基于UbD理论的《分式方程》教学设计探析

任汉飞 周学勇

(信阳师范学院数学与统计学院，河南 信阳 464000)

一、UbD的一般理论简述

1998年，美国课程研究专家Grant Wiggins和Jay McTighe提出了理解为先(Understanding by Design，简称UbD)的教学设计方法。它立体构建一个“理解”框架，提出“逆”于常态教学设计的“逆向设计”，由“明确学习结果、确定恰当的评估方法、规划相关教学过程”这三个阶段构成，认为最好的设计应该是“以始为终”，从学习结果开始的逆向思考[1]。以“理解”为目标进行设计和教学，确保了学生获得更为有效的学习体验。

UbD模式下的课程设计旨在对学习者头脑中的重要概念和恰当的学习证据的明确关注，让学生积极主动参与探究活动。学生的任务不仅仅是参与，而是对活动意义的深刻思考，提升学习迁移能力，而实现迁移无疑是所有教育的长期目标。本文基于UbD模式，在比较整式方程和分式方程的现实基础上，围绕大概念、基本问题和核心评估任务进行教学设计，探析《分式方程》的教学设计与实践，以帮助学生理解分式方程的概念及特殊意义，体会数学的应用价值。

二、UbD模式下的分式方程教学设计与实践

(一)阶段一: 确定预期结果

在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对分式方程这部分知识内容做出了明确的要求，即“要能根据问题中的数量关系列出方程式，体会分式方程刻画出的现实世界数量关系模型，将复杂的分式方程转化的简单可解的一元一次方程”[2]。和其他设计领域一样，教育工作者也必须考虑“用户”体验，这也是UbD核心之一——理解。学生已经学习了整式方程和分式四则运算的知识内容，对于整式方程特别是一元一次方程的解法和基本思路有一定的认识，这对于学习分析方程有很大的帮助，但如何用分式方程表示实际问题中的等量关系，以及验根的必要性还缺乏理解，这其中渗透着“类比”“转化”和“模型”的数学思想，对学生而言认识还不足。

为了达到预期结果，在规划《分式方程》教学设计时，要让学生达成长期学习目标，形成更深入的理解，具体需要考虑以下五个层次：目标层次(Goal)、问题层次(Question)、理解层次(Understand)、知识层次(Knowledge)、技能层次(Skill)，具体如表1所示。

表1 “分式方程”单元逆向设计预期学习目标

(二)阶段二: 确定合适的评估证据

什么样的证据可以证明学生已获得真正的理解，教师需要设立评估标准来判断学生的表现。教师应该像“评估员一样思考”，思考哪些“证据”可以证明学生已经达到了预期理解。实践教学中评价方式包括随堂检测、小组互评、观察、讨论等。具体如表2所示。

以学习期望为导向，产生适合的教学行为，体现了UbD逆向设计教学目标、评估和过程的连贯性和一致性，使得教与学紧密结合。

(三)阶段三: 设计学习活动

1. 前测

教学开始前，先通过前测试题对学生学习分式方程的预备知识、技能、理解和态度进行评估。

前测试题1.解方程x-12=x+252.计算(1)x+yx-y·y-xx+y(2)12p+3q+12p-3q3.x满足什么条件时,下面的分式有意义?1x(x-1)4.请结合之前学习方程和分式的经验,说说你准备从哪些方面研究分式方程?

前测试题包括解一元一次方程、分式的乘除、分式的加减，这些知识是学习分式方程的必备知识。第1道题考查学生对一元一次方程解法的掌握，题目有意设计为分数间的等量关系可以更好的对比分式方程的概念，体会分式方程和整式方程的本质区别，也为后面求解分式方程埋下伏笔，渗透数学的类比思想；第2题和第3题是对本章前三节知识的检测，学生刚学习不久，答题时间应控制在3分钟之内，教师通过巡视观察学生的答题情况，收集学生的共性错误，找出理解偏差；第4题为开放性题目，学生可自由发言，不判断对错。整个前测时间应尽可能控制在5分钟之内。

2. 逆向设计，明确教学目标

(1)教学目标：理解分式方程的意义；掌握分式方程可化为一元一次方程的基本思路和一般解法；理解分式方程可能无解时的原因，并掌握解分式方程验根的方法；列分式方程表示实际问题中的等量关系，体会分式方程的模型作用；经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程；进一步感悟类比和转化的数学思想。

(2)教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程转化为整式方程的方法及其转化思想。

(3)教学难点：如何能将实际问题的等量关系用分式方程表示；理解分式方程可能无根时的原因。

3. 复习旧知(以题点知)，引发思考

好的教学设计不应该是一成不变的，而是灵活变通的，要根据前测情况及时做出调整，这应该是一个常识。教师需要从整体把握知识体系之间的关键节点，由旧知识入手，进而引发学生思考，建立新旧知识间的联系，提高学生的数学思考能力。根据前测情况，复习一元一次方程的概念、解法和应用，分析指出前测试题中的一元一次方程与课本引言中的得到的方程的区别。

(板书出两个方程)

x-12=x+259030+v=6030-v

师：这两个方程有什么不一样吗？

(引发思考)

生1：第一个是分子中含有未知数，第二个是分母中含有未知数。

生2：第一个叫整式方程，第二个叫分式方程。

师：第一个明明也是写成了分数的形式，为什么是整式方程？

生2：第一个方程的分母是一个具体的数，去分母后就化简成了一个一元一次方程，而一元一次方程一定是一个整式方程。

(学生开始注意到整式方程和分式方程的区别)

