核心素养视域下小学课堂数学活动的思考与实践

任占杰

基础教育课程改革在二十年的发展历程中成绩斐然，从对先进教育理念的接受、悦纳，到努力践行于课堂实践中，无不体现着教育工作者为之付出的努力与热情。然而在听课调研中，仍能感受到教师因缺少践行理念的策略和方法而产生的内心焦虑，课堂上虽有动手操作的环节，但思考力不足；虽有合作学习的形式，但思辨性不强；教师用自以为体现新理念的“满堂问”替代“满堂灌”，并未达成提高质量，促进发展的目的。为此站在发展核心素养的角度，重新思考、界定小学课堂数学学习活动内涵、特性及组织结构，对落实培养学生数学核心素养目标具有重要的意义。

一、对核心素养视域下数学活动的再思考

活动是儿童的天性和兴趣所在，没有活动也就限制了小学生的发展。瑞士著名心理学家让·皮亚杰认为儿童学习的基本途径是自己的活动，活动是智力最直接的源泉。因此，小学生的数学学习就是数学认知的建构活动。学生在活动中不仅有数学的发现，而且还能感悟数学思想方法、积累活动经验，形成数学思维能力及必备品格等。为此，基于核心素养视域下的小学课堂数学活动更加强调实现学生主动、自觉、相对独立的建构性学习行为的真实发生，以期学生形成在面对复杂的、不确定的现实情境时，应具备的独立解决问题的能力。

图1.数学学习要素

（一）何谓数学学习

建构主义学习理论认为，学习的实质是心理结构的建构过程，是学习个体对环境的一种适应活动[1]。在此活动中，学习者因经验获得而引起行为、能力和心理倾向比较持久的变化[2]。由此推演，小学生的数学学习指学生在数学经验（或经验结构）的建构过程中，引起其心理适应性的变化过程。所谓心理适应性变化，一方面指学生原有认知经验（结构）与数学知识（结构）间存在“平衡——不平衡——平衡”的矛盾统一，即新知识经验纳入原有经验（结构）中，形成新经验（结构）的活动过程；另一方面指在这个过程中可引发学生行为、能力及心理倾向的变化。如图1所示，数学行为指问题解决的思想、策略和方法，它是基于对数学概念、规律、关系的意义理解而获得；所谓的能力与心理倾向特指唯有通过数学学习而获得的数学思维能力和品格[3]。它们属于行为潜能，不会立即显现，需要通过学习将其挖掘、激发出来。由此可见，学生数学认知的获得方式在一定程度上决定其行为潜能的发展。

另外，小学生课堂上的数学学习是以接受人类已有知识经验为主，是在教师指导下，以间接经验为主要学习对象的认识与发展相统一的活动，相对于人类学习，它虽然是一种简约化的认知过程，但却是学生认知与能力发展所依赖的必然活动。所以，研究课堂上如何让学生“学”的行为真实发生，是在核心素养视域下对小学课堂数学活动的思考与实践的价值所在。

（二）何谓数学活动

1.数学活动内涵

数学活动即为数学学习活动的简称，强调“活动”一词意在突出数学学习是学生自觉、主动地构建新知识经验的行为活动，是学生依据已有经验，对现实情境中的问题进行加工与分析，获得新经验（或新经验结构重组）的心理适应性的过程。如图2所示，数学结论是学习主体依据已有经验，在观察、操作的外显行为与分析推理的内隐思维并行的活动中，获得意义理解，并在应用中得以验证而获得。当然，基于学科特点，数学活动必然要以理性分析、逻辑论证等思维活动为核心。它是由教师精心设计，以学习者为主体的活动系统，包括活动主体、活动内容、活动目标、活动任务、活动共同体、活动工具等要素。有效的数学活动体现在：激发学生的学习兴趣与调动学习内需的同时，达成数学认知、能力及品格的并行发展。

