基于特征向量空间聚焦的宽带DOA估计方法

曹司磊, 曾维贵, 胥辉旗

(海军航空大学岸防兵学院, 山东 烟台 264001)

0 引 言

波达方向(direction of arrival, DOA)估计是阵列信号处理领域中的一个重要研究方向,在通信、电子战、导航等方面有着广泛的应用。传统的DOA估计方法主要有:比幅法、比相法、波束形成方法等。波束形成方法的主要弊端在于存在瑞利限,分辨性能较差。20世纪80年代,以多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)为代表的子空间类方法出现,极大地推动了阵列信号DOA估计方法的发展及应用[1-4]。但是,随着宽带体制雷达的应用,传统窄带DOA估计方法不再适用,主要原因在于不同频率的信号分量带来的频率不一致。

针对窄带DOA估计方法不适用于宽带阵列的问题,主要解决途径有:频率分解及频率聚焦。非相干信号子空间方法利用频率分解的思想,通过滤波器组或者离散傅里叶变换将宽带信号转换为一组窄带信号,然后采用窄带方法进行DOA估计[5-7]。相干信号子空间方法(coherent signal subspace method, CSSM)利用频率聚焦的思想,将经过频带分解的信号通过聚焦矩阵变换到统一的参考频点上,然后进行求和平均处理得到阵列的输出信号自相关矩阵,利用窄带处理的方式进行DOA估计[8-10],主要包括旋转信号子空间方法[11]、信号子空间变换[12]、双边相关变换方法(two-sided correlation transformation, TCT)[13]等。但CSSM存在的问题是需要预估或者假设信号角度,以此来构建信号子空间,这种角度估计会使聚焦矩阵出现偏差,最终导致DOA估计误差[14-15]。

为避免CSSM中角度预估带来的失配误差,部分学者提出了较多的改进算法。文献[16]提出了宽带DOA估计的频域时延补偿方法(delay compensation in frequency domain method, DCF),避免了角度预估的问题,但是算法复杂度较高,用于实时阵列信号处理难度较大。文献[17]提出了基于波束空间处理的改进投影子空间正交性测试方法,通过设计波束形成矩阵覆盖信号入射范围,但是仍未完全避免角度失配误差且可能形成伪峰。文献[18]提出宽带多径条件下无需信源数及入射角度预估的DOA估计方法,通过泰勒级数展开将接收信号近似为窄带数据,将DOA估计问题转换为约束最优化问题,但实际应用中约束参数取值较难且算法复杂。文献[19]提出使用阵列自相关矩阵构造聚焦矩阵,避免了角度预估带来的误差,但是算法的估计性能有所下降。

针对大多数CSSM需要对信号入射角度初值进行预估并会引入角度估计误差的问题,本文通过对频率分解后阵列输出信号无噪声自相关矩阵的特征向量空间矩阵进行聚焦处理,提出不需要阵列入射角度先验信息的基于特征向量空间聚焦的宽带DOA估计方法。首先，建立宽带阵列信号模型,同时考虑到由于多径效应等影响,对接收信号自相关矩阵进行平滑处理。然后，分析基于特征向量空间聚焦的DOA估计方法基本原理并总结算法步骤。最后，仿真比较了几类算法的测向精度、分辨能力稳健性及复杂度,并给出样机试验结果。

1 宽带阵列信号模型

1.1 阵列接收信号模型

阵列排布为一维线阵,阵元数为K,阵元间距为d。假设有I个信号s(t)=[s1(t),s2(t),…,sI(t)]入射至阵列,入射角为θ=[θ1,θ2,…,θI],则第k个阵元信号输出信号xk(t)可以表征为

(1)

式中,τk(φi)为信号si(t)在第k个阵元相对于首个阵元的接收时延;nk(t)为第k个阵元接收加性噪声。

对于宽带信号来说,其阵列流型对观测时间范围内方位及信号入射角敏感,是二者的联合函数,不能够像窄带信号处理那样建立为信号入射角一维函数,单纯以相移代表时延[20-21]。因此,对阵列接收信号进行DFT处理,得到阵列输出的频域表示形式

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,2,…,J

(2)

式中,

X(fj)=[Xk(fj),Xk+1(fj),…,XK(fj)]

(3)

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θI)]

(4)

S(fj)=[Si(fj),Si+1(fj),…,SI(fj)]

(5)

N(fj)=[Nk(fj),Nk+1(fj),…,NK(fj)]

(6)

式中,A(fj,θ)为阵列流型;a(fj,θi)为入射角为θi的信号在频点fj处的导向矢量。

频点fj处的阵列输出信号自相关矩阵可表示为

R(fj,θ)=E[X(fj,θ)XH(fj,θ)]=
A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)+δ2I

(7)

式中,Rs表示目标信号的自相关矩阵;E[·]表示求取数学期望;(·)H表示计算矩阵共轭转置;I表示单位矩阵。

1.2 空间平滑处理

实际应用中,由于其他空间环境存在多径效应,输出的信号自相关矩阵一般不满秩,难以满足后续DOA估计原理分析。因此,采用空间平滑算法首先对阵列接收信号自相关矩阵进行处理。

