从知算法到明算理

摘 要：在沪教版教材中，“三位数被一位数除”安排在三年级数学上册第四单元中。分析教材的例题意图和习题设置，发现教材都有意识地将“三位数被一位数除”理解上的难点分散在例1～例4的3课时中。其教学目标主要有：将两位数被一位数除的知识经验迁移到三位数被一位数除中;沟通不同算法来探讨三位数被一位数除的算理;理解除法算理，能够正确用竖式计算三位数被一位数除的除法。

关键词：小学数学;计算教学;“三位数被一位数除”

作者简介：唐冬梅（1986.10—），女，上海民办福山正达外国语小学，小学一级教师，本科，研究方向：小学数学教学。

一、问题的提出

计算教学在小学数学教学中占有很大比例，以沪教版教材为例，教师参考书建议10册教材的总课时为567节（不含总复习），计算课内容就有211节，约占总课时数的1/3。学生通过计算课的学习不仅能掌握计算的基础知识和基本技能，更能培养数感，训练运算能力和推理能力。由此可见，计算课是非常重要的教学内容。可是教师普遍感到计算教学难以调动学生兴趣，算理难教，很多时候学生只是被动地接受了算法。如何让学生由消极被动地接受变为积极主动地参与，由知算法走向明算理的深刻理解，从而让深度学习在计算教学中发生？现以沪教版三年级上册“三位数被一位数除”第一课时进行一课两研为例进行分析。

二、第一次教学经历及主要问题

初次试教“三位数被一位数除”第一课时，考虑到学生已经熟悉两位数被一位数除的算理和算法，基于学生已掌握两位数首位够除和不够除的两种情况，笔者进行了知识的整合，将三位数首位够除和不够除整合为第一课时，教学环节大致如下：

环节一：复习旧知。对比练习36÷3和56÷4，总结计算方法。

环节二：探究算理。老师引导，同桌合作，使用简图、横式和竖式来探究536÷3的算理，重点讲解竖式计算过程及竖式书写位置。由于对简图均分的思考和操作过程过快，学生不知道如何均分以及为什么要这样均分。

环节三：理解算理。学生独立尝试计算536÷3，对比与例1的异同，总结三位数被一位数除的算法。缺少前期探索算理的铺垫，从首位够除跨度到首位不够除的除法，对于部分学生来说难度较大，造成学生不理解算理也不会计算的结果。

环节四：巩固内化。通过判断商是几位数，达到巩固内化知识的效果。由于缺少算理的理解，学生知道运算出错但讲不清楚错因。

教学后反思，发现如下主要问题：大部分学生会算但不明算理。与学生已有的除法计算经验相比，三位数被一位数除的笔算过程和方法相对复杂，不易理解，例题的学习难度与坡度比较大，算理和算法的体验过程操作烦琐，又存在缺失现象，从而导致学生学习效果不理想。

第二次执教需解决的问题：以学为中心，从单元整体去设计教学，让学生深度理解算理，知其然并知其所以然，引导学生走进深度学习。

三、基于单元整体解析设计第二次教学并实践

（一）教材编排分析

重新解读小学阶段数学教材，进一步了解这部分教材在整册乃至整个小学阶段所处的地位和作用。本单元内容是在学习表内乘法，一位数与两位数、三位数相乘，是在表内除法的基础上进行教学的，它是表内除法的发展，将为以后学习多位数被一位数除和除数是两位数的除法奠定思维基础，具有承上启下的作用。

分析教材的例题意图和习题设置，出现教材安排都有意识地将“三位數被一位数除”理解上的难点分散在例1～例4共3课时中。例1的536÷3重算理;例2的632÷3、例3的836÷4、例4的254÷4重算法。教材编写的意图，是使学生将两位数被一位数除的知识经验迁移到三位数被一位数除，探究三位数被一位数除的算理，掌握竖式算法，并能类推、理解多位数被一位数除的除法算理，同时使学生进一步体验算法的个性化及数学表达的多样性。

在例1探究算理、掌握算法的基础教学上，例2～例4直接讲算法，学生仍然不知其所以然，只知道算法，不理解算理。因此，探究商中间和末尾有0的除法及首位不够除的三位数被一位数除的算理势在必行。