图2.数学学习活动原理

2.数学活动特性

数学活动是活动主体在已有经验基础上，面对新情境主动进行信息加工处理，建构意义的过程。依据建构主义学习理论，小学课堂上的数学活动具备以下特性：

（1）情境性

情境理论认为，人类学习的实质是个体实践、个体参与、个体与他人相互影响、个体与环境相互作用的过程，并在这个过程中形成社会化水平和提高能力。也就是说，学习者的认知能力固然很重要，但是如果脱离具体的实践或应用环境，真正的认知能力难以形成[4]。由此可见，学习是不可能脱离具体情境抽象存在，它是学习主体在实践活动中完成对知识的理解和认识的过程。小学课堂上的数学活动就是在情境中发现、提出问题，在情境中探究、解决问题，并迁移、应用到新情境中进行检验、论证，从而获得数学结论的过程。

（2）建构性

学习并不是简单的信息、经验的输入、存储与提取，而是由于新旧经验的冲突而引发的观念转变和结构重组，是一个能动性的建构过程。核心素养视域下的小学课堂数学活动，就是通过营造现实（或问题）情境，让主体经验与客体情境产生相互影响，学习主体以其已有的经验对客体信息进行分析、加工和处理，与从客体情境中获取的新信息（新经验）相互作用，获得对新经验的认识、理解并纳入主体已有的认知结构中，完成意义建构。

（3）互动性

建构主义强调，学习是通过某种社会文化的参与而内化相关的知识技能、掌握有关工具的过程，这一过程常常要通过一个学习共同体共同参与。因此，小学生的数学学习不仅表现为学习个体对知识内容的加工与建构，还表现为学习共同体的合作与互助。尤其是小学课堂上的数学活动，绝非仅是学生的个体认知加工过程，而是群体、共享性的知识建构过程，是学习共同体为同一目标，在有意义的、合作性的探究、对话与交往中，进行智慧共享、认知整合和思想进步的过程。

二、核心素养视域下数学活动的组织结构

尽管课堂上数学活动是以人类获取的间接经验为主要认知对象，但让学生经历“数学化”的过程，对培养学生数学素养有着积极的作用。荷兰数学教育家弗莱登塔尔认为，数学化就是人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程[5]。学生经历数学化过程有两种方式：一种是从生活到数学，再回到生活中（解决实际问题）；另一种方式是“从数学到数学”，以已有的数学知识为基础进行综合、演绎、整理，从而生成、抽象为高一级的数学知识（或形成内部之间的联系）[6]。因此，让学生经历数学化的学习过程就是组织架构数学活动（如图3）的核心宗旨。

现实情境——蕴含数学信息。所谓现实情境就是学生赖以发现、研究数学的背景、情境。无论是将书本上抽象的数学知识还原为现实原型，还是纯数学问题（问题即情境），都蕴含丰富信息。让数学学习始于情境，为学生提供从数学视角观察生活，发现数学问题的机会，不仅可引发思考、探寻问题的本能欲望，还可以基于情境的意义理解与迁移应用，使学生切身感受数学在生活中的价值。值得注意的是，情境创设需关注以下问题：要贴近学生生活实际，是学生熟悉的、亦或是在认知最近发展区内的情境；要蕴含有效的问题，具有研究价值和探索意义；要承载知识本质，指向数学的本质内涵。

图3.数学活动的组织结构

获取信息——引发思考。情境创设的价值在于为学生提供用数学的眼光观察现实生活的机会，为学生提供发现、提出数学问题的可能。但需要明确，获取的信息不仅包括发现数学问题，而且还包括获取与问题相关的、有价值的数学信息，这需要学生具备数学的洞察力，能透过生活现象洞察数学信息与问题。这是学生认识现实世界、引发数学思考、展开数学活动的起点。

信息加工——建构认知。信息加工包含信息接收、存储、操作、分析、推理、提炼等活动过程。因此，数学认知建构有两种基本形式：一种是以已有经验为基础，通过观察、实验、推理、验证等活动，归纳、发现、提炼出新经验；另一种是运用已有经验（或认知结构）解释、论证新经验，沟通新旧经验的联系，并最终纳入原有认知结构，补充、完善认知体系[7]。这一环节是数学活动的核心，是自主形成数学结论的关键。