假设目标信号与L个多径干扰信号相干,将阵元划分若干子阵,子阵数为y,每个子阵的阵元数为h(h>L),则有

I=y+h-1

(8)

式中,I表示单位矩阵的维数;y表示子阵数,每个子阵的阵元数为h(h>L)。可知,前向平滑协方差矩阵Rfs与后向平滑协方差矩阵Rbs可表示为

(9)

Rbs=JRfsJ

(10)

(11)

(12)

2 算法原理

(13)

P(fj,θ)=A(fj,θ)Rs(fj,θ)AH(fj,θ)

(14)

式中,P(fj,θ)为无噪声信号自相关矩阵。P(fj,θ)为Hermitian矩阵,可酉相似于对角矩阵,因此可分解[22]为

P(fj,θ)=U(fj)M(fj)UH(fj)

(15)

式中,U(fj)为P(fj,θ)的特征向量矩阵,为酉矩阵;M(fj)为P(fj,θ)的特征值矩阵,为对角矩阵。那么,对于参考频点f0,有

(16)

(17)

可知,各频点对应的信号自相关矩阵与无噪声信号自相关矩阵具有相同的特征向量矩阵U(fj)。因此,特征向量矩阵U(fj)可由信号自相关矩阵[22-23]分解得到。

考虑不同频点处信号自相关矩阵的特征向量空间过渡矩阵T,有

TjU(fj)=U0

(18)

则有

Tj=U0UH(fj)

(19)

可知,T为酉矩阵。

以参考频点f0处的阵列输出信号无噪声自相关矩阵P(f0,θ)为参考聚焦矩阵,构造聚焦矩阵Gj。

(20)

以Gj作为频点fj处无噪声信号自相关矩阵的聚焦矩阵,下面证明矩阵Gj的完美聚焦性。

首先,对于矩阵Gj满足

(21)

由式(21)可知,Gj为酉矩阵,因此聚焦变换不会改变阵列输出信噪比,不会引起噪声模型空间统计特性的变化,没有能量损失,对相干信号子空间方法的分辨性能无影响[24]。

再则,完美聚焦需满足的条件为[25]

(22)

将式(20)代入式(22),等号左边可转化为

(23)

式中,tr(·)表示矩阵的迹;矩阵B表示为

B=M0-TM(fj)TH

(24)

由矩阵分析理论知,矩阵的迹等于矩阵所有特征值之和,因此式(23)可转化为

(25)

式中,REJ(·)表示对矩阵对角线元素进行求和。对于参考频率f0及其他频率fj来说,其阵列无噪声输出自相关矩阵的特征向量构成了特征向量空间的一组标准正交基,矩阵Tj可理解为不同标准正交基之间的过渡矩阵,而矩阵M是无噪声自相关矩阵在特征向量空间上的系数矩阵,则有

(26)

因此,有

(27)

由上述推导过程可知,聚焦矩阵Gj能够有效地将带宽内的信号能量聚焦至参考频率处的子空间上,实现完美聚焦。

以特征向量空间过渡矩阵为基础构造聚焦矩阵,参考聚焦矩阵为参考频点处的无噪声信号自相关矩阵,从实质上讲,是对特征向量空间的聚焦。由于信号自相关矩阵与无噪声信号自相关矩阵具备相同的特征向量空间,因此聚焦矩阵的求取过程中只需要对接收信号自相关矩阵进行特征分解即可。

经过聚焦及平滑处理后的信号自相关矩阵如下：

(28)

(29)

式中,Un为噪声子空间。

因此,算法实现步骤如下:

步骤 1对采集到的阵列输出信号快拍数据进行DFT处理,求取R(fj,θ);

步骤 5按照式(29)求取空间谱函数,搜索空间谱峰值估计DOA。

3 仿真分析

本节将本文提出的基于特征向量空间聚焦的宽带DOA估计(简记为DEESF)算法与TCT算法、文献[18]算法和DCF算法进行比较分析,对比各种算法测向精度、分辨能力、稳健性及复杂度特性。文献[18]算法中约束参数取值范围为1.3～1.7,约束经验值取0.5。

3.1 基本仿真参数

阵列雷达采用一维均匀线阵,阵元数为8,工作带宽覆盖X波段(8～12 GHz),信号带宽为500 MHz,采样频率为2.4 GHz,阵元间距为2.5 cm,噪声为不相关的空间白噪声。TCT算法需要对采样数据进行分段,将采样数据分为25段,每段包含28次数据快拍。

3.2 算法测向精度比较

仿真条件:信号环境设定两个相干信号入射至阵列,入射角度θ=[-10°,20°]。信噪比范围设定为-15～10 dB。对4种DOA估计方法进行500次蒙特卡罗仿真,统计其空间谱特性进行比较分析,仿真结果如1所示。

