求星状多边形的内角和

浦长宇

所谓星状多边形，指的是如图（1）的形状.像这样，只要n是大于1的奇数，那么不管多大的数目，都可以把它看做一个星状n角形来考虑.

什么是它们的内角和呢？与三角形的内角和概念类似，例如星状五角形是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，而星状七角形则是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.

活动一 动手实验 —— 发现问题

同一小组（每小组6人）的每个成员，选择2种不同的星状多角形，使用量角器度量它们的各个内角，记录各自的测量数据，计算它们各自的内角和.

每小组成员交流，汇总各小组的实验结果，得出实验猜想.

活动二 动脑思考 —— 分析问题

先从简单的星状五角形开始考虑.为了求出内角和，试着画出如图2中的辅助线CD.

然后，以下的数学式就会成立.

∠B+∠E=∠____+∠___（两者都等于图中的∠α）

因此，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G就等于__________________.

其次是星状七角形，如图3，画辅助线BG.

那么∠C+∠F=∠____+∠_____ （两者都等于图中的∠β）

接下来要求的内角和，就等于新的星状五角形______的内角和，之前已经证明过等于_____.

活动三 反馈成效——解决问题

问题1.星状多角形的内角和是多少？

星状九角形的内角和可以归结成________，然后又可以归结为____________内角和，并最终归结为_________的内角和，等于______°

由此，星状多角形的内角和是___________.

问题2.通过这个问题的探究，我们在碰到较复杂的问题时，应如何思考？

活动四 拓展应用——联想转化

在看过星状奇数角形之后，应该会对星状偶数角形的情形产生疑问.

如图4，这些图形的内角和是多少呢？

首先，不妨做个预测，你觉得星状偶数角形的内角和是多少？

如图5，偶数角的图形，把星状奇数角形的尖端部分切掉之后得到.

相反地，星状偶数角形就是添加三角形变成奇数角形.

我们遵循由简单情形开始的规则，首先要计算的是星状十角形.假设星状十角形的内角和是x，接着在五个顶端加上三角形（如图6），那么

这里出现的所有角度，会是星状十角形内角和x再加上五个三角形的内角和，表示为：_______________.

接下来可以再把它看做_______个平角加上星状五角形的5个内角和，表示为：________.

那么可以列出x的方程：______________，

所以x = ____________.

这种方法，也可适用星状十四角形.

不过，如图7新增的三角形个数变成7个，平角就有14个.

请探索星状偶数角的多角形内角和.

（作者单位：江苏省常熟市古里中学）