解释应用——形成结论。解释与应用指对新知识经验的意义理解与迁移应用。正如布鲁姆目标分类学中的高级认知水平所示，人们获得理解之后就能够分析、综合并独立评估不同信息和情境，并且在面对涉及知能和理解的新智力挑战与情境时，能够准确提取所学知识并有效运用[8]。因此，当学生将新知识经验理解内化到已有知识结构，并迁移应用到新的情境中，新知识经验方可作为结论而被学习者悦纳。

以上四个环节作为一个完整的数学活动的结构要素，蕴含着发现、提出、分析、解决问题的全过程。在此过程中，依托具体情境，为学生搭建探索、思考、交流的平台，实现学生认识的自主建构。同时在这个过程中不仅让学生积累宝贵的研究问题的经验，而且促其数学相关能力及品格的形成与提升。

三、核心素养视域下小学课堂数学活动的设计与实施

数学活动除必备上述四个结构要素外，在设计实施时，还要依据知识内容及核心素养培养目标，关注以下方面：活动目标确定、活动任务设计、活动方式呈现、认知分享推进等，达成小学课堂数学活动兼顾认知建构与数学素养培养的目标任务。

（一）以适切的学习目标为引领

学习目标是学生经历学习活动之后预期达成的结果。它是数学活动设计的价值定位，也是评估学业水平的直接依据。好的活动设计是以目标为导向，思考与之匹配的活动任务与方式。尽管《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“标准（2011年版）”）中，已从三个维度四个方面明确了义务教育阶段的数学课程培养目标，但聚焦具体内容的学习目标，还需依据课程目标进行分解与细化，需要将宏观的课程目标转化为具体的、可操作的课时目标，且目标定位符合学生认知水平，能促进学生发展。适切的学习目标具备以下五个特性：

主体性——突出学生“学”的主体活动。一方面，目标描述是以学生为活动主体，呈现学生学了什么、怎么学的、学的程度及能力发展表现；另一方面，目标定位要站在学生“学”的角度，思考符合学生认知水平，易于认知建构的活动方式。

整体性——促进学生的全面发展。相对于课程目标，尽管数学活动目标为短期、具体的学习目标，但核心素养视域下的学习目标，仍要立足促进学生全面发展，关注知识技能、数学思考、问题解决及情感态度等目标的整体思考，这是落实数学核心素养培养的根基。

层次性——关注目标的层次落实。无论是单元目标，还是课时目标，均是由总目标、学段目标逐级分解而来。一节课的数学活动，也是由若干小的环节活动组合而成。因此，课时目标的有效达成，需要依靠各环节目标的落实程度。反之，如若确保环节目标的落实质量，亦需要依据课时目标进行科学合理地逐级分解，有层次、梯度地落实。可以说，关注目标层次性的落实，是课时目标、单元目标等达成的有力保证。

针对性——基于真实学情定位目标。当下学生学习途径很多，未学先会的现象并不稀奇。基于真实学情，调整、定位适切的学习目标，使其满足学生学习进取需求，符合学生认知水平，关注学生能力发展，将聚焦知识技能目标转化为关注学生学习活动的设置，以体现数学活动对促进学生能力与素养提升的价值。

操作性——凸显目标的指导性和评估价值。学习目标的操作性体现在两个方面：一是将学习目标具化为学生学习行为，指导教学实施。目标描述除明确行为主体（学生）、行为表现（学什么）、表现程度（学的程度）外，还要明确描述行为条件（怎样学），以此体现学习过程、方式与途径，为教师实施教学提供抓手。二是将抽象的认知水平具化为评量的标尺，使教师对目标中“了解、理解、掌握、应用”等认知维度建立起清晰、丰富的认识。

以人教版五年级“三角形的面积”一课为例，本节课的学习目标如下所示：

（1）经历三角形面积公式的猜想、发现、推理、验证过程，理解三角形面积的计算方法，并能运用面积公式解决生活中的实际问题。

（2）在计数面积单位的活动中，自主生成、优化拼组转化方法，进一步认识、理解转化思想在研究问题过程中的价值与作用。

（3）在有数据支持到无数据支持的探究中，将合情推理与演绎推理有效蕴含于数学活动之中，让学生经历由特殊到一般的认知过程。

（4）以认知生成为核心，经历研究问题的过程，感悟事物是相互联系的辩证唯物主义观点，积累活动经验，发展数学推理能力、空间观念，提升自主学习能力，养成会思善问的习惯，获得积极的情感体验。

