新基础育人价值理念下的数学建模培养实践

摘 要：数学建模是一种思想方法。小学阶段的数学教材没有直接标明教学“数学建模”的课时内容，它更多是以一个实际问题为载体而隐藏存在的，需要教师以培养数学建模意识为核心目标，在教学中挖掘蕴含于其中的数学模型，让学生真正经历数学建模的过程，从而真正实现数学教学的育人价值。理念决定行为，基于上述对数学建模的理念认识，文章作者进行了数学建模培养的教学实践。主要从两个方面展开：一是分析数学建模学习的过程结构;二是建构数学建模课型的教学模式。

关键词：育人价值;数学建模;结构类型;教学模式

作者简介：孙大伟（1985.12—），男，福建厦门人，福建省厦门市深田小学，一级教师，研究方向：小学数学教学。

《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》指出，学校数学教学对学生的成长发展具有独特的价值。不仅仅是数学知识本身的掌握，更为重要的是，要帮助学生提升思维品质和数学素养，建构起一种唯有在数学学科的学习中才有可能经历、体验和形成的思维方式，从而实现数学教学与学生生命成长的双向转化和双向建构。笔者在教学实践中感受到，基于应试教育的大环境，小学数学教学侧重于数学知识本身的掌握是不可否认的事实。但如何在小学数学教学中体现育人价值的问题亦是我们不容忽视的。笔者在育人价值理念下进行了数学建模培养的实践活动，经历了以下过程。

一、数学建模的理念认识

数学建模的定义之一是：數学建模本质上是一种数学思想方法，即根据实际问题来建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，我们就要在深入调查研究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言来建立数学模型。在小学阶段可简化理解为：建立解决一类问题的数学语言化（更多的是符号化）的方法，运用所建立的方法模型高效解决一串同类问题。

正因为数学建模是一种思想方法，小学阶段的数学教材中没有直接标明教学数学建模的课时内容，它更多是以一个实际问题为载体而隐藏存在的，需要教师以培养建模意识为核心目标，在教学中挖掘蕴含其中的数学模型，让学生真正经历数学建模的过程，从而真正实现数学教学的育人价值。在传统的数学教学模式中，对于教科书中的应用问题，大多都是以数学应用题的形式呈现出来。一提到应用题，学生就会下意识地认为所有问题一定存在单一解。这是一种错误的思想，有些数学应用题并没有完全正确和完全单一的答案。每一个问题都对应实际生活，在与现实进行联系的过程中，便存在着不同的解。比如，在对数学理论之间的逻辑关系进行解释说明的过程中，学生如果不具备良好的数学建模思想，很多数学理论、逻辑与知识并不能够完全消化，从而容易逐渐丧失数学学习的兴趣。同时，与实际应用问题的数学建模不同，本文所指的“数学建模”是建立数学建模的思维。

基于以上对数学建模的理解，教师首先要改变对于某些具有建模价值的数学问题的认识。例如，四年级的“烙饼问题”、五年级的“探索图形”和“植树问题”、六年级的“鸽巢问题”等等。从数学知识层面看，这些问题本身没有任何关联性，侧重知识本身的教学必然是教解决每个问题的具体方法。从数学育人价值层面看，数学知识本身很重要，但更重要的是以这些问题为载体都能指向同一核心目标，即培养学生的“数学建模”能力。教师要明确在进行教学的过程中，让学生对整个数学的建模过程进行体验，在体验之后逐渐培养学生将具体问题总结为抽象数学概念的能力，更好地理解数学理论，帮助数学课程乃至各科课程的学习。教师要学会有所侧重、有所取舍。这些具有数学建模价值的问题往往是思维拓展性问题，有两种目标定位：一是定位解决问题，关注方法经历，课堂教学体现出“重视多样方法教学，重视方法对比优化，重视同类大量训练，重视变式灵活训练，重视逆向拓展提高，重视解题方法记忆”的特点;二是定位数学建模，关注建模经历，课堂教学体现出重视“聚焦核心方法，问题抽象化，建立符号化的方法模型，运用模型解决问题”的特点。侧重解决问题与侧重数学建模的课堂教学显然有一定的区别，两者间有一定的难度，容易造成目标定位不清晰，导致教学效果大打折扣。因此，在育人价值的理念之下，完善小学数学建模的课堂教学模式，教会学生如何构建数学建模思想，是小学数学教学改革的突破点，同时也是有效提升学生数学学习、综合素养的有效措施。

