基于多元表征深化小学数学概念理解的策略

郑琳

【摘要】本文论述深化小学数学概念理解的教学策略：以动作表征引入数学概念、以图像表征探究概念、以符号表征确认概念、以综合表征内化概念，目的是培养学生的数学思维，发展学生的数学能力。

【关键词】多元表征小学数学概念理解 教学策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）41-0125-02

数学概念是指客观现实中的数量关系及空间形式的本质属性在人脑中的反映，通常由名称、例证、特征和定义四个部分组成。小学数学知识中包含诸多数学概念，正确理解并掌握这些数学概念是学生学习数学的重要基础。学生数学概念的获得，通常是动作表征、图像表征和符号表征三种不同思维活动相互作用的结果，表现为以线性方式从动作表征到图像表征，再通过抽象思维形成符号表征。教师在教学中灵活运用多种表征方式，能够帮助学生在抽象概念和已有知识经验之间建立更为紧密的联系，从而更深刻地理解数学概念。本文基于多元表征论述小学数学概念教学的策略，以期深化学生对数学概念的理解，提高学生的数学概念学习质量。

一、以动作表征引入数学概念

动作表征是利用动作反应来描述数学概念的表征类型。在教学中，考虑到小学生的思维方式以直观形象思维为主，教师可以使用直观的动态操作对数学概念进行塑造和演示，一方面增强数学概念的形象性，让学生在观看或实践操作过程中迅速感知、体会蕴含于动作或实物中的数学概念，进而加强对数学概念的理解；另一方面操作的直观性，能够给学生树立正确的范例，使其在学习过程中通过模仿操作，丰富数学活动体验。

例如，在教学人教版数学二年级上册《认识线段》一课时，课前笔者让学生各自准备一根绳子。课中，笔者先出示一个绕着细绳的线轴，拉住细绳的一头，让线轴从手中落下，展示线轴落下将细绳拉直并形成一条直线的过程。然后让学生将准备好的绳子随意放在桌子上，并观察绳子的形状，对比其与线轴垂直细绳之间的区别。学生经过观察表示，自己随意摆放在桌面上的绳子是弯曲的，跟线轴垂直细绳相比不够笔直。于是笔者提问：“如何将自己的绳子变直？”学生根据生活经验迅速回答“用手拉直”，然后尝试操作验证。最后笔者总结线段的描述性定义：当把绳子拉直时，两只手之间的那段绳子便可以视为线段。为进一步深化学生对线段定义的理解，笔者分别拉直一根绳子的一部分，或者按住绳子的一头，向不同方向拉直绳子，让学生判断此时绳子的哪一部分可以定义为线段，并指出该线段的起点和终点。

在本次教学中，笔者充分利用动作进行线段定义的表征，如用线轴的下落动作生动演示点运动形成线的过程，让学生通过拉直绳子操作确认“线段是直的”这一特征；设计“判断绳子哪一部分属于线段”这一活动，目的是帮助学生理解线段有始有终、有限长度、可以测量等本质特征。在一系列引导和操作实践中，学生逐渐明晰动作表征与概念之间的内在联系，形成对线段的直观印象，初步认识线段的外部特征，以及掌握线段的概念。

二、以图像表征探究概念

学生对数学概念的理解不应止步于具体实物或者直观动作，而要逐渐转向抽象化，一步步靠近数学概念的本质。但小学生受认知水平和思维方式局限，无法直接实现这一要求，教师可以从实物或动作中抽象出较为形象的图形、形状等，引导学生通过观察具体的图像信息，再将这些图像转化为某些数学思想的表征，就形成了图像表征。

例如，教学《认识线段》一课，当学生初步了解线段的概念后，笔者让学生想一想线段如何表示，多数学生立刻用手捏住自己提前准备好的绳子，将其拉直。这表明，学生的思维仍停留在动作表征的阶段。接下来，笔者循循善诱：“除了用拉直绳子的动作表示，还有其他的方法吗？”学生一时有些为难，思考了一会后，陆续有学生提出：“可以在纸上画出来。”笔者马上鼓励他们试一试，大部分学生都能画出笔直的直线，但真正画出合格的线段只有寥寥几个。原因在哪里呢？原来许多学生在画直线表示线段时，忘记标注起点和终点。当笔者揭示这一答案时，学生恍然大悟：原来直线不是线段，线段必须有起点和终点。明确这一概念后，笔者又向学生展示一张折叠过一次的白纸，令其思考这道折痕是否可以称为线段。学生思考后认为这道折痕属于线段，因为它是直的，且白纸明确的两端可以视为起点和终点。通过以手拉直绳子的具体实物，到用简笔画表示线段，再到没有两端标记的折痕线段，笔者一步步引导学生对线段的概念进行探究分析，将其逐步抽象处理，让学生能够深入理解线段各部分的名称、特征和作用，从动作表征逐渐过渡到图像表征，构筑起線段的图像模型，深刻理解线段的本质属性。