上述学习目标中呈现了学生建构三角形面积计算方法所经历的过程——由特殊到一般的数学化认知活动；呈现了学生建构认知的方法与途径——在探究活动中经历拼组转化的优化过程；呈现了学生的发展与成长——不仅掌握知识，而且感悟数学思想方法，积累活动经验，促进学生形成数学能力与品格。以突出学生学习行为的外化表现，体现学习活动的主体性、整体性、操作性。同时明确目标中的“理解”的评量标准，即目标描述“在计数面积单位的活动中，自主生成、优化拼组转化方法”“经历由特殊到一般的认知过程”。正如“标准（2011年版）”中对“理解”的界定那样，它指向图形要素与关系，指向数学思想的领悟与运用，指向知识的本质内涵。

当然基于目标的层次性，上述课时目标还可分解细化为本课各个环节目标。如对于目标2的落实和达成，分如下三个环节进行：第一个环节，借助方格图，研究直角三角形的面积，唤醒已有的研究面积问题的两种经验方法，即剪拼法和拼组法；第二个环节，运用剪拼与拼组方法研究锐角三角形的面积，对比体验、感悟两种方法的价值与作用；第三个环节，研究钝角三角形的面积，完成拼组转化方法的自主优化。三个环节基于问题解决的深入，体现了目标的逐级落实，最终达成对转化思想的深刻领悟。

（二）以有效的活动任务为统领

学生的数学学习在某种程度上可以称之为任务（项目）学习，即以完成某一学习任务而开展的学习活动。尽管学生发现、探究的对象是人类已有的认知成果，但让课堂成为浓缩人类文明衍生的舞台，使学生切身经历数学结论的发现、猜想、实验、验证的过程，对形成学生综合性能力与素养有着重要的意义。因此，设置贴近学生生活、具有开放性和探究性的学习任务统领学生的学习活动，可提高学习质量和活动质量。

如，“三角形的面积”一课，理解三角形面积计算公式的由来，必然要有一个核心任务统领学生经历面积公式的猜想、发现、推理、验证的过程。为此，本节课的学习活动围绕如下核心任务展开思考和探究。

核心任务：现在请大家从图4任选一个三角形，弄清楚它的面积有多大，你能想到办法吗？你可以先选定一个三角形，可以画一画、算一算，争取让其他同学能看懂自己的想法。

图4.学习材料

活动的设置，一方面充分尊重学生，让其按照自己的意愿，自主选择图形作为研究起点。另一方面，仅提供方格图作为学生研究问题的工具，不做其他提示与限定，以此提高探索、思考空间，让学生基于已有经验，自主建构面积公式，理解知识本质，发展数学思考与能力。当然，此问题任务是贯通整节课的主线问题，而要达成最终学习目标的多项要求，还需要设置具体学习活动逐层落实。

为此，本节课以上述核心任务为统领，以认知生成为核心，设置了如下三个数学活动，分级落实课时学习目标（如表1）。

活动一，体验思想方法。这是学生探究、建构三角形面积计算方法的开始。活动中，学生研究直角三角形、锐角三角形，借助方格纸确定三角形的底、高及面积，同时将底、高乘积与其对应图形建立联系，到研究钝角三角形面积时计数方法费力，进而想象底乘高的积与相对应图形，进一步体验拼组转化的意义与作用。这个过程学生的认知不断生成，从研究直角三角形时的不成熟的剪拼或拼组方法，到用剪拼和拼组的方法研究锐角三角形面积的思维作品，乃至学生的奇思妙想，无一不是把学生当堂生成的思维成果作为进一步研究和探索的基础。这样的过程让我们看到了学生的成长：从起初研究三角形束手无策，到有法可依，再到方法的优化，体现了学生研究问题方法、经验的提升，是思维水平的发展和心智的成长。除此之外，随之研究过程中所形成的克服困难的意志、获得成功的自信以及严谨求实的科学态度等都是实现学生自主发展不可或缺的必备品格和动力。

