基于DIMA平台的高中生“四能”培养策略研究

摘 要：文章问题来源于一道常见错题，为了提高学生的四能，文章引入“否定属性策略”，结合具体问题进行问题提出。同时，基于DIMA平台，将图形计算器作为探究的辅助工具，帮助学生更直观地观察函数图像。

关键词：DIMA平台;问题提出;否定属性策略

《普通高中数学课程标准》（2017年版，2020年修订）提出，数学教育需关注立德树人，数学学科的立德树人体现在学生获得“四基”、提高“四能”的过程中。“四能”指的是学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。然而，教学实践中，笔者发现多数学生采用的是以解题为导向，以题海为策略的学习方式，四能中的“提出问题”尤为薄弱。因此，笔者借用1969年美国学者Brown和Walter为了提出问题而创设的否定属性策略，结合例题展开研究，以期为学生提供一种提出问题的方法，为学生探究问题创设条件。

DIMA平台是指以计算机和计算器为支撑，拥有智能软件和丰富课件，连接信息网络，能够开展现代信息技术的数字化数学活动的数学教学软硬件设备系统。常见的数学教学工具有TI图形计算器、GeoGebra和几何画板等，本研究使用TI-nspire CAS图形计算器作为学生学习数学、探究数学、创新数学的载体，以下简称为TI。

一、 问题描述

已知函数f（x）=x+1x，

①判断函数的奇偶性;②判断函数在（0，+∞）的单调性;③求函数在（0，+∞）的值域。

二、 问题解决

（一）问题探索

1. 做图猜想

运用TI的图像分析功能，结合函数图像，学生很容易猜测出该函数的奇偶性、单调性和值域。

2. 表格猜想

运用TI的表格功能，通过函数的列表法，学生结合x与y的对应关系，可以猜测得出：①奇偶性。根据特殊点的对应关系，猜测为奇函数。②单调性。从特殊两点的函数值着手。③值域。直接读图，猜想结论。

3. 结论验证

根据TI的直观显示，学生对于问题已经初步建立了“形”的理解，很容易猜测出结论，然后用代数方法去验证。根据定义，易证得f（x）是奇函数、在（0，1）上是严格减函数，在（1，+∞）上是严格增函数。又因为x>0，有x+1x≥2，当且仅当x=1时，等号成立，因此f（x）在（0，+∞）上的值域是[2，+∞）。

（二）解题反思

变式：求x+1x的取值范围。学生易得结论[2，+∞），若是对于基本不等式应用条件掌握扎实，或者把问题转化为函数f（x）=x+1x的值域，通过数形结合都能避免错误。因此，不妨引导学生通过解题反思，提出问题，明确问题本源，寻找探究点。

否定属性法步骤如下：确定问题、属性分析、否定属性、问题设定、问题分析。以此题为例，结合这种策略提出问题：

1. 确定问题

以f（x）=x+1x為背景，提出问题。

2. 属性分析

属性1：y=x和y=1x的指数是整数1，这两个函数结构对称，故只讨论正数幂的情况。

属性2：y=x和y=1x的指数都相同。

属性3：y=x和y=1x的系数是正数1。

属性4：函数f（x）是一次函数和反比例函数的和函数。

3. 否定属性

属性1：指数相同，都不是1;指数相同，都不是整数。

属性2：指数不都相同。

属性3：系数不都是正数。

属性4：不是一次函数和反比例函数的和函数。

4. 问题设定

（属性1）1：若函数y=x和y=1x指数相同，都是正奇数，即研究函数f（x）=xn+1xn（n是正奇数）的图像与性质。

（属性1）2：若函数y=x和y=1x指数相同，都是正偶数，即研究函数f（x）=xn+1xn（n是正偶数）的图像与性质。

（属性1）3：若函数y=x和y=1x指数相同，且都是正有理数，即研究函数f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互质的正整数）的图像与性质。

