率评估与决策，属于开放性问题，要求学生具有较强的解决问题的能力，从第（2）小题的结论中反映出该生物多代繁殖后，期望值越小，临近灭绝的概率越大;期望值越大，临近灭绝的概率越小.

3. 试题解答

解：（1）[EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.]

（2）（方法1）设函数求导.

令[fx=p0+p1x+p2x2+p3x3-x]，

则[f0=p0，f1=0].

对函数求导，得[fx=p1+2p2x+3p3x2-1].

当[EX≤1]时，对[x∈0，1]有[fx<p1+2p2+3p3-][1=EX-1≤0].

所以[fx]在[0，1]上单调递减.

从而[fx]在[0，1]上只有一个零点[x0=1].

故[p=1.]

当[EX>1]时，[f0=p1-1<0]，[f1=EX-1>0].

因为[fx=2p2+6p3x]在[0，1]上恒大于0，

所以[fx]在[0，1]上单调递增.

因此[fx]在[0，1]上有唯一零点[x1].

故当[x∈0，x1]时，[fx<0];当[x∈x1，1]时，[fx>0].

所以当[x∈0，1]时，[fx]在[x=x1]处取得最小值.

故[fx1<f1=0.]

因为[f0=p0>0]，

所以[fx]在[0，x1]上存在零点.

故[p<1.]

（方法2）因式分解.

由题意，知

[p0+p1+p2+p3=1，EX=p1+2p2+3p3]，

由[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]，得

[p0+p2x2+p3x3-1-p1x=0].

所以[p0+p2x2+p3x3-p0+p2+p3x=0].

所以[p01-x+p2xx-1+p3xx-1x+1=0].

所以[x-1p3x2+p2+p3x-p0=0].

令[fx=p3x2+p2+p3x-p0]，

则[fx]的对称轴为[x=-p2+p32p3<0].

注意到[f0=-p0<0]，[f1=2p3+p2-p0=p1+2p2+][3p3-1=EX-1].

当[EX≤1]时，[f1≤0].

所以[fx]的正实根[x0≥1].

则原方程的最小正实根[p=1].

当[EX>1]时，[f1>0]，

所以[fx]的正实根[x0<1].

则原方程的最小正实根[p=x0<1].

（3）当个体平均繁殖的后代数不超过1时，这种微生物将最终消亡;当个体平均繁殖的后代数大于1时，这种微生物长期存在的概率大于0.

三、试题背景与出处

1. 社会背景

该题属于概率与统计综合题，以生命科学中真实的问题为背景，不仅体现了数学与实际生活的紧密联系，也暗合当今社会背景下人类的繁殖现象. 我国在1982年至2011年人口过多的情况下，推行计划生育，相当于该题中的[p1]较大，[p2，p3]非常小，这样独生子女越来越多，同时[EX≤1]，新出生的人数不断变少，在短期内对于控制人口数量十分有效. 但是长期下去，人口老龄化将越来越严重，人类的繁殖期望值也会越来越小，可能会面临最终消亡的风险，所以最近十年来国家和政府大力提倡开放二胎甚至三胎政策，相當于将该题中的[p2，p3]适当提高，这样可以保证[EX>1]，从而避免最终消亡的风险. 这个政策也能够有效缓解中国人口老龄化，缓解独生子女的养老压力，对于中国人口能持续繁殖具有重要意义.

2. 数学背景

事实上，该题也是大学高等数学知识的初等化. 下面介绍该题的高等数学背景：设[ξni]是独立同分布的非负随机变量，其中[i，n]是正整数. 定义一个序列[Zn]为：[Z0=1]，[Zn+1=ξn+11+ξn+12+…+ξn+1Zn，Zn>0，0，Zn=0，] 则[Zn]称为Galton-Watson过程.

事实上，我们可以看出，[Zn]可以看作第[n]次繁殖的个体数目，而且第[n]代的每个个体繁殖后的个数都是独立的，并且分布列相同（也就是所谓的“独立同分布”）. 我们把[pk=Pξni=k]称为后代分布，记均值[μ=Eξmi∈0，+∞].

下面介绍几个定理.（证明要用到条件期望与鞅的性质，此处不再证明.）

定理1：如果[μ<1]，则当[n]充分大时，必有[Zn=0]，从而[limn→+∞Znμn=0].

注：该定理表明如果每个个体生育的后代平均个数小于1，那么这个物种最终就会灭绝.

定理2：如果[μ=1]，且[Pξmi=1<1]，则当[n]充分大时，必有[Zn=0].

注：这里的[Pξmi=1<1]是为了排除每个个体恰好生育1个后代的情况. 而如果排除了这个情况后，也能得到[Zn=0]（[n]充分大时），进而[limn→+∞Znμn=0]，即这个物种最终会灭绝.

下面我们定义这个分布列[k，pk]的生成函数为[φs=k=0+∞pksk]. 其中，[s∈0，1，pk=Pξmi=k].

定理3：如果存在[ρ∈0，1]为[φ]的一个不动点，则[P存在n，使得Zn=0=ρ].

