一种摩擦离合器膜片弹簧载荷变形特性修正计算方法

胡汝凯，耿立冬，刘夫云

（1.桂林福达有限股份公司，广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学机电工程学院，广西 桂林 541004）

1 引言

膜片弹簧由弹簧钢板冲制而成，分为碟簧和分离指两个部分，由于其具有良好的非线性特性等诸多优良性能，广泛应用于汽车离合器[1]。目前多以Almen 和Laszlo 提出的A-L 公式为理论基础进行膜片弹簧的初步分析计算[2]。A-L 法是碟形弹簧的近似计算公式，在公式推导过程中存在着理论误差。文献[4-6]研究表明，用有限元法计算载荷变形曲线比A-L 法更接近于实测曲线，杨井银、张铁山分析发现分离指根部及窗孔结构是影响膜片弹簧载荷变形特性的关键因素[7]。

为了更精确的计算膜片弹簧的载荷特性曲线，分析了分离指结构的影响，建立了分离指影响系数函数，提出了用碟形弹簧的精确计算方法S-W 法代替A-L 法的载荷变形计算方法。

2 分离指对膜簧载荷特性的影响分析

对分离指部分进行分割，构建不同分离指长度的模型进行分析。分离指长度为0 的模型即是碟形弹簧，对比可知，分离指长度（5～32）mm 的膜片弹簧载荷变形曲线几乎吻合，但是与碟形弹簧的载荷变形曲线相差较大，证明了对膜片弹簧载荷变形特性影响较大的是分离指根部及窗孔结构[7I]，如图1 所示。

图1 不同长度分离指的负荷特性对比Fig.1 Compare Load Characteristics of Different Separation Finger Lengths

膜片弹簧按窗孔形式分类，可分为长圆形孔膜片弹簧、方形孔膜片弹簧、梯形孔膜片弹簧。三种不同窗孔形式的膜片弹簧结构简图，如图2 所示。

图2 三种不同窗孔形式的膜片弹簧结构简图Fig.2 Three Kinds of Diaphragm Spring Structure Diagram with Different Window Hole

图中：R—膜片弹簧外半径；r—碟簧部分内半径；h—碟簧部分内截锥高度；t—弹簧板厚度；L—外支承半径；l—内支承半径；r0—小端内半径；re—窗孔内半径；δ1—小端槽宽；δ2—窗孔槽宽；δ3—分指与内径接触宽度；r′—窗孔圆角半径。

通过有限元仿真的方法，改变D 形孔宽度，即窗孔槽宽δ2，进行分析和试验对比，得出膜片弹簧的峰谷值与D 形孔宽度呈负向线性关系[8]。无论是分离指数目n 或者是窗孔槽宽δ2的变化，改变的都是环比值c/a[3]。给出环比值的计算公式为：

式中：c—分离指与碟形部分连接处的总长度；a—分离指连接处碟形部分的周长。

采用环比值c/a 作为分离指结构对膜片弹簧的唯一影响因素并不合适。除环比值外，分离指数目n、窗孔圆角半径r′同样对膜片弹簧负荷特性产生影响。修正现有的膜片弹簧载荷变形计算公式时，进一步考虑分离指数目n、窗孔圆角半径r′的影响，会得到更好的修正效果，长圆孔或方孔膜片弹簧的分离指根部结构参数有分离指数目n、窗孔槽宽δ2、窗孔圆角半径r′。长圆孔与方孔膜簧的差别在于窗孔圆角半径r′的大小。梯形孔膜片弹簧用分离指与内径接触宽度δ3取代窗孔槽宽δ2来描述窗孔结构。

同时对分离指根部相关结构参数进行转换，得到三个转换参数：指数倒数1/n、修正环比值c′/a、窗孔圆角半径比值i。

1/n 是分离指数目的倒数。

c′/a 是过膜片弹簧原点且与窗孔圆角半径相切的直线在碟簧内径r 上截取的圆弧同内圆周的比值。计算公式为：

式中：a—长圆形、方形窗孔；b—梯形窗孔。

i 是当前圆角半径同当前窗孔下最大圆角半径的比值。计算公式为：

3 膜片弹簧分离指影响系数计算模型

3.1 分离指影响系数的提出及同转换参数的关系

由膜片弹簧的载荷变形实测曲线可以看出膜片弹簧的载荷变形曲线是一条过原点的三次曲线，函数形式为：

式中：a1—一次项系数；a2—二次项系数；a3—三次项系数。

由于分离指部分的影响，具有相同碟簧部分结构参数的膜簧和碟形弹簧的载荷变形特性必然有所不同。函数式上的各次项系数也不相同。提出以膜片弹簧函数式各次项系数同碟形弹簧函数式各次项系数的比值，作为分离指影响系数。设I 是分离指影响系数，I1是一次项影响系数，I2是二次项影响系数，I3是三次项影响系数。

