弹体非正撞击/侵彻载荷响应的一种半经验分析方法

王成华，杨永刚，杨 阳，刘 宁，李 磊

（北京航天长征飞行器研究所，北京，100076）

0 引 言

非正撞击/侵彻（小攻角或大着角撞击/侵彻）过程中弹体经受的载荷环境远比正侵时的严酷和复杂，开展非正撞击/侵彻条件下弹体的载荷强度设计和结构参数优化，是侵彻弹体工程设计的一项重要内容。数值仿真是解决非正撞击/侵彻弹体载荷和强度计算分析的有效手段[1,2]，但由于其建模过程复杂且计算量大，不便用于方案设计和结构参数的快速优化。一套能兼顾精度和效率的非正撞击/侵彻弹体载荷强度工程计算方法更易为设计人员接受。

美国Sandia国家实验室和水道实验室已在非正撞击/侵彻弹体载荷预示方法研究方面开展过深入工作。水道实验室的R.S. Bernard等人提出了一套基于球腔膨胀理论的非正撞击/侵彻弹体载荷强度预示方法[3]，将球形腔膨胀理论推导出的弹体表面压力方程直接应用于弹体表面单元、并与求解弹体终点弹道运动方程相互关联，来确定弹体各时刻的横向分布载荷，但其方法没有对横向载荷的机理和规律作进一步归纳总结，且弹体应力的计算需进一步借助有限元方法完成，方法本身仍显复杂。基于其长期积累的试验数据和经验，Sandia国家实验室的Young等人[4]总结出弹体横向载荷与轴向载荷的经验关系式，将经验关系式应用于整个弹体并结合弹体终点弹道联立求解，给出了一套计算效率较高的非正撞击/侵彻弹体载荷强度预示方法，但由于是一种纯经验方法，缺少理论基础。另外，上述两套方法对弹体受撞击/侵彻载荷后的动响应问题均未有涉及，预示结果与弹体实际的应力响应水平存有较大差距。

本文将球腔膨胀理论和弹性振动理论及经验方法相结合，提出了一套新的弹体非正撞击/侵彻载荷响应预示的半经验计算方法。

1 用球形腔膨胀理论确定弹体载荷

着角（本文定义为弹轴与靶面法向夹角）和攻角均能诱导出弹体横向载荷，二者诱导的机理不同，需要分别加以考虑。

1.1 攻角诱导出的横向载荷

弹体质心处的速度矢量与弹轴间的夹角用总攻角α表示，弹体绕质心的转动角速度用ω表示，忽略弹体变形产生的附加攻角，弹体刚体运动和转动在弹体任意轴向单元i（位置坐标Xi）处诱导出的当地攻角αi具体表达式如下：

式中表示弹体速度；Xcg表示弹体质心距弹尖距离。

当地攻角αi会诱导产生垂直于弹轴方向的横向分布载荷，这种由攻角诱导出的横向载荷，在侵彻过程中将作用在弹体侵入靶体部分的每一处位置而不仅限于弹体头部。将球形腔膨胀理论直接应用于非对称受力情况下的带攻角撞击侵彻问题，如图1所示。

图1 存在攻角情况下弹体受力分析示意Fig.1 Forces Carried by Projectile under Non-normal Impact/penetrating

速度矢量投影到图示微元法向上的速度分量为

根据球形腔膨胀理论推导结果，作用在图1所示的ds×dl微元法向上的压力和法向面载荷分别为

法向压力：

单元面载荷：

式中A为静态阻力项系数[5]，B为动态阻力项系数，对混凝土取B=1.5；ρ0为靶板材料密度；σ-b为靶板材料无侧限抗压强度。

横向载荷：

轴向载荷：

图2 轴向载荷和横向载荷随攻角变化的关系Fig.2 Relation Curves Between Angle of Attack and Force

引入无量纲比例系数：

式中sA为弹体头部侧向投影面积；为侵彻平均阻力，其中Lmax为零攻角正侵极限侵彻深度，m为弹体质量，W˙0为弹体着靶初始速度。

将式（5）计算结果以式（7）无量纲形式输出，研究发现系数Kα存在以下近似关系式：

式中ψ为弹体头部形状因子，

基于式（7）、式（8）代表的物理意义：作用在弹体单位侧向投影面积上的横向载荷正比于单位横截面积上的轴向载荷，并考虑到弹体撞击/侵彻混凝土靶存在的开坑区效应，提出如下小攻角诱导弹体横向载荷单元分量表达关系式：

