基于直观想象素养的数学项目活动研究——以几何旋转体和星状体为例

文∣卢韫 叶慧妍 徐斌艳

一、引言

我国《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了数学学科的六大核心素养，其中直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。[1]

综观高中数学课程内容，立体几何内容成为帮助学生逐步形成空间观念，培养学生直观想象素养的主要教学内容。相关研究表明，数学项目能提供学生自主探究和学习的空间，促进数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养的发展。[2]数学项目活动通过让学生自主产生驱动问题，利用技术支持与小组交流合作，可以有效通过“做中学”实现数学学习，建构数学概念。基于以往立体几何教学过于抽象、枯燥,容易使学生产生排斥与厌倦心理，而数学项目活动能够有效激发学生学习兴趣，提供更多数学学习机会的状况，教师结合新课标与教材内容，基于直观想象素养开展了“神奇的几何体”数学项目活动，并在项目完成后进行教学反思，为落实培养高中数学学科直观想象素养提供实践经验。

二、数学项目案例探究

(一)样本选择

本研究选取上海某重点高中一年级一个班的学生，以数学项目学习理论为指导，由已经对数学项目教学模式有深入了解并且有过实践运用经验的数学教育研究者在该班级开展了5节以“神奇的几何体”为主题的培养学生直观想象素养的数学项目课程。

(二)案例设计

在本研究中，几何体的数学项目活动作为体现直观想象素养的重要载体，旨在让学生亲身参与立体几何新知识发现的过程，发挥学生的主动性，在合作和运用新技术的过程中感知几何体的形态与变化，建立形与数的联系，从而更深入地理解几何体的内在属性，更好地建构个体的认知结构，经过实时评测指导、阶段性成果展示了解学生的几何体知识理解程度，促进学生直观想象素养的发展。教师根据实际情况结合邵征锋、张文兰和李喆的项目活动教学模式[3]后，得到图1所示新授课的教学模式。

图1 数学项目教学模式

(三)数学项目案例

1.DNA双螺旋结构绕中心轴旋转得到的旋转体探究

(1)回顾旧知，引入新知

教师结合学生的先验知识以及在该活动中会涉及的其他知识，制作出图2所示的图表。教师对该组学生提供了关于几何体的旋转体的驱动问题：通过旋转一个几何体，得到它的组合体，我们称之为“几何体的旋转体”，试着用不同的展现方式刻画“某种几何体的旋转体”。教师希望学生能以此问题为基础，通过数学项目学习，培养他们借助空间形式认识事物的位置关系以及通过数学建模建立形与数的联系的直观想象素养。

图2 项目活动1中涉及的知识与技能

(2)驱动问题，创设情境

由于驱动问题比较抽象，教师结合生活中陀螺的旋转以及发电风车的旋转等实例希望给学生创设“抛锚体验”，让学生进行直观想象。其中一组学生由此联想到生物教材上的不规则几何体——DNA双螺旋结构，书中写着“假设你从DNA双螺旋结构上的一点出发，沿着‘梯子’的‘踏板’向上走，每上10级就绕了一圈，而且升高了3.4nm”[4]。这个不同于正多面体的特征引起了学生的注意，并且提出问题：DNA双螺旋结构围绕中心轴旋转后得到的是什么几何体？

(3)合作探究，总结提炼

学生在确认项目学习研究问题后，开始以自主探究、合作交流、阶段性成果展示的循环性步骤进行数学项目学习。开始时，该组学生结合生物书上提供的DNA平面图，运用牙签、彩色卡纸等材料试图先做出DNA平面图形，再以此旋转得到DNA双螺旋结构。在该过程中，可以窥见学生用几何直观理解和描述问题的直观想象素养基础。通过实践发现，经过学生相互合作、探究思考后形成的知识更容易在他们的头脑中留下烙印。[5]此次亲手做实物的过程，让学生对于通过“距离”“角度”来确定事物的位置关系有了更加清楚的认识。