例2的632÷3、例3的836÷4突破几个一、几个十不够均分，不够商1就商0，重在理解除法竖式中商的位置值，出现商末尾有0和商中间有0的情况。

例4的254÷4突破首位不够除，拆百为十再均分，类似例1的均分过程。

通过以上分析发现，例1是三位数被一位数除的一般情况，例2～例4是三种特殊情况，教学设计上仍然要丰富学生的认识过程，运用多元表征，促进学生对算理的理解，从而让深度学习在计算教学中发生。

（二）运算算理分析

深度学习在于学习者能够将已有知识迁移到新的情境中做出决策并解决问题。教师要想促进学生深度学习，首先要建好认知结构，沟通不同内容之间的内在联系，从而打通知识之间的屏障，更好地实现知识迁移。学生理解了算理就要理解数和运算，关键在于理解数的表示和运算意义。三位数被一位数除的算理要理解以下内容：

一是理解运算中的分拆和重组。三位数被一位数除的关键在于将其分拆为几个百、几个十和几个一分别除以几，再求和。

二是理解数的位置值。分别理解被除数每个数位上数的位置值及竖式中每次商的位置值。

三是理解计算的本质就是计算相同计数单位的个数。

“理解运算中的分拆和重组”“理解数的位置值”“理解计算的本质”具有超越具体知识的迁移价值，简图表征、横式分拆和竖式计算能够有机链接好知识，建立知识结构，达到深度学习的目的。

（三）算理探究活动设计

1.设计挑战问题，激发主动参与

设计富有挑战性的数学问题，激发学生学习的动力，让学生在充分动脑筋思考问题的过程中逐渐发现正确的结论，经历学习的过程，体验成功的乐趣。例如，“三位数被一位数除”第一课时共设计三个层层递进的挑战，让学生主动经历数学学习探究的过程。

（1）判断，挑战学生的估算意识和能力

更改例题提问方式，由原先直接求精确数的问题，更改为可以估算和精算，更侧重分的方法的问题。题目中并没有提示估算解决，这对学生的数感以及能否灵活选择计算方法提出了挑战。学生首先会想到用平均分来解决问题，也会把总数536估成便于整除3的600，每班大约分到100多的本子，可能还有剩余。这一设计还原了现实生活情境，没有计算方法的指定和暗示，学生在经历这一挑战性问题过程中感受到了数学估算的魅力，收获了有条理思考找到解决方法的喜悦。

【教学片段1】估算情境，导入新知

出示例1情境：学校新进一批练习本，请帮忙将536个练习本分给3个班，你打算怎么分？

说一说：将536个练习本均分给3个班，怎样列式？为什么用除法算？

估一估：商是几位数，大约多少，为什么？

（2）试算，挑战学生的类比迁移能力

通过旧知复习，重现均分过程，再来挑战例题，这样的设计意在给予学生自主迁移数学活动经验的机会。学生经过简图表征和横式分拆，感知先分3个百，再分21个十，最后分26个一，最后把三次分的结果合起来。理解运算中的分拆与重组，这是理解算理的核心，为后面抽象出算法奠定基础。不同的结论会引发学生的好奇心和求知欲，从而激发学生主动参与操作验证的探究活动。

【教学片段2】复习旧知，迁移尝试

①情境重现习题36÷3，结合图说一说怎么分的。

②尝试计算536÷3，出现不同的计算方式和计算结果。

问：有什么好的方法能呈现平均分的过程？

③引导小组合作，利用简图表征均分过程，横式分拆记录均分过程。

探究要求：a合作：讨论解决问题的思路;

b分工：一人画简图，一人列横式;

c交流：找出解决方法的共同点。

（3）纠错，挑战学生的对比沟通能力

鉴于两位数被一位数除教学数据较小，学生经历了实物操作、图示理解、符号表达的学习过程，符合从动作性到映像性再到抽象性的学习规律，从而达到理解算理的目的。对于三位数被一位数除的教学，教师引导学生用简图均分、横式分拆、竖式计算进行对比沟通，达到数形结合促进算理算法的有效融合，既建立了学生的空间观念，也让学生感受到其中数学学习的思维方式，从而真正理解算理、掌握算法。

