椭球形头部旋转弹丸外弹道转速衰减规律

朱乐乐，王雨时，闻 泉

(南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094)

0 引言

目前，定距引信的定距方式主要有计时和计转数两种。计转数定距引信的理论基础是旋转炮弹出炮口后每自转一周，沿速度方向前进的距离基本不变，且这一距离与弹丸速度近似无关。根据这一原理可将弹目距离换算成炮弹所转圈数，对引信进行装定，在弹丸转数达到装定圈数时引爆弹丸，达到计转数定距的目的。实际上，由于极阻尼力矩的存在，弹丸飞行过程中转速是不断衰减的。弹丸所转圈数与其自转角速度(转速)有对应的函数关系，因此，研究弹丸外弹道阶段的转速衰减规律对计转数定距引信的应用意义重大。就目前的技术而言，直接测量一发弹丸的实时转速衰减规律比较困难而且成本较高，因此，通过理论或仿真的方法建立旋转弹丸的外弹道转速衰减规律一直是研究重点。文献[1]将常规弹丸外形看作由圆台形部、尖拱形部、圆柱形部和弹带部组成，基于空气动力学理论得到了弹丸每部分的极阻尼力矩和常规弹丸的外弹道转速衰减规律。文献[2]基于文献[1]的理论建立了头部为球形弹丸的外弹道转速衰减规律数学模型，并将该模型与弹丸质心外弹道方程联立，得到了球头形旋转弹丸外弹道转速衰减规律。文献[3]基于空气动力学理论得到了头部轮廓为准抛物线弹丸的外弹道转速衰减规律，并将其与用经验公式得到的结果对比，又通过Fluent软件仿真弹丸的极阻尼力矩，验证了理论计算的准确性。外弹道学中有一些描述弹丸转速衰减规律的经验公式，这些经验公式有一定的参考意义，如柔格里公式、指数函数公式[4]、幂函数公式[4]等；但这些公式形式简单，考虑因素较少，精度往往难以满足引信与弹丸的研究和设计要求。随着理论和计算手段的发展，通过理论推导和计算机仿真的方法得到较为准确的弹丸转速衰减规律已成为现实[5-6]。本文所研究的弹丸头部为椭球形，目前尚未有文献研究过类似外形弹丸的外弹道转速衰减规律。本文将分别基于空气动力学理论和Fluent软件仿真弹丸极阻尼力矩系数两种方法建立椭球形头部旋转弹丸的外弹道转速衰减数学模型，并将两方法得到的模型与弹丸质心外弹道方程联立，借助Matlab软件进行数值解算，得到椭球形头部弹丸外弹道转速衰减规律。最后与经验公式和靶场试验结果进行比较，对结果的准确性进行验证。

1 椭球形头部弹丸外弹道转速衰减规律数学模型

1.1 弹丸外形分析

本文研究对象为中口径亚音速旋转稳定弹丸，其外形如图1所示。为了减小阻力，弹丸头部设计为椭球形。由图1可知该弹丸轮廓是由六段曲线构成——第一段为椭球形、第二段为圆柱、第三段为弹带、第四段为圆柱、第五段的回转母线为圆弧、第六段为圆柱。

图1 椭球形头部弹丸(含引信)外形图Fig.1 The figure of the ellipsoidal head projectile (including fuze)

为方便分析该弹丸的外弹道自转角速度衰减规律，做如下假设[1]：

a) 弹丸的外形关于弹轴对称分布、质量均匀；

b) 将沿弹丸表面的空气流动视为一个面积与弹丸外表面展开面积相同的平板表面流动，其附面层流动为紊流流动(该弹丸飞行过程中周围气流雷诺数数量级为106)；

c) 弹丸所在环境符合国际标准大气；

d) 弹带上的膛线切槽表面光滑、形状规则、分布均匀；

e) 除弹带外，不考虑弹丸外表面凹凸不平(如扳手槽、膛线印痕等)产生的极阻尼力矩。忽略弹尾圆平面和圆角产生的极阻尼力矩。

1.2 弹丸外弹道转速衰减规律数学模型

根据空气动力学理论，紊流附面层下，空气对平面薄板的摩擦应力τ为[1]：

(1)

