概念教学：在课堂设计中凸显素养与智慧——以苏教版 7.5“互逆命题”为例

成宏乔 (江苏省无锡市侨谊实验中学 214000)

钟 鸣 江苏省无锡市西漳中学 214171)

我们与高校合作，结合学校的实际，提出打造“富有设计感的课堂”主张，提炼课堂教学范式，将教师教学意图科学而流畅地渗透在教学过程之中． 在一次听课调研中，执教课题是“互逆命题”，这节课在课程标准中的要求不高，仅仅是“会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． ”[1]因此，教师在平时的教学中对这节课重视不够，多是照本宣科． 调研组和数学学科组对前后两次的课堂教学进行对比，明确了概念教学的基本原则：“在课堂设计中凸显素养与智慧”．

1 初次展示

环节1 目标明示

上课伊始，教师展示了本节课的教学目标：(1)通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念． 会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． (2)了解反例的作用，知道利用反例可以说明一个命题是错误的． (3)在证明中，不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力．

环节2 温故知新

教师通过4个问题：什么是命题？命题的构成？如何判断两直线平行？平行线的性质是什么？引导学生对命题的概念和构成进行回顾，并结合图形复习了平行的知识．

环节3 概念生成

教师结合学生的回答，选择了“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”进行结构对比，引导学生发现“在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. ”[2]从而得到了“互逆命题”的概念，并强调了其中一个命题是另一个命题的逆命题(定义)．

环节4 练习巩固

教师通过两组练习巩固本节课新授内容．

练习1：下列各组命题是否为互逆命题？

练习2：说出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题？

环节5 文化感悟

教师引导学生通过上一个环节明白，判断一个命题是假命题，只需要举个反例，并及时进行练习．

练习3：举反例说明下列命题是假命题.

练习讲解结束后，教师带领学生阅读教材158页“读一读”部分的《著名的反例》，了解欧拉用225+1是一个合数从而否定了费马的猜想(对于一切自然数n，22n+1都是质数)的故事．

环节6 总结成果

学生讨论后总结本节课所学的知识概念、基本方法及解题的一些注意点． 授课教师适时点评． 在剩下不多的时间内完成课本上其它练习后结束本节课的教学．

2 课例分析

本节课的设计较传统． 传统的数学概念教学中，一般要经历“导入”“新课讲授”“练习巩固”“拓展延伸”“小结和作业布置”几个教学环节. 实践证明，这样的模式下，学生跟着老师的安排学习，可以打好扎实的基础，考试成绩也不错． 但是学生的学习往往会陷入机械学习的泥淖，于创新、思辨、问题解决等能力的培养不利．

尤其在新知识生成阶段，简单的处理会抑制学生主动地思考． 上述课例环节3中，老师只选择了一对命题就引出了概念，较少的个例不利于学生概括和理解，学生需要注意力高度集中，结合教师呈现的内容，自身抽象概括能力较好，才能概括出概念的本质属性. 所选的一对命题又恰好都是真命题，导致不少学生潜意识里认为互逆命题只是两个真命题，且会默认原命题是真则逆命题必真． 这样的学习是被动的、机械的、容易产生误区的．

于是，经过深入探讨交流后，确定本节课的重点是互逆命题的概念理解，并且要加强数学与生活的联系及数学文化的渗透．

3 再次呈现

环节1 情景引入

教师播放视频《第一次数学危机》后提问：看完视频，你能说出几个命题吗？

生1：如果一个数是有理数，那么它可以在数轴上表示出来．

……(学生说的都是正确的命题)

师：命题一定都是正确的吗？

学生齐答：不是．

师：命题有的是正确的，也有的是错误的． 我们把正确的命题称为“真命题”，错误的命题称为“假命题”． 刚刚同学们说的命题是真命题还是假命题？

生3：都是真命题．

师：还有补充吗？

生4：如果一个数可以在数轴上表示出来，那么它是有理数． 这是一个假命题．

说明情景的设置能提升学生的学习兴趣，让学生了解数学历史、感受数学文化，同时从中提取信息、激活认知、锚定学习的起点．通 过“设置情景”给出“初始问题”，通过“问题串”逐渐“知识生成”，这样的授课方式能够达成提升学生“学习能力”的目的． 授课教师的处理也比较智慧，因为学生回答的都是正确的命题，顺势讲了真假命题的概念，既能纠正学生的认识，还为后面学生的发言指明了方向，学生有意识地通过变换条件和结论，期待得到假命题．

环节2 新课讲解

教师让学生观察这两组命题的结构特点和真假性，谈谈自己的想法． 一位学生迫不及待地回答：“如果两组命题的题设和结论的位置发生变化，则命题的真假也发生变化． ”刚说完，自己就意识到好像不对，学生们也表示不同意．

师：有没有不同的意见？

生：命题“两直线平行，同位角相等”“同位角相等，两直线平行”就都是正确的命题. (教师引导都是真命题)

师：很棒！这个例子举得很好． 大家有没有发现，我们要说明某种说法是不对，往往只要举个例子就行． 那这个例子该如何举？有诀窍吗？

生：和前提条件一样，和结果不同．

教师引导大家归纳出：要说明一个命题是假命题，举的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论. 这样的方法叫“举反例”．

