基于排队论的教学楼最优电梯数量探究

方文雅 吴格致 陈霖

基金项目：本文由西南民族大学大学生创新创业计划项目（项目编号：S201110656066）资助。

作者简介：方文雅（2001—），女，本科，研究方向为数学与应用数学。

吴格致（2001—），女，本科，研究方向为数学与应用数学。

陈霖（2000—），女，本科，研究方向为数学与应用数学。

摘 要：该文基于西南民族大学教学楼电梯使用高峰期上下客的数据，运用数学软件，对排队时间过长等问题进行了分析。并且在此基础上，还运用排队论，建立了数学模型。接着使用相关算法，计算出乘客的平均到达率、平均服务率及模型的特征指标，并分析西南民族大学教学楼电梯分布的合理性，得到在教学楼中间加装一部电梯更为合理的结论。

关键词：电梯数量  排队论  平均到达率  平均服务率

中图分类号：O 226    文献标识号：A     文章编号：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

高层建筑的发展，电梯已经成为生活中必不可少的工具，但是乘坐电梯的遇到的人流拥堵问题仍然时常发生。不仅如此，排队也是人们生活中的普遍现象。客梯数量过多会造成资源浪费，而客梯数量不足则会导致乘客滞留，造成乘客排队时间长，客梯服务强度大。为此，该文通过收集西南民族大学教学楼电梯运行的相关数据，构建和求解电梯排队和等待的数学模型[1]，探讨学生排队等候时间是否过长、教学楼电梯运力是否足够、分析目前教学楼的电梯配置是否合理和确定教学楼最优电梯数量等问题，达到提高服务水平、减少运营成本等目的。

1 教学楼电梯配置的调研分析

该文考虑对西南民族大学航空港校区博才楼和博学楼两种类型的教学楼进行分析。

博才楼位于西南民族大学航空港校区博学楼的东侧，78个教室，共6层。每次约容纳1 335位师生在此上课。仅有一部电梯供乘客使用。博学楼坐落于西南民族大学航空港校区的东北区域，102个教室，共6层。上课师生达1 900人次。配备两部电梯供乘客使用。

1.1 电梯配置评定指标

电梯控制学中有一套电梯服务质量品定指标，根据5 min载客率（CE）、平均候梯时间（INT）、平均行程时间（PNT）这3个数据，从理性及量化的角度来验证建筑的垂直交通组织数量配置是否合理[2]。学校属公共事业类，查阅文献得到我国对于这三项指标具体要求见表1[3]。

表1中平均候梯时间（INT），即电梯到达的平均间隔，由于电梯的到达间隔时间也是一个随机数，所以取其平均表示，单位：人/min。5 min载客率（CE）为5 min期间电梯最大的运送能力与全楼全部人员的比值。

平均行程时间（PNT）是指乘客自电梯关门启程起到运行到目的地的路程时间的统计平均值 [4]。

1.2 数据计算与分析

此次探究收集西南民族大学教学楼电梯运行的数据，记录了电梯运行周期数n，电梯第i次运行周期内乘客到达数，候梯队长，最长候梯时间，进入电梯人数，电梯行程时间，以及整栋教学楼上课人數Q。根据所记录的数据，下面对表1中的3项指标进行分析。

在电梯实际运行过程中，只有3～6楼的师生乘坐电梯，近似可认为电梯平均行程时间，即为电梯运行至4.5楼的时间，则有：

由计算公式

其中L为电梯台数，为单梯往返一周的时间。在实际电梯使用过程中，乘客是不间断到来的，则可近似认为=Wi，于是

对5 min载客率CE，则取每一组数据内，5 min内进入电梯最多人数之和与全楼全部人员的比值，即

其中t=0时，即为5 min进入电梯最多人数的起始时刻。

将记录所得的数据代入上述计算过程，得到的结果见表2、表3和表4。

根据表2、表3、表4的数据对比，发现西南民族大学教学楼电梯均存在交通运力不足的问题，在实际使用中不足以应付高峰期的人流量。平均行程时间（PNT）主要取决于轿厢速度、楼层高度及建筑物的服务层数，增加电梯台数并不能降低平均行程时间。而5 min载客率（CE）和平均候梯时间（INT），则可以通过增加电梯数量从而提高电梯交通服务质量。