教师利用图像表征还可以反其道而行之，将数学概念转化为学生日常生活中熟悉的事物，让学生通过直观表象迅速理解概念。例如，在教学人教版数学三年级上册《分数的意义》一课时，为帮助学生理解“把一个计量单位、一个物体平均分为若干份，取其中一份或几份，可以用分数表示”这一概念，笔者先利用课件展示了一张披萨，将“单位1”这一概念图像化和生活化；然后再用动画演示“切成平均的10片”的过程，将分母的概念形象化；最后在动画中用“抽出其中一片”来演示分子的概念，使认知过程具备了动态的视觉化形象，这种变抽象为具象的图像表征，降低了学生认识“分数单位和意义”的难度，能让学生更好地掌握分数的概念。

三、以符号表征确认概念

通过动作表征和图像表征获得的概念往往停留在表象层面，学生能够熟练说出概念的内容，却无法运用概念阐释更多的数学现象和实例。因此，进行概念教学时，教师需抓住概念的本质，引导学生总结分析那些具有特例性质的表象，发现其中蕴含的逻辑规则，并将其概括成普适性的抽象概念，再用更简洁的符号化模型来表述，形成符号思维，建立符号表征模式，最终确认数学概念。

例如，完成人教版数学三年级上册《长方形、正方形的周长》一课中长方形周长的计算教学后，针对正方形周长计算这一内容，笔者没有直接给学生讲解做法、展示公式，而是先展示一个长为20厘米、宽为10厘米的长方形和一个边长为10厘米的正方形，引导学生通过观察、对比图像，回忆长方形周长的概念，然后鼓励他们想一想、试一试正方形的周长怎样计算。部分学生根据自己的理解直接将正方形四条边的边长相加，算式为：10+10+10+10＝40。这一算法表明学生理解了正方形周长的概念，但并未真正理解正方形作为一种特殊图形所具有的独特特征；部分学生发现了正方形相邻两边相等的特征，因此列出算式：（10+10）×2＝40，这一算法表明学生虽然发现了正方形的图形特征，但受长方形周长算法的影响，采用了“相邻两边相加×2”的计算方式，忽略了两种算法之间的逻辑规则，未能实现正方形周长概念的确认。在此基础上，笔者让学生认真观察正方形每条边的边长。得到点拨后，学生发现正方形“四条边相等”的特征，进而给出计算方案：10×4＝40，这一算法体现学生能够结合长方形周长计算方法和乘法的意义，明确正方形周长可以通过“边长×4”求出。确立计算模型后，笔者将文字抽象成数学符号，解释正方形的边长可以用字母a表示，周长则用字母C表示，正方形周长公式可写作C=4a，确认了正方形周长计算公式。

一般而言，符号是建立在理解的基础上抽象而成的，理解的程度越深刻，符号表征便表现得越简洁清晰。教师在指导学生理解概念时，应当确保学生经历由浅入深、由表象到内涵、由复杂到简单的过程，最后才形成抽象的概念。

四、以综合表征内化概念

当学生历经动作表征、图像表征及符号表征之后，通常已经能够从数学的角度形成对概念的理解，此时教师需要灵活运用三种思维方式帮助学生进一步理解并内化概念，以达到巩固知识的目的。

例如，在完成了《认识线段》一课的学习后，笔者设计了若干变式练习，展示几组长短不一、方向不同、或弯或直的图形，让学生识别和分类，要求将线段归为一组，将非线段归为一组。学生通过识别线段的操作，总结出线段的属性与其方向和长度无关，从排除非线段的操作发现线段的本质特征与端点个数及图形的形状有关，进一步理解线段外显的可变性与内在结构的不变性，巩固了对线段概念的认知。随后，笔者再举出三角形、长方形、梯形、五边形等图形，让学生数出其中包含的线段数量。学生进行了确定端点、拆分多边形的实践活动，发现相同的线段数量能够组成不同的图形，不同的图形可能是由相等数量的线段组成。这样的发现也是对线段概念的进一步巩固，能将原本孤立的线段与图形知识建立内在联系，让学生自主构筑几何图形的知识网络。笔者在上述的同一个教学活动综合运用了动作表征、图像表征和符号表征，其目的在于平衡三种表征之间的侧重点及呈现顺序，避免学生在学习过程中突出某一种表征而弱化其它表征的情况，帮助学生加强数学思维训练，以更好地掌握所学数学概念。

综上所述，基于多元表征进行小学数学概念教学，符合小学生的认知规律。在教学过程中，教师应注重引导学生经历动作表征、图像表征及符号表征过程，且注意各表征之间相互递进、彼此关联的关系，使学生的思维从具象化、表象化逐步转向抽象化，使学生对数学概念的理解获得不断深化。

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【作者简介】郑 琳（1974—），女，汉族，广西玉林人，二级教师，现就职于玉林市福绵区新桥镇中心小学，研究方向为小学数学教学。

（责编黄健清）