（属性2）：若函数y=x和y=1x指数是不相同的整数，即研究函数f（x）=xa+1xb（a≠b，a，b是正整数）的图像与性质。

（属性3）：若函数y=x和y=1x系数不都为正，即研究函数f（x）=ax+bx（ab≠0）的图像与性质。

（属性4）：研究函数f（x）=g（x）+kg（x）（k是常数）的图像与性质。

（三）问题分析

根据以上问题设定，整理为以下的探究方向。每个探究过程的步骤是：作图——猜想——证明，证明方法与f（x）=x+1x类似，因此省略。

1. 含参的齐次正整数幂

（1）含参的齐次正奇数幂

如图1，利用游标功能，研究函数y1=x+1x，y2=x3+1x3，y3=x5+1x5，……的图像，并猜想f（x）=xn+1xn（n是正奇数）的性质：

图像性质

定义域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域（-∞，-2]∪[2，+∞）

奇偶性奇函数

单调性（-∞，-1），（1，+∞）上是严格增函数（-1，0），（0，1）上是严格减函数

备注无零点，恒过定点（-1，-2），（1，2）

（2）含参的齐次正偶数幂

类比（1）的步骤和方法，利用游标，研究函数y1=x2+1x2，y2=x4+1x4，y3=x6+1x6，……的图像，发现 f（x）=xn+1xn（n是正偶数）类似y1=x2+1x2的图像与性质。

2. 含参的齐次正有理数幂

研究函数f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互质的正整数）的图像和性质。

（1）p奇q偶

研究函数y1=x12+1x12，y2=x14+1x14，y3=x32+1x32……的图像，猜想性质：①定义域为（0，+∞）;②值域为[2，+∞）;③非奇非偶函数;④（1，+∞）上是严格增函数，（0，1）上是严格减函数;⑤无零点，恒过定点（1，2）。

（2）p奇q奇

研究函数y1=x13+1x13，y2=x15+1x15，y3=x53+1x53，……的图像，类似函数f（x）=x+1x的图像和性质。

（3）p偶q奇

研究函数y1=x23+1x23，y2=x25+1x25，y3=x43+1x43……的图像，类似函数f（x）=x2+1x2的图像和性质。

3. 含参的正整数幂

不妨选取较有代表性，高考试题出现过的函数f（x）=x2+1x作为研究对象，如图2：

图像性质

定义域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域R

奇偶性非奇非偶函数

单调性312，+∞上是严格增函数，（-∞，0），0，312上是严格减函数

证明：函数无最值。x>0，f（x）=x2+1x=x2+12x+12x≥3·3x2·12x·12x=3314，当且仅当x2=12x，即x=312时，等号成立，在（-∞，0）上是严格减函数。

推广1：根据f（x）=x2+1x与g（x）=x2-1x关于y轴对称，得到g（x）=x2-1x的图像。

推广2：通过游标功能，观察函数f（x）=x2+ax的图像变化，猜想函数性质。

4. 含参的系数

函数f（x）=ax+bx，ab≠0，分四类：a>0，b>0;a<0，b<0;a>0，b<0;a<0，b>0。因此，问题转化为研究函数f（x）=x+1x，g（x）=-x-1x，h（x）=x-1x，e（x）=-x+1x。另外，根據函数f（x）与g（x）关于y轴对称，得到函数g（x）的图像;根据函数h（x）与e（x）关于y轴对称，得到函数e（x）的图像，故只需讨论函数h（x）=x-1x。

5. 复合函数

求x2+3x2+2的取值范围，学生的易错点为：x2+3x2+2=x2+2+1x2+2≥2，这也是没有把基本不等式“一正、二定、三等”的应用前提掌握扎实。不妨把这个问题转化为求函数y=x2+2+1x2+2的值域。通过TI的图像分析和表格功能，不难发现结论出现了矛盾。随后，运用换元法，可以求解此函数的值域。

推广：研究函数f（x）=sinx+1sinx，g（x）=3x+13x，h（x）=log3x+1log3x，e（x）=|x|+1|x|的图像与性质。

（四）应用实践

研究函数f（x）=x2+ax（牛顿三叉函数），g（x）=lgx2+1|x|（x≠0）的图像和性质。

三、 研究感悟

1994年，著名学者Silver指出，问题提出是探究学习的特征，是改进问题解决的方法，是明确数学理解的桥梁。“否定属性策略”，能帮助学生摆脱提不出问题的窘境，开拓学生探究的思路，走出“题海刷题”学数学的模式，从而培养学生的“四能”。基于DIMA平台的TI工具，直观形象，在经历观察、猜想和证明的探究过程中，学生提升了数学核心素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版本2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]王苗.利用否定属性策略的问题提出[J].数学教学，2018（5）：15-18.

[3]朱伟卫.基于DIMA平台的高中数学实验课程建设与实施[J].教育传播与技术，2020（1）：57-63.

[4]汪晓勤，柳笛.使用否定属性策略的问题提出[J].数学教学通讯，2008，17（4）：26-29.

作者简介：

陆雅静，上海市，上海师范大学附属中学。