2 电梯载客排队分析

在电梯运送乘客过程中，待乘梯旅客和电梯组成一个多服务台等待制排队模型M/M/L[5]，其主要包括乘客到达过程、排队规则、客梯这3个基本组成部分。

2.1乘客到达过程

验证乘客到达时间只与时间区间长度有关，不相交的时间区间内到达乘梯处的乘客是独立的，并且乘客到达是一个随机动态过程。

2.2排队规则

验证乘客以先到先服务规则接受服务，且为等待制[6]，乘客可根据客梯的排队情况选择较短的队列接受服务。若乘客到达乘梯处时，有空闲客梯则可直接接受乘梯，服务结束后离开客梯;若乘客到达乘梯处时没有空闲电梯，即所有客梯都在服务中，则乘客需要排队等候服务，直至有空闲客梯时接受服务。

2.3客梯服务机构

客梯的服务时间为确定型，其概率分布服从负指数分布。

3教学楼客梯数量优化模型

电梯排队系统到达分布若符合泊松分布规律，旅客到达的时间间隔t，服从负指数分布，其概率密度函数为

其中b为乘客到达率，表示单位时间内来到服务系统的平均乘客数。

其中 L为服务站的电梯轿厢数，m为平均服务率。r为服务站中单部电梯服务强度，是服务站排队系统的电梯服务强度，表示系统输入与系统服务能力之间的关系。当时，所有状态为正常返状态，此时存在平稳分布;当时，所有状态均为瞬态。因此根据文献可知[7]，当时，M/M/L系统存在平稳解。因此，当时， 模型的特征指标如下[8]。

4 模型求解与结果

4.1 验证乘客到达的统计分布

一般情况下，乘客到达属离散型分布，根据以往经验常采用泊松分布来拟合[9]。但对于电梯乘客到达是否遵循泊松分布，现有文献缺少实际到达观测数据的实证研究。对此，首先对各教学楼电梯排队乘客到达进行实地记录数据，并对排队乘客到达的规律进行研究，运用非参数检验方法检验旅客到达的统计分布特性。以2021年5月各教学楼电梯排队情况为例，在上课时间前20 min时间段内单位时间的评论到达人数及其频数，具体数据如表5所示。

基于表5数据，运用柯尔莫哥洛夫-斯米洛夫检验方法（Kolmogorov-Smirnov，K-S检验），利用SPSS软件分析，对验证教学楼电梯排队人数是否服从泊松分布进行检验，计算得出泊松检验参数双尾渐近概率值，大于0.05，没有呈现显著性，即可以认为电梯排队乘客到达服从泊松分布[10]。

4.2 教学楼电梯数量优化的计算

根据以上的分析，以单位时间内能够被服务完成的平均乘客数μ、客梯数量L和单位时间内乘客到达数量为输入值，模型的计算值为客梯系统服务强度、乘客等待概率P、乘客乘梯排队等待时间和队列长度。

需要測试的模型参数包括验证检票区单位时间内平均到达旅客数量、电梯载客数量m、平均服务率。各项参数的具体确定方法如下。

对单位时间内平均到达旅客数量。在教学楼上课前20分钟时段进行实地考察记录数据，则

对电梯载客数n，对电梯参数配置的调查，查阅到客梯的载客数m=13。

对平均服务率，即单位时间内能够被服务完成的平均顾客数，有：

其中为电梯往返循环一周平均时间，由于在上课前20 min始终有人排队，可近似认为，电梯往返一周时间等于乘客最长排队时间，则

其中n为电梯运行周期数。由（10）式可得

将实地考察记录所得数据代入（9）和（11），得到平均到达旅客数量、平均服务率，再利用（5）～（8）式，求出模型特征指标。表6为博才楼=5.41030，m=5.0931的M/M/L系统课前20 min时段的计算结果及评价指标。

当前博才楼只有一部电梯，正如表中服务强度超过1，客梯无法满足需要，导致排队人数越来越多，等待时间过长，加之课间时间有限，排队现象严重。若增加一台客梯，则服务强度明显降低，乘客等待概率减小，等待时间也在合理范围内（参考公共事业类30～60 s，符合标准），这说明增加一个客梯是合理的，但如果设置3台客梯，对师生来说没有必要且会造成浪费[11]。