图1 算法空间谱分析Fig.1 Analysis of algorithm spatial spectrum

图1是其中一次运算得到的归一化结果。从图1可以看出,入射信号相干条件下,TCT算法受方位预估精度影响较大,测向精度较差;文献[18]算法及DCF算法测向精度稍高;DEESF算法较优,测向精度较好。

3.3 算法分辨能力比较

仿真条件:空间环境中设定两个相干信号入射至阵列,信噪比为-15 dB。辐射源信号入射角度间隔分别设为Δθ=[2°,5°,10°,20°],即入射角θ为

θ={(θ1,θ2)}=
{(-1°,1°),(-3°,2°),(-5°,5°),(-10°,10°)}

(30)

对4种DOA估计方法分别进行200次蒙特卡罗仿真实验,统计4种算法的平均分辨率η。本节仿真对分辨率η的定义如下：

(31)

η值越大,说明算法的分辨率越高。其中,Qmin的计算式如下：

Qmin=min[Q(θ)],θ∈[θ1,θ2]

(32)

对算法进行200次蒙特卡罗实验,统计平均值如表1所示。

表1 算法分辨能力比较

横向比较表格数据,两辐射源信号入射角度的间隔越大,则各算法的角度分辨率越高;纵向比较发现,相同的入射信号环境下,TCT算法与DCF算法的分辨率相对较低;文献[18]算法的分辨率相较DCF算法及TCT算法稍好,DEESF算法的分辨率最高。

3.4 算法稳健性分析

本节对各算法性能的稳健性比较分析,主要包括估计成功率、估计方差、快拍数等。

仿真条件:参数设置同第3.2节。估计成功的标准为单次估计误差小于1.5°;在估计成功率与估计方差的分析中,在快拍数取500;在快拍数影响分析中,信噪比取-5 dB;仿真结果均为取500次蒙特卡罗实验的平均值。其中,估计方差是对所有估计成功实验的统计。仿真结果如图2～图4所示。从图2可以看出,文献[18]算法估计成功率高于DCF算法及TCT算法,但均不及DEESF算法;低信噪比条件下,DCF算法及TCT算法估计成功率较差,DEESF算法表现较好。从图3可以看出,TCT算法的整体估计误差较大,DEESF算法的估计误差最小。从图4看出,同样快拍数条件下,TCT算法性能低于其他3种算法;低快拍数条件下,文献[18]算法与DEESF算法表现较好。因此,相同的信噪比与快拍数条件下,DEESF算法能够获得更高的估计精度。

图2 不同算法DOA估计成功率比较Fig.2 Comparison of DOA estimation success rate of different algorithms

图3 不同算法DOA估计方差比较Fig.3 Comparison of DOA estimation variance of different algorithms

图4 快拍数对不同算法估计精度的影响Fig.4 Influence of snapshots number on the estimation accuracy of different algorithms

3.5 算法复杂度分析

仿真环境设置为:信噪比为-5 dB,快拍数取300,设定两种仿真情形,即θ=[0°,15°]和θ=[-17°,0°,20°]。仿真平台为Matlab 2014a,运行于联想P1移动工作站,进行500次蒙特卡罗实验,求取算法平均运行时间,结果如表2所示。从表2数据可以看出,DEESF算法的运算时间最低,算法复杂度较低,实用性较好。

表2 算法运行时间比较

4 样机试验

外场试验采用平台为一维数字阵列雷达,天线阵元数为8,数字采样频率为1.2 GHz,接收通道数为8。外场试验场地在青岛灵山岛。

试验条件:外场放置两个宽带辐射源,以静态天线轴向为中心线,辐射源方位部署为-2°及7.5°。单次采集试验结果如表3所示。

表3 单次采集试验结果

从试验结果看,数字阵列雷达平台对于-2°方向辐射源的DOA测量数据为-2.2°,偏差0.2°的测量结果较为准确;对于7.5°方向辐射源的DOA测量数据为7.54°,偏差0.04°。因此,总体来看,DEESF算法的DOA分辨能力较好,实用性较强。

5 结 论

针对宽带DOA估计需要预估方位角、实际应用精度受多径干扰等影响的问题,本文提出基于特征向量空间聚焦的DEESF宽带阵列DOA估计方法。算法的基本思想是以平滑自相关矩阵替代阵列接收信号自相关矩阵,对自相关矩阵进行特征分解,选取参考频点处的无噪声自相关矩阵作为聚焦参考,以特征向量空间之间的过渡性为基础构造聚焦矩阵,证明其完美聚焦性,以此得到宽带阵列平均自相关矩阵,并采用子空间类方法进行DOA估计。DEESF算法克服了传统宽带阵列DOA估计方法需要估计DOA初值的缺点，并考虑了实际应用中多径效应的影响。仿真结果表明,与TCT算法、文献[18]算法及DCF算法相比,DEESF算法分辨率高、复杂度低、实用性较好。但DEESF算法主要针对阵列噪声为高斯白噪声场景,后续工作重点将是色噪声下的算法改进及应用研究。