证明这个定理可以分为下面三个步骤.

（1）令[θm=PZm=0]，则[θm=k=0+∞pkθm-1k];

（2）若[φ1=μ>1]，则存在唯一的[ρ<1]，使得[φρ=ρ];

（3）[θm]单调递增且趋于[ρ].

注意到这里的（2）恰好就是上述试题的（2）小题，只不过是作为条件给出.

分析近几年部分高考数学试题的命题背景，不难发现其中一个趋势就是将大学的高等数学知识内容初等化. 高等数学内容的下放不仅能够展示新颖的数学背景，强化中学数学与高等数学知识之间的衔接，丰富试题的内涵，也能够考查学生的数学思维品质、数学素养、创新能力和创新意识，甄别学生进一步学习的潜质.

四、思维障碍

1. 学生解答第（2）小题时的思维障碍

第（2）小题考查学生解决问题的综合能力. 解答时，学生可能会出现求导方法、因式分解方法、分离函数方法. 对于每种方法，学生可能会出现一些思维障碍和误区.

对于求导方法：① 对构造的函数[fx=p0+p1x+][p2x2+p3x3-x]进行求导，得[fx=p1+2p2x+3p3x2-1]，学生对于求导之后的函数零点问题的常规处理方法掌握不牢，不清楚求导之后应该朝着哪个方向进行下去. 同时，由于求导之后字母太多，且无具体数据，导致学生不敢继续做下去.

② 求导之后得到[fx=p1+2p2x+3p3x2-1]. 由于[fx]在[0，1]单调递增，则[fx=p1+2p2x+3p3x2-1≤][f1=3p3+2p2+p1-1=EX-1]. 但部分学生会得到[fx=f1=3p3+2p2+p1≤1]，在处理这些不等关系时，逻辑思维混乱.

③ 在研究函数[fx]时，学生容易忽略自变量的取值范围. 该题中，因为[p∈0，1]，所以[fx]的定义域为[x∈0，1]，而很多学生在研究函数[fx]时，都将其看成是[R]上的函数，在[R]上研究函数[fx]的图象和性质，从而做了无用功.

对于因式分解方法，学生在解题时也存在着一些思维上的障碍. 例如，分解因式之后，得到[x-1 · ][p3x2+p2+p3x-p0=0]，其中，令[gx=p3x2+p2+p3x-p0]. 而这个函数就是二次函数，此方法的本质就是研究二次函数的零点问题. 然而，学生在解题时并没有发现这一本质，都是利用不等关系进行放缩，思路混乱不清晰.

对于分离函数方法，部分学生同样也存在思维逻辑混乱的问题，将原方程分为两个函数[fx=p3x3+][p2x2+p1x+p0]与[gx=x]，而对于两个函数的基本要素寻找定位不准确，只是凭自己的直观感觉画出函数[fx]与函数[gx]的交点，最后不了了之.

2. 学生解答第（3）小题时的思维障碍

第（3）小题属于开放性决策问题，解答时学生站在不同角度可能会有不同的理解与回答.

（1）能够预测这种生物是否消亡，并在消亡之前采取保护措施，保护微生物，避免灭绝，维持微生物的多样性.

（2）当[EX≤1]时，[p=1];当[EX>1]时，[p<1]. 对研究这种微生物的存活概率和状况及周围的环境具有重要作用. 当微生物某一代个体总数控制在某一范围内时，该微生物才能更好地繁殖下一代，有利于微生物的繁殖与生存.

（3）第（2）小题结论的意义在于可以根据该种生物最终消亡的概率[p]来控制该生物繁殖的平均情况. 如果有利，可以加大繁殖;如果不利，则可以根据概率促使其消亡.

（4）该结论说明单个生物繁殖数的期望不到[1]时，该生物一定会灭绝，我们应该把人口繁殖率提高到[1]以上，每对夫妻至少生育两个孩子……

分析这些可能出现的解答，主要反映出学生回答问题不务实，甚至有一些“废话”，没有抓住数学的本质，没有站在数学概率评估与决策的角度准确地理解和翻译第（2）小题结论的意義，答不到关键点上. 然而，如果换一种角度，结合其他学科的相关知识来看，如生物学、社会学等，这些回答也具有一定的道理. 实际答题中，学生要综合考虑题目与本学科之间的联系，慎重思考，理性回答.

五、相关试题

该题的设计思路：一方面，结合高等数学中的具体背景，将其改编延伸;另一方面，其本质上还是将概率统计与函数、导数、数列相结合，综合性、创新性较强. 我们整理了近几年的高考数学试题，发现诸多类似试题.

题目1 （2018年全国Ⅰ卷·理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件进行检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品进行检验，设每件产品为不合格品的概率都为[p 0<p<1]，且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为[fp]，求[fp]的最大值点[p0];

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的[p0]作为[p]的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

① 若不对该箱余下的产品进行检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为[X]，求[EX];

② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品进行检验？

该题的命题立意是用实际问题引领学生体会统计思想. 第（1）小题考查学生将概率、统计知识与导数结合求最值的综合运用能力，第（2）小题涉及统计决策，要求学生能够结合数学知识和相关背景做出分析和决策.