把载荷变形曲线上峰点、拐点、谷点的位移载荷代入式（4）或式（5）求解膜片弹簧或碟形弹簧的各次项系数，从而得到载荷变形特性的函数形式。即求解线性方程组：

方程组（7）可以用矩阵表示，令：

则方程组（7）可表示为：Λa=b

矩阵Λ 称为线性方程组（7）的系数矩阵，a 是未知量列，b 是常数项列。

等式右边的行列式是一个3 阶范德蒙行列式。由于膜片弹簧的载荷变形曲线峰点、拐点、谷点的位移λ1、λ2、λ3均不等于零且互不相等，所以|ΛT|不等于零，ΛT可逆。ΛT的可逆矩阵（ΛT）-1存在，公式Λa=b 转置并把ΛT 移到右边，得：

由公式（8）可以得出，膜片弹簧得各项次数分别是峰值、拐点和谷值同（ΛT）-1各列元素的线性组合。由于峰值、拐点、和谷值同转换参数由相同的规律，则膜片弹簧的各次项系数同转换参数也应存在相同的规律。由式（6）可知，各次项分离指影响系数等于膜片弹簧的各次项系数除以一个蝶形弹簧的各次项系数，而蝶形弹簧各次项系数是常量，并不对各次项分离指影响系数的规律产生影响，所以确定各次项分离指影响系数同转换参数亦存在相同的规律。

按照式（4）～式（7），可计算膜片弹簧的各次项影响系数。将三个转换参数对载荷变形特性影响时的有限元仿真结果进行相关计算，求取各次项影响系数。对比观察三个转换参数改变后各次项影响系数的变化趋势。

图3 改变三个转换参数后各次项分离指影响系数的变化趋势Fig.3 After Changing the Three Conversion Parameters，the Change Trend of the all Items Separation Finger Influence Coefficient

从图3 可以看出，改变指数倒数1/n，各次项分离影响系数趋近于正线性关系。增加修正环比值c′/a 和窗孔圆角半径比值i，各次项影响系数增大，增大速率变大，趋近于二次关系。可以得出峰值、拐点载荷和谷值同三个转换参数的变化规律同样适用于各次项影响系数同三个转换参数的关系。为了建立各次项影响系数同三个转换参数的函数关系式，设计试验，采取正交试验的方法。正交试验利用正交表在遍历实验中选出一部分“均匀”和“整齐”的点进行试验并进行数据分析，是多因素试验的一种方法[9]。在实际生产中，膜片弹簧的分离指数目一般设计为12，15，16，18，21，24指；对实际结构参数经过转换，修正环比值大致控制在0.4-0.8 的范围内；窗孔圆角半径比值范围可以看作0-1。因素就是三个转换参数—指数倒数1/n、修正环比值c′/a 和窗孔圆角半径比值i。每个因素可根据实际情况选取五个水平。按三因素五水平可挑选L25（56）型正交表来进行试验，L25（56）型正交表只需要做25 次试验，能在反应全面情况的同时，大量减少试验次数，采取有限元仿真的办法来模拟试验。

3.2 分离指影响系数回归模型的建立及计算

回归分析法通过建立统计模型，研究变量间相互关系的密切程度、结构状态、模型预测，是一种研究客观事物各变量之间的关系的统计方法[10]。

已知膜片弹簧的各次项影响系数于指数倒数呈线性关系，于修正环比值、窗孔圆角半径壁纸呈二次关系。可以用一个三元二次回归模型拟合各次项影响系数同三个转换参数的函数关系式。用x 代替指数倒数1/n，用y 代替修正环比值c′/a，用z 代替窗孔圆角半径比值i。

根据膜片弹簧的几何意义，对模型进行简化。若分离指的数目趋近于无穷大或者修正环比值等于零，膜片弹簧就无限与接近碟簧，分离指部分不影响膜簧的载荷特性，则模型中的分离指部分不存在，常数项等于1，而窗孔圆角半径也依附于分离指数目的存在。由上述可将模型简化为：