式(1)中,ρ为空气密度，kg/m3；ν为运动粘度系数，ν=μ/ρ,μ为粘性系数；z为平薄板上的坐标(与气流方向一致)，无量纲；V为气流速度，m/s。

(2)

对于大多数旋转稳定弹丸，弹丸速度V远大于ωR，则式(2)可简化为：

(3)

根据上述理论，可先分别计算出每段弹丸表面因空气阻力产生的极阻尼力矩，再累加得到弹丸总的极阻尼力矩M。建立如图1所示的XOY坐标系，下面分段计算弹丸表面的极阻尼力矩。

1) 第一段椭球段的极阻尼力矩

(4)

(5)

对式(5)从x0到x1积分，采用τ⊥的简化形式代入后，得到椭球段极阻尼力矩M1的表达式：

(6)

由图1可知，式(6)中x0=0，x1=0.042 m。

2) 第二段圆柱段的极阻尼力矩[1]

该圆柱部分长为H1，底面半径为R1。第一段椭圆弧弧长为S1，则圆柱面微元面积ds=2πR1dy。在该微元上产生的极阻尼力矩微元为：

(7)

对式(7)从y=S1到y=S1+H1积分得到该段圆柱的极阻尼力矩M2为：

3) 弹带部的极阻尼力矩[1]

弹丸发射时，在炮膛内由于膛线的挤压会在弹带处留下切槽。在弹丸飞行过程中，弹带切槽会受到空气阻力的作用，产生极阻尼力矩。由弹带切槽引起的极阻尼力矩可由下式计算：

(8)

式(8)中，N为炮管膛线数；Sdi为第i条弹带沿平行弹轴方向截面面积；m为弹带数；α1为冲角，α1=ε-α，α为身管缠角；ε为与弹丸速度V、直径d和转速ω有关的中间变量，ε=arctan(ωd/2V)；CN为弹带突起部分的法向空气动力系数。

4) 第四段圆柱段的极阻尼力矩[1]

该圆柱部分长为H2，底面半径为R2，弹带宽度为W，该段圆柱面微元面积为ds=2πR2dy。在该微元上产生的极阻尼力矩微元为：

(9)

对式(9)从y=S1+H1+W到y=S1+H1+W+H2积分得到该段圆柱的极阻尼力矩M4为：

5) 第五段半球形段的极阻尼力矩[2]

(10)

将式(10)从αE到αF积分即可得到该段的极阻尼力矩M5：

6) 第六段圆柱段的极阻尼力矩[1]

该段圆柱长为H3，半径为R3，第三段圆弧长S2=r(αF-αE)。该圆柱段的微元面积ds=2πR3dy，则空气阻力在该微元上产生的极阻尼力矩微元dM为：

(11)

将式(11)从S1+H1+W+H2+S2到S1+H1+W+H2+S2+H3积分可得该圆柱段的极阻尼力矩M6：

弹丸在外弹道阶段的自转角速度衰减规律可描述为[7]：

(12)

式(12)中，I为弹丸的极转动惯量，ω为弹丸自转角速度，M为弹丸极阻尼力矩。由式(12)可知，在外弹道阶段，弹丸的角速度衰减规律完全由弹丸极阻尼力矩决定。前面已分段求出了该弹丸的极阻尼力矩，则该外弹道转速衰减规律数学模型为：

(13)

将榴弹各段极阻尼力矩表达式中有关弹丸结构的变量定义为弹丸综合结构参数：

将ρ0=1.225 kg/m3，μ0=1.789 4×10-5kg/m/s代入，得该弹丸各段极阻尼力矩为：

(14)

将式(14)代入式(13)得：

(15)

式(15)即为该弹丸外弹道自转角速度衰减规律数学模型。该式为非线性微分方程，无解析解，只能与弹丸外弹道质心运动方程联立求得数值解。求解初始条件为：t0=0，ω0=ωg。