二、培养学生数学建模思想的意义

首先，培养学生的数学建模思想，能够帮助学生从生活、身边寻找和发现问题：通过数学建模的思维，使实际的问题得到解决，通过对学生数学建模思维的培养，帮助学生更加深刻地理解抽象数学概念，更好地将实际生活与数学相结合，提升学生学习和应用数学知识的兴趣与意识。

其次，数学建模的实质在于帮助学生构建研究性学习思维。提升学生的数学建模思想，能够使学生在后期对实际问题进行数学建模的过程中，更好地从实际问题中发现数学问题，在对周边实际事例进行观察后，将所学的知识进行判断、解释和运用，并对其产生新的认知，总结学习新的数学知识和理论。因此，培养学生的数学建模思想，能够帮助学生不断提升自主学习、探究意识，推动小学数学教学的更进一步发展。

最后，数学建模课程的设立，辅助数学课程的实际应用，改善了小学数学教学的模式，创新了数学教学理念。

三、数学建模的教学实践

理念决定行为，基于上述对数学教学的建模理念的认识，笔者进行了数学建模培养的教学实践。实践主要从两个方面展开：一是分析数学建模结构类型;二是建构数学建模课型的教学模式。具体实践如下。

（一）分析“数学建模”教学的结构类型

新基础提出的结构类型主要有三类，即知识整体的框架性结构、知识形成的过程性结构、学生学习的方法性结构。前两种结构类型重点在于对知识本身进行分析，第三种结构类型更侧重于对学生的学习方法进行分析。从学生对数学知识认知过程的角度看，有些数学知识虽然表面不同，但是在认知这些知识的过程中体现出共同的学习方法，我们称之为方法性结构。数学建模是一种数学思想方法，具体到实际操作层面就是一种具有建模意识的方法性结构。比如前面提到的“烙饼问题”“探索图形”“植树问题”等问题显然截然不同。但一旦将核心目标定位到数学建模，就可发现这些内容的学习都体现“复杂问题的提出，简单问题的研究，问题抽象化，解决问题的方法模型化，运用方法模型解决问题”的学习方法。因此，学生就可以利用在数学建模课上学到的方法性结构，主动参与其他数学建模课的研究。不断经历该数学建模的学习方法，方法性结构将不断内化，逐步形成数学建模思想方法。

（二）探究数学建模课的教学模式

基于第一点对数学建模教学所体现的方法性结构的理解，在教学实践中，笔者探究并形成数学建模课的教学模式，即“提出复杂问题→从简单问题展开研究→问题抽象化→建立解决问题的模型→运用模型解决这类问题”。从学生的角度来说，数学建模课的教学模式的明确，将使学生通过具有一定教学模式的课堂进行方法性结构的学习得到实现。笔者以“探索图形”为例，具体如下：

1.创设情境，提出复杂问题

创设在“8×8×8的大正方体表面涂色”的情境，交流明确小正方体的涂色情况有四种，即3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色后，提出复杂问题：3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体分别有几块？在进行涂色的过程中，教师通过创设情境，提升学生的探索热情以及学习积极性，让学生能够不断自主探索，引导学生对简单问题进行更深一步的思考，结合理论知识结构，让学生在自主探索的体验之中，不断明确复杂实际问题的解决思路和解决方法，充分激发学生的学习兴趣。