式中As,i为弹体任一单元段i的侧向投影面积；为开坑区损伤效应修正系数，是弹体单元段i距离靶板表面距离li的函数：

式（9）与Young等人提出的经验公式近似，但它是基于理论和数值积分分析得到的半经验公式，二者在系数Kα量值和形式上均不相同。计算验证显示式（9）不仅适用于弹体头部，对整个弹体也适用。

1.2 着角诱导出的横向载荷

着角诱导出的横向载荷是由图3所示弹体头部Δ段上受力面不对称和（LN-Δ）段靶板自由面效应两方面的因素造成的。在斜侵情况下（只有着角）弹体柱段表面和靶板间相对运动的法向速度分量为0，弹体的柱段表面不会诱导出横向力，着角诱导出的横向载荷只需考虑弹体头部即可。

图3 斜侵情况弹体受力分析Fig.3 Forces Carried by Penetrator in Oblique Impact

靶板作用在Δ段和（LN-Δ）段弹体表面的压力均可采用有限尺寸介质球形腔膨胀理论确定，在考虑有限尺寸介质的自由面效应情况下，球形空腔内壁压力简单表达式如下[6]：

式（11）右端第1项为当介质的尺寸为无限大时球形空腔内壁压力，可以由式（3）给出，其中的球形空腔膨胀速度 nW˙在图3所示坐标系下具有如下形式：

式（11）右端第2项是考虑有限尺寸介质的自由面效应下的压力损失因子，它与 nW˙、球腔内半径a及距自由面的距离d（见图4）有关。

图4 着角诱导横向载荷自由面效应影响示意Fig.4 Free-surface Effects of Lateral Force Caused by Impact Angle

把有限尺寸介质中的球形腔膨胀理论应用于弹体非正侵情况，如图4所示先借助解析几何原理计算出弹头任一表面位置处的d和a，然后代入式（11）并用式（11）替代式（3），就可以计算给出考虑自由面效应后的弹体横向载荷与着角间的变化关系。

同样引入一个与弹着角θ相关的比例系数关系式：

由数值积分给出的比例系数K,dθ随侵深（用相对XCrit的无量纲变量表示）变化的关系曲线见图5，显示沿侵深存在两个不同区段，两区段分界点对应的侵深为

式中LN表示弹体头部长度。

图5 系数K,dθ与侵彻深度间的变化关系Fig.5 Relation Curve between Coefficient Kθ,d and Penetration Depth

式（14）显示在XCrit以前K,dθ随侵彻深度近似线性增加、XCrit以后则呈指数衰减并在约3XCrit侵彻深度左右K,dθ趋进于0、XCrit处K,dθ达到最大。

改变着角、靶板强度和着靶速度等参数，研究了Kθ,d对这些参数变化的敏感程度，结果显示Kθ,d对靶板强度和着角均不敏感，但受速度的影响不可忽视，需要引入速度项修正系数Kθ,W˙来反映这种影响效应，根据数值积分结果速度项修正系数具有以下形式：

综合考虑图5所示随深度变化的比例系数K,dθ和式（15）给出的速度修正系数，提出如下单元分量形式的当地着角诱导横向力分量计算公式：

式中Kθ为合成系数，其中Kθ,d由图5获得；系数0.56是根据数值验证情况确定的修正系数。

2 撞击/侵彻载荷作用下的弹体结构响应计算

撞击侵彻过程中弹体会发生弹性响应变形，弹体的应力计算需要考虑撞击侵彻过程中的冲击响应放大。将式（9）、式（16）与弹体终点弹道运动方程求解过程相关联，首先确定撞击/侵彻各个时刻点的弹体载荷分布，再通过弹性振动理论中的模态叠加法，就可以确定出弹体在撞击/侵彻冲击载荷作用下的响应放大情况。

弹体长细比较大时，可以将弹体简化成一个等截面梁模型，撞击/侵彻过程中弹体在横向分布激励载荷f(x,t)作用下的结构变形y(x,t)根据模态叠加法有如下形式解：

式中ωn,r为弹体第r阶模态频率；ξ为阻尼比系数；ωd,r弹体第r阶谐振频率，为广义力，为弹体长度。

撞击/侵彻条件下弹体约束方式为两端自由-自由状态，弹体的各阶固有频率ωn,r和归一化振型可以通过试验或计算获得，对于均质等截面梁可以通过查表获得[7]，将获得的Yr（x）和式（18）确定的代入式（17），即可获得各个时刻的弹体结构变形y(x,t)，弹体各截面的弯矩可通过下面的差分方程求解：