题目2 （2019年全国Ⅰ卷·理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得[-1]分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得[-1]分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为[α]和[β]，一轮试验中甲药的得分记为[X].

（1）求[X]的分布列;

（2）若甲藥、乙药在试验开始时都赋予4分，[pi i=0，1，…，8]表示“甲药的累计得分为[i]时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则[p0=0，p8=1，][pi=api-1+bpi+cpi+1 i=1，2，…，7]，其中[a=PX=-1]，[b=PX=0，c=PX=1]. 假设[α=0.5，β=0.8].

① 证明：[pi+1-pi i=0，1，2，…，7]为等比数列;

② 求[p4]，并根据[p4]的值解释这种试验方案的合理性.

该题是以大学数学概率论中马尔科夫链这一描述离散随机过程的模型为背景，给出具体的递推公式，合理地将大学数学知识下放，同时将概率、统计问题与递推数列相结合，考查学生的抽象思维、理解分析和综合运用能力，最后的分析决策具有开放性和创新性.

题目3 （2020年全国新高考Ⅰ卷·12）信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量[X]所有可能的值为[1，2，…，n]，且[PX=i=pi>0 i=1，2，…，n]，[i=1npi=1]，定义[X]的信息熵[Hx=-i=1npilog2pi]，则（    ）.

（A）若[n=1]，则[Hx=0]

（B）若[n=2]，则[Hx]随着[pi]的增大而增大

（C）若[pi=1n][i=1，2，…，n]，则[Hx]随着[n]的增大而增大

（D）若[n=2m]，随机变量[Y]所有可能的取值为[1，2，…，m]，且[PY=j=pj+p2m+1-j j=1 ， 2 ， … ， m]，则[Hx≤HY]

该题以信息论中的重要概念信息熵为背景，结合中学所学的数学知识，编制了信息熵数学性质的四个命题，主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，涉及离散型随机变量，以及对数运算、对数函数和不等式的基本性质的运用，考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力，体现了对学生的数学阅读与理解能力的考查.

六、备考启示

从近几年的高考数学试题来看，高考命题正从能力立意向素养导向转变. 同时，压轴题不再拘泥于传统的数列、导数等问题，概率与统计题目也逐渐走向压轴题的位置. 从2021年全国新高考Ⅱ卷的概率与统计压轴题来看，这道题的思维角度比较宽，涉及的知识和方法比较常规，但是学生仍然感觉束手无策，解题过程漏洞百出. 这引发了我们对日常教学的思考.

1. 指导学生学习的建议

（1）要加强对学生阅读理解能力的培养，特别注重对试题中的文字、符号、图形、数据（量）及数式关系等的意义的理解与翻译. 近几年的概率与统计试题对学生的数学阅读能力要求较高，学生要抓住题目中的数学核心，理解数学问题的本质，答题时注重语言的规范性.

（2）要夯实学生的数学基础，熟知整个概率与统计知识的脉络结构，新高考数学不分文、理科，考查更具基础性，不刻意追求知识点的全面覆盖，注重回归到概率与统计的本质.

（3）在日常学习过程中，培养创新意识、创新思维，不要受思维定势的影响，尤其是概率与统计的学习，内容具有不确定性，有更高的创新性和开放性，对学生的思维培养尤为重要.

2. 提升教师素养的建议

作为一线中学数学教师，需要深入分析高考命题的设计意图，加强对高考试题的研究，抓住命题脉搏，把握住高考方向. 教师自身也需要一直苦练内功，更新教学观念，加强对概率与统计内容的学习，重视对概率论与数理统计等基本原理的研究，用更高的观点、站在更高的角度分析、看待问题，理解问题的内涵和本质，更好地开展中学数学概率与统计的教学.

3. 强化数学教学的建议

（1）教学中注重概率、统计与其他知识的综合性练习，考查方式力求新颖，数学知识之间的深度融合对学生提出了更高的要求，这也就要求教师在教学中精选素材与练习题，以达到学生熟练综合运用各个知识点的考查要求.

（2）教学过程中重视数学思维方法的渗透，发展学生的数学学科核心素养. 在复习概率与统计知识时，教师要充分利用相应教学内容渗透数学思想与方法，促进学生数学学科核心素养的形成与发展.

（3）教学中加强概率与统计知识的实践应用，培养学生的创新思维和发展意识，让学生在解决实际问题的过程中体会概率与统计的应用价值. 同时，利用各种情境及信息技术工具丰富教学模式，引导学生用创新的视角应用知识，扩展思维.

（4）强化对数学建模活动和数学探究活动的教学，切实重视日常教学内容的教学，注重数学实践活动的体验与积累，培养学生的应用意识和创新意识，努力提升学生的数学学科核心素养水平.

参考文献：

[1]何书元. 随机过程[M]. 北京：北京大学出版社，2008.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京人民教育出版社，2020.

3559501908228