1.3 弹丸外弹道转速衰减规律数值解算结果分析

将该弹丸外弹道转速衰减规律数学模型与外弹道质心运动方程联立后可用Matlab软件编写程序，使用ode45法求解该微分方程组的数值解。求解所需的原始数据如表1所列。计算时间为30 s，经验算时间步长取10-4s时计算结果收敛，因此，计算时间步长取10-4s。经过求解得到了15°射角下弹丸外弹道自转角速度衰减曲线，如图2。图中将理论模型的转速衰减规律分别和柔格里公式、幂函数公式和指数函数公式三种转速衰减经验公式进行了对比。从图2中可以看出：该榴弹的转速衰减规律和三种经验公式趋势相同，且与幂函数公式的衰减规律最为接近。

图2 弹丸外弹道转速衰减曲线(15°射角)Fig.2 The attenuation curve of the projectile external ballistic spinning speed (15° firing angle)

表1 弹丸转速衰减规律计算原始数据Tab.1 The original calculating data of the attenuation law of projectile speed

15°射角弹丸外弹道解算结果如表2所列(表中只选取了射程为0～1 000 m范围内的数据)。从表中可以看出在射程为1 000 m时，理论模型与幂函数公式计算出的弹丸转数相差约5圈。

2 椭球形头部弹丸外弹道转速衰减规律仿真研究

外弹道学中认为弹丸自转角速度的衰减是极阻尼力矩造成的，弹丸极阻尼力矩的表达式为[7]：

(16)

式(16)中，Mxz为弹丸极阻尼力矩，mxz为弹丸极阻尼力矩系数，l为弹长，I为弹丸极转动惯量，ω为弹丸自转角速度。

由式(16)可知：对于某一确定弹丸，其极阻尼力矩与极阻尼力矩系数有确定的函数关系，而弹丸极阻尼力矩系数与弹丸飞行过程中的速度和转速有关[7]。随着计算流体力学的发展，弹丸的极阻尼力矩系数可通过Fluent软件仿真得到。因此，也可以通过仿真的手段直接得到弹丸极阻尼力矩，再通过非线性拟合的方法得到极阻尼力矩系数与弹丸速度和转速的关系代入式(16)，结合弹丸质心外弹道运动方程，得到弹丸外弹道转速衰减规律。

通过Fluent软件仿真弹丸攻角为0°情况下，弹丸速度为1、0.8、0.6、0.4Ma，转速分别为500、450、400、350 rad/s时弹丸的极阻尼力矩系数。仿真结果如表3所列。为了更直观地看出弹丸极阻尼力矩系数随弹丸速度和转速的变化规律，将表3中的数据通过Matlab拟合弹丸极阻尼力矩系数随弹丸速度和转速的变化曲线，如图3所示。从图3可以看出攻角为0°时，在仿真的速度范围内，转速一定时，弹丸极阻尼力矩系数随着弹丸速度的减小而增大，该结论与文献[8]一致；弹丸速度一定时，弹丸极阻尼力矩系数随着弹丸转速的增大而增大。

图3 攻角为0°时弹丸极阻尼力矩系数随速度和转速的变化曲线Fig.3 The change curve of the extreme damping torque coefficient of the projectile with speed and rotation speed when the angle of attack is 0°

以表3中的弹丸速度和转速为自变量，极阻尼力矩系数为因变量，通过1stOpt软件对弹丸极阻尼力矩系数mxz与弹丸速度v和转速ω关系进行非线性拟合。得到三者的数值关系式如下：

(17)

式(17)中，系数p1=-47.588 5，p2=110.355 1 s/m，p3=-69.775 3 s2/m2，p4=0.008 8 s，p5=1.020 5×10-4s2，p6=-39.858 7 s/m，p7=79.660 6 s2/m2，p8=-37.050 6 s3/m3，p9=0.017 8 s，p10=-1.256 4×10-5s2。拟合度为0.999 98，拟合残差平方和为0.030 8，拟合效果良好。