由M（x,t）进而获得由横向载荷引起的弹体弯曲响应应力。

注意到轴向载荷FA(t)只作用于弹体头部，可以将其简化为集中载荷作用在弹尖位置处、并忽略阻尼比系数影响，弹体轴向弹性响应加速度具有如下简单形式：

3 弹体撞击/侵彻过程的运动学求解

需要建立非正撞击/侵彻弹体运动微分方程并与第1节、第2节计算过程联立求解，最终确定撞击/侵彻过程弹体载荷变化以及弹体结构变形响应的时间历程。图6为非正撞击侵彻弹体受力及运动模型。

图6 非正撞击侵彻弹体受力及运动模型Fig.6 Terminal Ballistics and Stress Model for Penetrator in Non-normal Impact/penetration

弹体质心运动方程形式为

式中Jx为弹体绕质心转动惯量；ytip，ztip为弹尖位置坐标；y，z为弹体质心位置坐标；AF为弹体轴向阻力；NF为横向载荷。

给定弹体初始着靶速度、弹着角和攻角，借助上述微分方程就可以求解出撞击侵彻过程任一时刻的弹体运动学参数，弹体轴向阻力和横向载荷根据弹体所对应时刻的侵深和姿态、由第1节方法计算给出。

4 半经验计算方法的数值仿真验证

基于本文半经验方法，对多个弹体算例侵彻过载和应力进行预示，从弹体过载/应力变化时间历程和最大峰值方面，进行了与LS_DYNA3D数值仿真结果间的对比验证。图7表示了弹体最大应力时间历程变化。

以某缩比实验弹为例，着靶初始条件：攻角3°、着角0°、着靶速度600 m/s，靶板混凝土材料无侧限抗压强度30 MPa。数值仿真给出的弹体受力最严重部位的应力变化曲线见图7a，对应的弹体最大应力为-5322 MPa；本文方法计算给出的应力变化曲线见图7b，对应的弹体最大应力为-4998 MPa，最大应力量值上与仿真结果接近。应力曲线的变化规律上，本文方法模拟出了弹体在穿靶过程中出现的多个应力响应峰，峰值发生的时刻与仿真结果基本吻合。

表1为小攻角撞击混凝土靶弹体侵彻过载和最大应力，表2为大着角撞击混凝土靶弹体侵彻过载和最大应力。进行了小攻角和大着角多种子样情况下弹体过载和应力峰值与数值仿真结果的对比，表1和表2结果显示本文方法具有较广泛的适应性，与数值结果相比弹体应力预示结果的相对误差基本能控制在30%左右。

图7 弹体最大应力时间历程变化Fig.7 Maximum Stress Time History of Penetrator

表1 小攻角撞击混凝土靶弹体侵彻过载和最大应力Tab.1 Aeceleration and Maximum Stress of Projectile Penetrating into Concrete Targets with Small Angle Attack

续表1

表2 大着角撞击混凝土靶弹体侵彻过载和最大应力Tab.2 Aeceleration and Maximum Stress of Projectile Penetrating into Concrete Targets with Large Impact Angle

5 结 论

通过将球形腔膨胀理论的应用范围推广到弹体非正撞击/侵彻情况，本文对非正撞击/侵彻过程攻角和着角诱导载荷的机理以及靶板自由面效应的影响特性等进行了分析，提出了一套建立于理论分析并辅之以数值验证的弹体非正撞击/侵彻载荷响应半经验计算方法，将基于这套方法得到的弹体连续分布时变载荷作用于弹体上，采用弹性振动模态叠加法，得到了非正撞击/侵彻载荷作用下弹体的冲击响应时间历程。

与数值仿真结果的对比验证情况表明：本文方法能够模拟出弹体载荷和应力沿终点弹道的主要时间历程变化规律，冲击响应曲线的特征（峰值个数、大小及发生时刻等）和峰值量值均与仿真结果一致，且方法具有较广适应性，弹体应力预示结果的相对误差基本能控制在30%左右。