图3 第一阶段成果展示

完成第一阶段的任务后，学生发现由于牙签太纤细，以此连接各个“碱基”得到的图形十分不牢靠；且牙签无变形性，不能旋转得到立体的DNA双螺旋结构。在该组陷入困惑当中时，教师通过对话的方式引导他们对该模型进行简化，该小组以和教师讨论所得问题“每圈半径相同的反向双螺旋线绕中心轴旋转会得到什么几何体”再次进行热烈的讨论。结合初中学过的简单几何体的三视图知识，有学生建议大家先考虑反向双螺旋线旋转后得到的几何体的三视图，该过程激发了该学生极力运用自己储备的知识来解决几何问题的直观想象素养。但是，由于立体几何知识有限，学生仍然没有思考得出旋转体的最终模型。

这时，有学生在网上找到关于制作DNA双螺旋立体结构的折纸视频，并且提议在做出DNA双螺旋立体图形后可以“手动”旋转来辅助思考其旋转后得到的图形。在折纸的过程，大家对于借助空间形式认识事物的位置关系以及利用图形描述、分析数学问题有了更深刻的理解。在第三节课完成后，学生已经折纸得到DNA双螺旋结构的立体图形(图4)，完成第二阶段的作品。

图4 第二阶段成果展示

这时，小组长提出可以用图形计算器绘图功能来建模的建议，该建议自然地进入以技术帮助数学项目活动顺利进行的过程。在对DNA双螺旋结构两条螺旋线的参数方程进行设定和探索之后，该小组在第四节课通过图形计算器，利用正余弦函数以及线性函数(部分参数方程如图5)模拟出了DNA双螺旋结构绕着中心轴旋转的动态图形(图6)。此过程，特别是参数方程建模的过程中，学生通过自主探究，建立起了形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，而这是直观想象素养的重要维度之一。

图5 第三阶段成果展示

图6 第三阶段成果展示

(4)总结反思，迁移应用

在探究“DNA双螺旋结构绕着中心轴旋转得到的旋转体”过程中，教师主要在学生探究的知识性问题、项目活动进行的方向以及在碰见疑惑时进行指导，学生是该项目活动问题提出、项目执行、成果实现的主体。

该数学项目通过每一阶段成果的实现，不仅达到了教师预期的对于借助空间形式认识事物的位置关系以及通过数学建模建立形与数的联系的直观想象素养的培养，而且在项目进行过程中，学生自主探究的过程也实现了他们利用图形描述、分析数学直观问题，建立形与数的联系等直观想象素养的培养。

2.星状多面体的探究

(1)回顾旧知，引入新知

课前对正方体展开图、正多边形的简单性质等进行简单回顾，正方体是学生已经认识了的柏拉图几何体之一，此过程可以帮助学生更好地了解柏拉图体。

学生了解柏拉图体后，再介绍阿基米德体，使其能进一步认识了解多面体空间特征，增强空间感知能力，培养直观想象素养。

(2)驱动问题，创设情境

教师接着展示多种星状体实物模型，让学生观察星状体并以“小星状正十二面体”为例引导思考以下问题：

a.观察小星状正十二面体直观图中的一个面是什么图形？

b.如何制作小星状正十二面体？

此问题试图引导学生培养建立形与数的联系，利用几何图形描述问题的直观想象素养。

(3)合作探究，总结提炼

对于提出的疑问，该小组开始对小星状正十二面体模型进行详细的观察，并对如何制作模型提出自己的想法展开讨论。

图7 小星状正十二面体模型1

A学生发现最大的特征是有12个相同的“尖角”，于是认为小星状正十二面体应该就是由这12个“尖角”组成的。B学生则认为小星状正十二面体是由里面的“东西”长出了12个“尖角”构成的。此时可以明显看到由于缺乏相关的几何知识，两者的沟通并没有数学语言的“味道”。因此首先需要从数学交流的角度引导学生逐渐认识小星状正十二面体，形成几何直观想象力。此时，教师通过循序渐进地设问，引导他们清楚小星状正十二面体由12个五棱锥“尖角”和1个正十二面体组成。之后，留出充足时间给予小组继续讨论交流。在小组讨论的环节中，学生通过观察几何体，建立起对于几何体的直观模型，并且为了了解其展开图的具体准确形状，必须建立图形与数的联系，在这个过程中，学生的直观想象素养得到了培养。最后经过激烈的小组讨论，得到了“方法1”和“方法2”两种模型制作方法，如下：