按式（10）进行拟合，用逐步回归得各次项影响系数最终的回归方程为

将x，y，z 替换为三个转换参数1/n、c′/a、i，拟合得到的各次项影响系数的函数式为：

4 膜片弹簧分离指影响系数的计算模型

4.1 碟形弹簧精确计算方法S-W 法

S-W 法由美国亚利桑那大学土木工程系副教授施密特（R.Schmidt）和温柏纳（D.A.Wempner）于1959 年提出，是碟形弹簧的一种精确计算方法[1]。根据分析碟形弹簧的径向弯曲应力远小于切向应力，因此可以假设经向弯曲应力为零。在此假设的基础上，S-W 法应用冯·卡门大变形圆锥薄壳微分方程得到碟形弹簧的精确解法，再能量法的瑞利里兹法，取∂U/∂λ=0，可求得近似解法。所得计算公式为：

将S-W 法、A-L 法同碟形弹簧的实测曲线进行比较，S-W法的计算结果比A-L 法更接近实测曲线[1]，而且随着计算机技术进步，S-W 法计算不便的缺点也得到了解决，S-W 法的公式可以表示为（4）的形式，上一章建立了离指影响系数同三个转换参数的函数关系式（10），把影响系数函数式添加到S-W 法公式中进行修正从而得到包含分离指结构参数的膜簧负荷计算公式。

4.2 试验内容及数据处理

试验时选取了梯形、方形、长圆形三种不同窗形的膜片弹簧进行验证，选取A 型、B 型、C 型三种膜簧各15 件，尽量消除形状不规则影响。

在膜片弹簧凸面上依次标号（1～45）。使用游标卡尺和游标角度尺测量每一件膜片弹簧的结构参数，每个参数测量（5～6）次，并记录数据。把膜片弹簧放置在膜片弹簧负荷特性检测机的下模定位芯轴上。操纵压力机对膜片弹簧进行加载，大端变形达到一定行程后进行卸载。膜片弹簧测试完毕后，将保存在压力机内的测试数据导出，将测试前测量得到的三种膜簧的结构参数进行转换，计算外半径R、碟簧内半径r、内锥高h，转换公式如下：

按式（2）和（3），计算膜簧的三个转换参数：指数倒数1/n、修正环比值c′/a、窗孔圆角半径比值i。如表1 所示。

整理B 型、C 型、D 型三种型号膜片弹簧的有效压力测试数据，通过对各型号膜片弹簧加载卸载时的峰点载荷位移、谷点载荷位移相加求均值的办法，得到剔除支承面摩擦力影响的峰点载荷位移值和谷点载荷位移值，如表2 所示。

表1 三种型号膜簧的结构参数和转换参数Tab.1 Structural Parameters and Conversion Parameters of Three Kinds of Membrane Springs

表2 剔除摩擦力影响的峰谷点载荷位移值Tab.2 Without the Influence of Friction，the Load Displacement of Peak and Valley Point

4.3 对比验证

分别用A-L 法、有限元法和这里的新方法计算A 型、B 型、C型三种膜簧的载荷变形曲线，处理后的试验曲线放入同一坐标系内进行对比，如图4 所示。

图4 三种型号膜簧多种载荷特性计算方法的比较Fig.4 Comparison of Calculation Methods for Various Load Characteristics of Three Kinds of Membrane Springs

将A-L 法、有限元法、新方法计算三种膜簧的峰谷值同实测值进行比较，如表3 所示。由图4 和表3 可以看出，A-L 法的载荷变形曲线整体偏低，谷峰值偏低，误差较大，峰值误差值最高达到10.14%，谷值误差最高达到17.55%。有限元法的载荷变形曲线在达到拐点前同实测曲线有较好的吻合程度，但是离开第一个拐点后载荷变形曲线下降较快，峰值误差最高1.47%，谷值误差时三者最大的，最高达到19.9%。新方法的载荷曲线整体比较吻合，在第一个拐点后有所下降，但是下降幅度较小，峰值误差最高达到3.24%，谷值误差最高达到8.89%。

表3 三种方法的峰谷值对比Tab.3 Peak-to-Valley Point Comparison of Three Methods

5 结语

（1）对分离指根部相关结果参数进行转换，得到三个转换参数：指数倒数1/n、修正环比值c′/a、窗孔圆角半径比值i。（2）用分离指影响系数表达三个转换参数对膜片弹簧的载荷曲线影响，并用回归分析法得出各次项影响系数的函数式。（3）把影响系数函数式添加到S-W 法公式中进行修正从而得到包含分离指结构参数的膜片弹簧负荷计算公式。（4）通过试验验证，新方法计算峰值误差在3.5%以内，谷值误差在9%以内，新方法计算膜片弹簧的载荷变形特性，具有很高的精度，可以满足工程应用的需要。