博学楼虽然有两台客梯，但由于教学楼特殊的结构和电梯位置，可以看成是两个独立的M/M/L排队系统，表7为博学楼=5.369 04，m=5.003 27的计算结果和评价指标。

若在博学楼正中间安装一个客梯，则3个电梯可组成一个M/M/3电梯系统。表8为博学楼=9.851 45，m=5.003 27的M/M/L系统课前20 min时段的计算结果及评价指标。

根据表7和表8，对于博学楼，现有的两个电梯服务强度超过1，无法满足师生的需求。增加电梯有两个方案，一个是在博学楼左右两栋教学楼各加装1部客梯，一个是在教学楼中间加装1部客梯，即对两个M/M/2和一个M/M/3系统进行比较，从表中各个指标可以看出两个模型排队概率均减小，等待时间也都符合国家规定的标准（参考公共事业类30～60 s）。但考虑服务成本的问题，在教学楼中间加装1部客梯明显更加合理。

5 结语

基于以上电梯数量优化方法与计算结果，对提高教学楼电梯服务效率提出以下建议。

增加教学楼电梯数量。考虑在博才楼、博学楼各增设一部电梯，以此减少电梯系统服务强度，减少师生乘梯等待时间。

实行电梯数量弹性控制。根据师生上课人数，将全天分为高峰时段与非高峰时段，在保证电梯服务水平的前提下，实行客梯数量的弹性控制，在保证运输能力的同时也做到了节约能耗。

优化学校排课方案。尽量将师生上课的教室楼层从低至高安排，且上课人数较多的班级安排在较低层，保证低层数教室得到更多利用，减轻电梯运载压力。

提高楼梯使用率。合理优化立体交通方式，对于在3层以下上课的师生以及下课后需下行的同学，在无特殊情况下，建议其使用楼梯。

基于实测的数据拟合，验证了教学楼电梯排队中的单个服务站乘客到达分布符合泊松分布;运用排队论理论建立了M/M/L模型，其优化结果可判断教学楼电梯数量是否合理。通过实例计算，结果表明了该模型具有有效性，基于排队论方法进行验证教学楼电梯数量优化配置，可以明显提高师生在乘梯高峰期使用电梯的效率;对于增设电梯的提议，于学校而言，可以提高对师生的服务质量，体现以学生为本的人文关怀。于师生而言，可以缩短在课间乘梯高峰期的排队时间，提高出行效率。可行性较高。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M]. 5版.北京：高等教育出版社， 2018.

[2] 陈芝颖，张南宁.城市医院的住院楼客梯配置及运营研究——以广州为例[J].南方建筑，2012（2）： 71-75.

[3] 但啸天，刘阳.基于运行效率的医院建筑电梯使用状况研究——以安徽省立医院总院为例[J].城市建筑，2020，17（8）：85-88.

[4] 吴化平.基于垂直交通配置性能理论的医院直梯优化调度[J].中国新技术新产品，2017（18）：127-129.

[5] 郑波涛，毛晓汶，杨萍茹，等.基于排队论的灾害时人员电梯疏散时间计算[J].安全与环境工程，2019，26（1）：83-86，98.

[6] 付元涛，刘飞阳.基于排队论的北京某超市收银系统优化研究[J].中国储运，2020（12）：90-92.

[7] 徐光辉.随机服务系统[M] .2版.北京：科学出版社，1988.9

[8] 宋军远.基于马尔可夫网络排队论的电梯优化配置方法的研究[D].天津：天津大学，2003.

[9] 肖强.城市出租车合乘匹配理论模型与关键技术研究[D].兰州：兰州交通大学， 2017.

[10] 颜虹，徐勇勇. 医学统计学[M].3版. 北京：人民卫生出版社，2017.

[11] 张明聚，张奇朋，高云昊，李鹏飞.基于排队论的建筑式立体车库控制策略及汽车电梯配备数量研究[J].长沙理工大学学报：自然科学版，2020，17（3）：79-89.

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