师：如何说明命题“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命题？

生：如a=3，b=-3，则满足|a|=|b|，但a≠b，所以命题是假命题．

生：一个命题的条件是另一个命题的结论，另一个命题的结论又是这个命题的条件．

师：很好． “在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题就是‘互逆命题’，其中一个命题是另一个命题的逆命题． ”他们只有结构上的变化，与命题本身的真假无关．

说明教师的专业素养除了理解数学、教材及学生外，还包括课程的实施、教法的处理等技术方面． 上述课例中，教师让学生经历“观察”“发现”“表达”与“思辨”等环节，通过问题的解答，不仅顺利完成了教学任务，还在“谈话式”的平等交流中提升了学生的综合能力和数学素养水平． 对比生硬的灌输教学，自然流畅的课堂才是促进学生健康成长的土壤，才是我们所追求的育人方式，在课堂设计中凸显素养与智慧首先要求自然流畅．

环节3 总结提炼

课堂的最后阶段，教师和同学们一起总结了今天所学的内容，教师通过两个问题(“互逆命题”是两个命题之间的关系，是不是每个命题都有逆命题？如何说明一个命题是真命题还是假命题？)对知识进行了梳理和巩固． 并带领学生阅读教材158页“读一读”部分的《著名的反例》.

说明教师是先掌握知识，再设置问题，而学生则是通过问题掌握知识，所以在总结阶段教师所提问题决定了本节课的高度． 会说出一个已知命题的逆命题是每个学生都要掌握的，深化了对知识本质的认识，强化了逆向思维． 第二个问题则让学生明白说明一个命题是真命题，需要推理和证明，学生的推理和抽象的素养得以培养；而说明一个命题是假命题举一个反例即可，强化了方法的理解，这有助于学生思维品质的提升． 最后教师介绍了《著名的反例》，是对课堂情景引入的一种呼应，让数学的思维和文化贯彻整节课．

4 教后反思

(1)概念教学要设计好内容结构

数学课质量的高低取决于设计，但到底要设计什么？怎么设计？值得我们去深思． 设计整体布局、前后知识联系、重难点突破和知识总结与提炼等，这样的设计既需要对学情的了解、知识的理解，还需要明确要达成的目标、授课的手段．

概念教学的课堂设计重心应该是概念的理解，在课堂中以“知识学习”为明线、“素养提升”为暗线进行课堂教学设计(如图1)，让学生在观察真实有趣的情景中激发兴趣、培养直觉；让学生通过在大量数学元素中寻找类同点来培养思考习惯和判断能力；让学生在和谐的交流氛围中表达思维、抽象概念． 这样的设计才有利于学生“悟数学”，有利于培养学生的能力，这才是知识学习的真谛．

图1

(2)教学设计要凸显出专业素养

教师作为课堂教学的组织者、引导者、合作者，要在课堂上凸显自己的专业能力． 评价教师的专业能力只要看教学过程是否流畅、内容的组合是否合理以及学生的学习有没有真正发生(即学生参与思考和表达程度如何)． 从最初课例的练习环节中有很多关于逆命题判断与书写的训练，到最终通过适当的变化出现在知识情景引入中，既可以让学生在大量的命题中发现互逆命题的存在，感受研究的必要性；还可以使学生明白，只要两个命题具有形式上互换的结构关系就能称为互逆命题，与命题的真假无关． 这样的处理能避免后面练习时的反复强调，同时概念出来后，理解真假命题概念、说明命题为假命题的方法也可以直接使用这些例题，可以省略后面不少环节，提升一节课流畅度、节奏感和有效性． 这样的处理凸显出教师“理解数学、理解教材、理解学生、理解教学”的专业素养.

(3)教师的智慧要融入课堂设计

“一直被模仿，从未被超越”更应该用来作为教学设计的终极追求． 课堂上，教学技术可以模仿，但不能超越的是课堂的灵魂——教师的个性与智慧． 我们既要在信息技术的应用、黑板的利用等方面体现智慧，更要运用教师本人的个性特点和利用好学生课堂的生成． 本课中，由于文字材料较多，如果缺少教师幽默的语言及适当的动作和表情，会让学生感到教学内容枯燥乏味；如果黑板上写满密密麻麻的文字，既不能突出教学重点，对知识的提炼和升华也起不了帮助作用． 在课堂上用好学生所总结的学习要点，借助于符号语言就能快速地写成：命题“如果A，那么B． ”与命题“如果B，那么A． ”是互逆命题，既能节约时间，还能凸显本质． 对于不同层次的学生而言，理解文字概念是有一定差异的，生活化的辅助理解或数学文化的渗入会让他们有不同层次的收获． 这些都体现了融入到课堂设计中的教师智慧。

5 写在最后

数学课堂中还有很多“不专业”语言描述，如写一个已知命题的逆命题时先把这个命题“翻译”成“如果……那么……”的形式，此处用“翻译”明显不对，应该说成“改写”；也不是把命题条件和结论的位置“相反”就行，而应该描述为“互换”；用举反例的方式不是“证明”命题是假命题，而是“判断”……从平时观察的情况来看，我们的数学课堂中类似的方面还有很多. 设计是通过规划、计划和合理的教学方式形成课堂教学方案，这是课前整体上的把控课堂，还需要课上在细节上的即时反应和打磨，更需要课堂中教学语言上的精准，让教师的专业素养与个人智慧体现在课堂设计中才能让学生感悟到数学严谨而有趣的魅力．