【方法1】加法

学生B认为小星状正十二面体由1个正十二面体和12个有底正五棱锥构成，如图8。由此，经过小组讨论交流，分别做出正五棱锥和正十二面体的展开图(图9和图10)。

图8 方法1：加法

图9 五棱锥展开图

图10 正十二面体展开图

【方法2】拼接法

学生A的想法则是把12个正五棱锥粘贴在一起，经过小组讨论，认为应当把方法1中的有底正五棱锥变为无底正五棱锥，则只需要正五棱锥的侧面展开图(图11)。需要特别注意的是，正五棱锥的侧面展开图由5个全等的等腰三角形组成，并且每个等腰三角形的顶角为32°，教师要引导学生通过图五棱锥的展开图(图9)计算得出顶角值。

图11 方法2：拼接法

至此，该小组已经讨论得到两种可行的制作方案。此时学生C提出，很多几何体都有展开图，小星状正十二面体有没有展开图呢？此时，教师进行引导，通过提出问题“请以正方体等熟悉的几何体想想一个多面体的展开图满足什么条件呢”来引导学生归纳发现展开图中的关键图“正五棱锥的侧面展开图”(图11)，而方法2是把单个的侧面展开图做成无底五棱锥拼接而成，那么展开图是否能够通过调整步骤先把12个正五棱锥侧面展开图连在一起再做呢？

因为时间有限且小星状正十二面体展开图略微复杂，该小组并没有得到展开图。最后，通过搜集资料得到方法3中的两个展开图(图12和图13)。由于能够搜集到两种展开图，小组又提出新的疑问，是否还有更多不同的展开图？这一问题就留给小组后续自主探究了。

图12 小星状正十二面体展开图1

图13 小星状正十二面体展开图2

【方法3】展开图

(4)总结反思，迁移应用

通过小组自主探究小星状正十二面体的制作方法，学生对柏拉图几何体的认识更为丰富，对于几何体展开图以及正多面体的空间特征也有了进一步的认识，同时注意到绘制平面展开图时数据准确的重要性，学生的直观想象素养在此过程中得到提高。此时可以在制作多面体的基础上逐渐加入“数学味道”，借以通过数形结合的联系，加强学生直观想象素养的应用。

三、总结

(一)建立“抛锚体验”，引发学习兴趣

合适的问题情境才能激发学生问题意识，引发学生思考，从而引导学生包括“直观想象素养”能力在内的各种学习能力的形成。[6]学生刚开始对新接触的学习内容不感兴趣和产生畏难情绪的时候需要教师创造合适的教学情境，激发他们的各种能力。例如，在案例一中，教师通过生活中陀螺的旋转以及发电风车的旋转等实例给学生创设“抛锚体验”，让他们突破思维的边界，发散思维；在案例二中，教师则考虑到学生直观想象素养的能力基础，通过展示柏拉图体、阿基米德体、星状体实物模型等几何体，降低空间想象难度，增强学习兴趣。

(二)学生自主探究，建立直观想象素养

数学项目活动的一个重要特点就是以学生为主体，并由学生自主设计和探究，教师只在旁边给予恰当的指导。在学生自主探究的过程中，直观想象素养自主逐渐建立起来。在案例一中，学生通过自己想象三视图，简化并建立模型，设定参数方程等方式建立借助空间形式认识事物的位置关系，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路等直观想象素养；在案例二中，学生则在探究和亲手制作星状几何体过程中，在对星状体各部分的数量比例关系的了解中建立起对形与数的联系以及几何体的空间结构特征等直观想象素养。

(三)项目活动反思，加深数学理解

在数学项目完成之后，教师也对整个活动中出现的一些问题和情况进行了反思。首先，在数学项目活动中，应该注意用数学语言去引导学生进行项目学习，才有助于学生培养直观想象素养这种数学素养。其次，教师要发挥好引导作用，充分调动学生的参与性和积极性，紧密小组合作。在整个过程中，数学项目活动不仅是培养学生直观想象素养的载体，也创造了培养其直观想象素养的情境，这种教学方式不但可以拓展学生的视野，更能激发他们的潜能，培养他们的创造性思维能力，进而提升课堂教学的有效度。

教师通过两个案例探究发现，数学项目学习活动有助于学生直观想象素养的形成。