师：通过这两个方程的比较，你能给分式方程下一个定义吗？

(学生尝试定义)

定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。(整式方程的未知数不在分母中)

(教师PPT展示或板书)

评注 从旧知入手，首先评估学生知识水平，根据反馈进行复习回顾，有意识利用数学知识体系之间的节点关联，搭建新旧知识之间的“桥梁”，通过对比自然过渡到分式方程概念本身，让学生自己感悟分式方程的定义，有利于学生加深对新知识的认识，培养学生构建知识网络，增加数学学习的“亲切感”。

4. 情景引入，走进生活

例：“东风”号轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的水流速度是多少？

(教师PPT展示情景问题)

师：解决这个实际问题要用到什么知识呢？

生3：设未知数，列一个分式方程并求解。

师：这个方程的等量关系怎么找呢？

(抛出关键问题，引发学生思考)

师生：分析

师：这个实际问题中包含的等量关系是什么？

生4：速度乘以时间等于路程。

师：我们可以用一个表格清晰把路程、速度、时间三者的关系表示出来，列出表格。

表3 航行问题中的等量关系

师：现实生活中还有其他的等量关系吗？

(进一步延伸)

生5：工效乘以工时等于工作量。

师：很好，对于实际问题，只要我们找到等量关系就可以列出相应的方程。

评注：学生在实际情境中从数学的视角发现问题，找到等量关系，运用表格的形式更加清晰地表示三者之间的关系，有助于学生寻找题目中的等量关系，体会用数学模型解决实际问题的过程。

5. 制造冲突，深入主题

师：那如何求解这个分式方程？有没有同学知道？

生6：去分母

(有些学生虽然知道要去分母，但并没有认识到解分式方程和解一元一次方程之间的联系。)

(在黑板板书求解过程，分别标注每一步的名称)

师：哪位同学类比这种方法，大胆尝试解下方程？

生7：解：方程两边同乘以(30+v)(30-v)，得

90(30-v)=60(30+v)

2700-90v=1800+60v

150v=900

v=6

生8：解：方程两边同乘以x2-25，得到

x+5=10

x=5

师：大家说这位同学求解的正确吗？

(发现问题，讨论交流)

师：将x=5代入原分式方程检验时，发现分母都为0，那么分式也就无意义了，因此，x=5是整式方程x+5=10的解，而不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解。通过这两个方程的求解，我们能总结出解分式方程的步骤和注意事项吗？

(教师点拨，PPT或板书说明)

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做检验(验根)：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

评注: 这是本节课的重难点，也是高潮部分所在，学生通过类比整式方程的解法，大胆尝试，体验到成功的喜悦，增强学习的自信心，初步体会到解分式方程的基本思路，在学生得意之时，抛出一个无解的分式方程并检验，学生必充满疑问，不仅可以调动学生学习的积极性，也能加深知识的理解。在探究解分式方程的步骤时，可以引导追问学生“我们的推导方法是如何产生的呢？解方程过程是否严密？我们在推导过程中运用了什么数学思想？”求解分式方程的A-M-T目标如表4所示。

表4 求解分式方程的A-M-T目标

6. 评估学习所得

例2 联系实际问题，编出关于分式方程的应用题，并求出应用题的答案。

评注: 例题的选取分别考查学生对分式方程解法和实际问题解决的掌握，第一题为常规性题目，学生易作答，但应注意验根；第二题结合生活实际，自编题目并解答，分式方程的构建需要学生能从实际问题中提出数学等量关系，引导追问学生“分式方程的实际应用中，你能总结出哪些等量关系？”学生可思考行程问题、工程问题、水航问题等，“授之以鱼”兼“授之以渔”，这样的设计十分有意义，有利于发展学生的数学模型思想。

在课堂小结环节，教师提出问题以帮助学生加深理解：这节课研究了什么?我们是怎么研究的?我们的研究结果是什么?我们运用了哪些数学思想方法？积极鼓励学生主动回答，学生结合分式方程用自己的话具体阐述，对本节课有一个清晰的知识网络体系。

三、实践感悟

(一)目标导向清晰，聚焦学生深层次理解

逆向设计的第一阶段，教师基于课程标准的内容，研制清晰的学习目标，在准确把握教学预期的前提下，更加合理调整和分配教学内容和教学时间，引导学生投入到更深层次学习活动中。分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，根据具体问题情景，引导学生审题、分析数量关系、有效建立等量关系从而正确列出方程，并对比解整式的步骤进而探究求解分式方程的方法，激发学生探索问题的欲望，引导学生理解题意，解决问题，通过探索、提炼、应用和总结，让学生体会和掌握模型思想。

(二)设计与目标匹配，聚焦学习评价

学习评价是师生教与学的风向标，凸显教学评价为教学活动的引导作用，学生可以及时在课堂上联系和迁移知识，教师能够及时反馈，有利于保障学习效果。同时UbD模式强调的是多样化评价，有助于学生获得多维度评价。UbD模式下的数学学习同时包含两个方面的内容：第一，学生对知识的探究、规划、监控和调节过程；第二，教师对学生学习准备、学习过程、学习结果等的追问、反馈与评价，不仅仅包括师评、互评，也包括学生的自评。

分式方程的教学设计，以问题驱动为主线，以“类比”——“转化”——“模型”思想贯穿整个教学活动，学生不断反思、设问、评估，有效促进数学思维发展和学生数学思想方法的认识。