将式(17)代入弹丸质心外弹道运动方程即可得到通过拟合弹丸极阻尼力矩系数与弹丸速度和转速的关系得到的弹丸外弹道转速衰减规律，称这一规律为拟合公式模型。通过Matlab编程，使用ode45算法求解该微分方程组。求解所需的初始数据如表1所列。射角为15°时，计算得到的弹丸外弹道转速衰减曲线如图4所示。从图中可以看出，拟合公式模型得到的转速衰减曲线与指数函数公式最为接近，与另外几种模型得到的曲线相差也不大，说明了利用极阻尼力矩系数拟合公式得到弹丸外弹道转速衰减曲线的方法是可行的。计算得到的椭球形头部弹丸外弹道诸元如表4所列，表中将拟合公式模型和理论模型转速进行对比。结合图4可以看出，拟合公式模型转速衰减得比理论模型快，同一距离装定的圈数也比理论模型少。在1 000 m处，两者计算得到的装定圈数相差约14圈。

图4 不同模型求得的弹丸转速衰减曲线(15°射角)Fig.4 Speed attenuation curve of projectile obtained by different models (15° firing angle)

表4 利用Fluent软件仿真弹丸极阻尼力矩系数得到的弹丸外弹道诸元(15°射角)Tab.4 The external ballistic elements of the projectile obtained by asing Fluent softwave to simulate the extreme damping moment coefficient of the projectile (15° firing angle)

3 试验验证

为了验证上述两种方法得到的弹丸外弹道转速衰减规律的正确性，进行了弹丸外弹道定距空炸试验：在距离炮口350、400、450 m处设置立靶，利用高速摄像机观察弹丸在靶板附近的空炸位置。试验现场如图5所示，雷达用来测量弹丸炮口速度。试验数据和试验结果如表5所列。

图5 定距空炸试验现场图Fig.5 Field diagram of fixed-distance aerial bombing test

前面分别用空气动力学理论计算得出极阻尼力矩理论公式(简称方法A)和拟合Fluent仿真得到的极阻尼力矩系数公式(简称方法B)的方法得到了椭球形头部弹丸的外弹道转速衰减规律。下面将定距空炸试验结果与两种方法得到的理论结果进行对比来验证这两种方法的准确性。试验时射角约为2.397°，根据表5中的数据，分别用上述两种方法计算弹丸在试验装定转数下的理论作用距离，结果也列入了表5。可以看出，在一定圈数下，通过方法A计算得到的作用距离与实际作用距离非常接近，在398 m处最大误差为1.98 m；通过方法B计算得到的作用距离不如方法A精确，且系统性地偏大，在450 m处最大误差为7.1 m，且通过方法B得到的结果较试验值系统性地偏大。

表5 弹丸定距空炸试验数据与理论计算结果Tab.5 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

也可以通过比较一定距离下的转圈数来验证两种方法的准确性。如分别计算炮弹在400 m和450 m空炸所需装定的圈数。计算结果如表6所列。从表中可以看出，方法A的计算结果比方法B更接近于实际。两种方法得到的装定圈数与实际装定的圈数相差都不大：在450 m内，方法A得到的结果与实际相差不大于1圈，方法B得到的结果与实际相差不大于3圈。

表6 弹丸定距空炸试验数据与理论计算结果Tab.6 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

4 结论

本文主要用理论计算和仿真的方法研究了中口径椭球形头部旋转稳定弹丸外弹道转速衰减规律，并通过靶场试验验证了理论计算和仿真结果的准确性。基于空气动力学理论得到的弹丸外弹道转速衰减曲线与幂函数公式最为接近。经过靶场试验验证，该方法得到的结果精度较高，可以满足弹丸研发阶段对外弹道环境的需求。除了通过理论公式推导得到弹丸的转速衰减模型外，还可以使用Fluent软件仿真出一定速度和转速下弹丸的极阻尼力矩系数，再通过非线性拟合得到极阻尼力矩系数与弹丸速度和转速的关系式，进而得到弹丸的转速衰减规律。通过Fluent仿真弹丸极阻尼力矩系数得到的弹丸外弹道转速衰减规律与指数函数公式最为接近，说明通过该方法得到弹丸转速衰减规律也是可行的。经过靶场试验验证，该方法得到的结果没有基于空气动力学理论得到的结果精度高。但是也为得到一些特殊弹形的外弹道转速衰减规律提供了一种思路和方法。若要得到更为准确的模型需进行更贴合实际的空气动力学仿真(如提高有限单元法划分网格的质量、添加更符合实际环境的空气参数等)。