表1.活动设计及目标

活动二，理解计算方法。经历由特殊到一般的数学化过程。活动中，学生经历了借助方格，以“快速得到一组三角形的面积”的任务驱动，体验感受三角形面积与什么有关系，有怎样的关系；到“没有方格如何计算三角形的面积”的思考，不仅催生学生自主优化生成拼组转化的思想方法，而且获得的是对“用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形”的认识，获得对三角形面积计算公式的理解。更为重要的是让学生经历体验一个数学结论严谨科学的论证过程及理性精神，这是培养学生数学核心素养的必然过程。

活动三，关注本质，贯通联系。对于平面图形面积的计算，其本质就是计数其所含面积单位的多少。这也是将长方形面积、平行四边形面积和三角形面积紧密联系的内核。本环节以方格纸作为研究工具，借助学生研究长方形面积的经验（摆面积单位），将同是底为3个单位长度，高为4个单位长度的长方形、平行四边形和三角形，通过摆面积单位的方式，使学生发现三种图形面积计算方法的背后联系，并在比较辨析的过程中认识、理解平行四边形的底乘高的结果就是一个长方形（区域）含有面积单位的数量，而这个长方形的面积通过剪拼恰好是平行四边形；同样三角形的底乘高结果也是一个长方形（区域）含有的计数单位的数量，它的面积就是用两个完全一样的三角形拼组而成的平行四边形的面积，所以三角形面积也是这个长方形面积的一半。在贯通知识联系的同时，为学生日后探究其他的平面图形面积积累了经验，在整个过程中学生的自主转化意识在探究过程中得到二次提升。

总之，三个活动构成了学生对三角形面积计算方法的完整认知，不仅在经历计算公式的形成过程中，发展学生数学推理能力、抽象概括能力，并不失时机地借助拼组想象发展学生的空间观念，且通过贯通知识联系，使学生对三角形面积计算公式的认知建立在大的知识背景下，理解其本质，获得积极的学习体验。

（三）以凸显数学思考为核心

数学自身的抽象性、逻辑性及应用性决定了数学思维活动是数学活动的核心。因此，好的数学活动不仅仅体现在是否具有操作探究的外在行为表现，更重要的体现在是否具备抽象的思维含量，引发学生深刻的数学思考。可以说，数学思考是数学活动的核心本质。所谓思考，就是认知加工，是学生发现、提出问题，分析、解决问题时大脑的活动过程，是学生独立认识世界的途径。因此，数学活动应充分彰显数学思考，促进学生对知识深入持久理解，并能迁移应用。

如上述课例中的数学活动，学生在探究三角形的面积过程中，无论是从已有经验中唤醒、寻求研究方法，解决直角三角形的面积问题，亦或研究钝角三角形面积时，两种方法适用性的对比体验，还是没有方格时，通过想象拼组，将三角形与长方形、平行四边形面积建立联系，推理论证得到三角形面积的计算方法，都是在学生的不断分析、加工、推理的思维活动中达成认知生成、获得结论的发现、验证与应用。由此可见，提高数学活动的思考性，需要创设主动内生性的探索活动，通过降低活动的提示引领性，让学生在问题驱动下，主动关联已有经验，进行认知加工与建构。可以说，数学活动的思考性是评价学生数学学习真实发生的重要指标。

（四）以多样化的活动方式为途径

课堂上的数学活动在核心任务的统领下，可由2-4个具有逻辑递进关系的系列活动组成（如上活动示例），且活动方式亦可结合具体内容灵活确定。尤其随着课改深入，在动手实践、自主探究、合作交流等教学理念倡导下，大家对探究式、体验式的学习情有独钟。在小学数学知识体系中，确实有许多知识内容需要学生亲身经历探究过程，也存在如“克与千克”建立量感的内容，需要依赖于学生的亲身体验。然而探究式、体验式学习方式并不是学生进行意义建构的唯一途径，而是需要结合知识内容以及学情，灵活运用恰当方式促进学生的自主建构。

如，人教版四年级“平行与垂直”一课，“平行”与“垂直”概念，属于描述型，通俗易懂，加之学生有大量的、丰富的生活经验，所以，学习活动可以通过“对话+思辨”的方式，让学生在表达、阅读、思辨的过程中，完成对概念的理解与认识。