2.化繁为简，从简单问题展开研究

教师引导学生思考遇到无法解决的复杂问题时应怎么办，明确数学上往往运用化繁为简的思路，将复杂问题简单化。从同类的简单问题入手，探究存在规律，寻找解决一类问题的方法;同时，充分将教材中所蕴含的建模思想实际化，培养学生的抽象概括能力。将教材与实际应用相结合，让学生能够在涂色过程中，自然而然地思考数学问题，提升学生的综合实践能力。具体来说，教师要帮助学生在对涂色问题初步的统计和观察之中，找到相应的规律，从而不断提升学生的应用能力和抽象概括能力。在具体的实践中，教师组织学生从简单的3×3×3的大正方体表面涂色问题展开研究。学生探究3×3×3的大正方体涂色问题显然难度较低，通过具体的观察、数数、分析、关联等基本方法能找到解决3×3×3的大正方体涂色问题的思路并列出具体算式。随后运用学会的思路，再一次列式分别解决4×4×4的大正方体涂色问题、5×5×5的大正方体涂色问题……经历简单问题的研究过程，学生对于解决这类问题已经有较为清晰的思路并能列出具体问题对应的具体算式。

3.问题抽象化，建立解决问题的模型

即使举再多的例子，也始终处于具象的层面，距离真正的数学建模还差最重要的一步，即将问题抽象化后，用符号化的数学语言来表示解决问题的方法。实践中，教师适时提出建立数学模型的核心问题：像这样列举得完吗？如果是n×n×n的大正方体表面涂色问题呢？学生基于上面简单问题的探究，能逐步建立解决该问题的数学模型：0面涂色小正方体块数为：（n-2）³;1面涂色小正方体块数：6×（n-2）²;2面涂色小正方体块数：12×（n-2）×12;3面涂色小正方体块数为8。显然，到目前为止，数学建模的重点环节已经完成，学生的探究目标就是获得像上面这样解决问题的抽象化的数学符号语言表示的解决问题的方法，也就是数学模型。

4.运用模型，回归解决实际问题

建立数学模型之后，就可以运用模型解决这类问题，解题难度基本上不受数据大小的影响。教师可以根据已经构建好的数学模型，进行延伸扩展，让学生充分利用所学习的数学模型，解决实际问题，培养学生解决问题的能力。教师将数学模型回归实际问题，让学生多样练习，能够帮助学生在练习过程中不断培养自身的综合素养，特别是举一反三、知识迁移的能力。实践中，运用数学模型解决最开始提出的8×8×8的复杂问题，只需要将n=8代入相应的公式中进行计算即可，甚至数字更大的复杂问题同样也能用公式直接计算来解决。

笔者以探索图形为例相对具体化地说明小学数学建模课堂的教学模式，说明学生所要经历的方法性结构的学习过程。其他具有数学建模价值的知识的教学开展方式基本上与上面所说相似。

小学阶段的数学建模相比于生活实际问题的数学建模，考虑的因素经过最简化的处理，学生经历的建模过程比实际难度明显降低。虽然实际问题比教材复杂很多，但数学建模作为一种数学思想方法，一种具有方法性结构的学习，其最大的价值在于让小学生在基础学习阶段通过学习形成建模意识、具备建模素养以及掌握一定的方法性结构，在日后对实际问题应用的过程中，数学建模思想能够起到至关重要的作用。学生在对数学问题进行自主探索和合作交流的过程中，更好地统筹数学思想，培养优化意识，在进行数学建模的学习过程中，提升解决问题能力，感受数学的魅力与价值，并使知识、能力、情感等多方面得到同步发展。

随着知识储备的增加、综合能力的提升，掌握了方法性结构，学生就能进行灵活应用，或者创造性地应用。在新基础教育育人价值的理念下，教师应积极担任起学生的引导者，为学生提供广阔的数学建模空间，提升学生的综合能力，逐步形成数学建模思维，提升学生学习效率。同时，一线教师还可以更加重视挖掘数学教学的独特育人价值，在帮助学生学习知识的同时，更要關注培养学生的数学思想方法，培养学生的数学素养，为学生的成长做更多的努力。

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