激发学生学习兴趣最有效的策略就是把教学的过程变成学生主动探究的过程，在这个过程中会有疑惑，也会有失败，学生在说理过程中对比、交流不同算法，在对错误的反思、纠正的过程中理解了算理。

【教学片段3】对比沟通，探究算理

①借用简图和横式，独立完成，对比练习：652÷3、552÷3。

②选择其中一题，进行竖式计算。

学生讨论：为什么这样列竖式？它有什么特别的地方吗？能不能结合简图和横式讲一讲？回看例1的竖式，能说清算理吗？如果有错误试着纠正过来。

2.采用多元表征，促进理解算理

简图帮助学生探究运算的分拆和重组，也用于理解位置值。理解例1竖式中第二次23个十取出21个十是难点，借助结构化的简图很清晰地呈现第一次均分，分走3个百，每份分得1个百后，剩下2个百、3个十和6个一;必须把2个百拆开成20个十与3个十合成23个十再进行第二次均分，分走21个十，每份分得7个十，剩下2个十和6个一;合成26个一进行第三次均分，分走24个一，每份分得8个一，剩余2个一。

运用简图表征均分过程，使用横式分拆记录三次均分过程，再用语言表述竖式计算过程，设计运用了图像、语言以及符号等多元表征来达到理解算理的目的。如下图，学生直观看到简图、横式和竖式之间的一一对应关系，教师引导学生比较不同分法，沟通其联系，帮助学生建立完整的计算思维。

【教学片段4】沟通联系，理解算理

把均分过程用多元表征进行解释说明的过程，也是把均分过程进行符号化的过程。学生经历简图表征、橫式分拆、竖式计算的过程，通过表述相应竖式计算步骤，进一步加深对算理的理解后，才形成了算法，再逐步总结出竖式计算方法。

3.注重学法引导，灵活运用算理

本课进行了三次对比学习，第一次是简图表征和横式分拆的对比，突破先分拆再合分的难点;第二次是简图、横式和竖式的均分过程对比，帮助理解算理，也突破竖式书写的难点;第三次是两位数被一位数除和三位数被一位数除的算理、算法的对比，理解算理相同，迁移并总结算法。这样多层次深入对比学习，学生不仅知其然，更知其所以然，同时也掌握了对比学习的方式，为学习多位数被一位数除和除数是两位数的除法做好铺垫。

【教学片段5】归纳总结，回顾整理

今天学习了三位数被一位数除的除法，说说你的收获。同学们是如何进行教学的？还有什么问题？

如果笔算6485÷2，你会怎样做？你还能计算哪些笔算除法？

（四）二次执教教学反思

整节课紧紧把握两条线来组织教学。

一是立足学生的真实问题来激发学习需求。对于三位数被一位数除，只有通过多元表征，将画图、计算和语言有机结合起来，让学生经历算理理解的全过程，才能理解了先分几个百，再分几个十，再分几个一，最后求和的计算过程，才能理解除法竖式的结构和算法。在教学竖式计算时，引导学生通过有序均分带动有序思考，帮助学生联系均分过程，理解相应除法竖式的结构和计算程序，教学设计更适合学生的学习需求。

二是建立联系，把握计算教学的本质，让学生经历从碎片化到结构化的认知建构过程，进而学会学习。知识不是独立存在的，教师在教学中帮助学生将知识点进行关联，发现知识间的关系，从而将新知的学习纳入已有知识结构中，完善知识结构。借助简图均分、横式分拆和竖式计算之间的一一对应关系，学生在观察中比较，不断建立联系，深刻理解计算的本质，感悟数学知识的过程性和整体性，完善并建构新的计算知识结构，达到深度学习的目的。

结 语

计算教学的设计要立足于深度学习，通过单元整体解析，以问题激趣，调动学生主动参与探究，通过知识迁移、对比学习、多元表征促进学生对算理的理解，让深度学习在计算教学中真实发生。

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