首先，通过画出生活中的平行与垂直现象的活动，给学生自主表达抽象的机会，尽管不完善、不成熟，甚至不正确，但这是学生理解、形成概念的基础。学生在经历图形表达之后，紧随其后的看书学习，就是其直观经验与数学概念对话的过程，从而引发元认知与数学概念的认知冲突。尽管概念还未被学生完全接纳和认可，但却是启动对概念本质认知的开始。看书后的再画又为学生提供认知加工的机会，尽管还是以模仿为主，但学生在画中的观察、对比已是聚焦概念本质的认知活动。紧随其后的交流、思辨，“你还看到了什么？”的二次对话文本的思考发现，都是剥离非本质属性，聚焦本质内涵，建构概念的关键。学生从书中找答案，表达自己的理解、交流各自的思考是逼近本质的思辨活动，为概括、抽象、理解概念提供了丰厚的认知基础。可以说，本节课的概念建构是在对话文本与交流思辨相互交融的活动中达成。

（五）以思辨性的认知分享为助力

在具有开放性、探究性的任务统领下，学生开展自主性的学习活动，必然会产生多样化的思维成果。展示交流学生的认知成果可以极大促进学生反思、完善原认知，促进数学结论的获得，这是数学活动中的重要组成部分，需要教师做充分预设。当然，依据活动目标不同，其分享交流的呈现方式亦有不同。

推进式呈现。即线性展示学生的作品，通过对每一幅作品的评价、分析，提出新的问题，推进活动的进程，使学生的思考与认知逐步深入与提升。如，人教版五年级“分数基本性质”一课，学生尝试通过举例、画图的方式说明为什么分数的分子、分母发生变化，但分数的大小不变时，出现了丰富多样的思维成果，如何用好这些思维成果呢？采用推进式呈现方式（如图5）使其成为推进学生思维发展的有效资源。如下面作品呈现，由用两幅图明理到用一幅图论证说明过程，聚焦知识本质，体现了学生的思维进阶的提升与深入。作品1直观形象具体，作品2需要表象表征，在头脑中想象将每一份平均分成两份（或每两份合成一份），所得到的分数与原分数相同；作品3开放性的思维呈现，通过将每一份分成2份、3份、4份……（或将每几份合成1份）得到的新分数都与等。这种推进方式的作品呈现，引导学生逐步深入到知识的内部结构中，以理解分数的基本性质，彰显了教师的智慧。

图5.推进式呈现成果分享

分类式呈现。学生在活动过程中，教师巡视搜集学生作品，并将作品进行分类呈现，便于学生进行对比评价，达成统一认知，积累丰富的活动经验。如，“三角形的面积”课例，面对学生探究锐角三角形面积计算的方法成果，教师挑选三类不同思维方式的作品为代表，分类呈现：第一类，通过剪拼转化为长方形；第二类，通过添加两个小三角形，拼组为长方形；第三类，用两个完全一样的三角形拼组为一个平行四边形。三类作品体现了学生的思维进阶，分类呈现便于学生对比思辨，发现其共性与不同，为后续优化拼组方法做了充足的准备。

辩论式呈现。在学生的思维成果存在本质区别且有矛盾冲突时，将具有代表性的作品并列呈现，让学生开展辩论式的思维碰撞和交流，以达成认知的统一和建构。如，“三角形的认识”一课，究竟什么是三角形？学生提出了两种定义方式：①“有三条边、三个角、三个顶点的封闭图形叫做三角形”；②“由3条边围成的图形叫做三角形”。究竟采用哪种定义方式？让各持己见的学生开展辩论，辩中促进思考，辩中提升认识，辩中深化理解，学生在思辨中，深刻领悟到第二种定义的充分必要性，即只要由3条边围成，必然有三条边、三个角、三个顶点，必然是封闭图形，理解本质，感受数学的简洁之美。

总之，数学活动是小学课堂上学生数学学习的重要方式，让学生在活动中经历数学结论的发现、猜想、探究过程，是发展学生“四基”“四能”的必然过程。核心素养视域下的小学课堂数学活动，是以培养学生综合能力与素养为追求，让学生的学习真实发生在课堂的高质量的学习活动。