2020年广州市一模圆锥曲线试题研究*

鞠火旺 (广东省中山纪念中学 528454)

1 问题的提出

解析几何中的定点问题是一类综合性问题，在直线与圆锥曲线的位置关系中，当直线满足一定的约束条件时，直线往往会过定点或者形成包络线[1]． 下面是2020年广州市一模文、理科数学第20题，两题的题干和第(1)问相同，只是第(2)问略有不同． 本文对该问题进行探究与推广．

(1)求曲线C的方程.

图1 图2

(1)求曲线C的方程.

2 探究与推广

图3 图4

3 进一步推广

由上可知，过椭圆的上顶点或右顶点作两直线，当两直线的斜率之积为定值时，所张的弦恒过定点． 那么过椭圆上任意一点作两条直线与椭圆相交(图5)，当这两条直线的斜率之积为定值时，过两交点的直线还会过定点吗？经过探索发现直线的确过定点(图6)，于是我们得到如下结论．

图5 图6

上述结论中的点B是椭圆上的任意一点． 自然有追问：若点B为椭圆内或椭圆外任意一点，过点B作两条直线BP，BQ，它们分别与椭圆相交于点P和Q(图7)，且BP和BQ的斜率之积为δ，那么直线l是否仍然过定点？经过实验发现动直线l形成包络线(图8)． 为了方便研究，不妨将点B取在坐标原点，这并不影响问题的本质．

图7 图8

(ⅰ)当δ<0且δ≠-1时，包络线为椭圆． 其中, 当δ∈(-∞,-1)时焦点在y轴上；当δ∈(-1,0)时焦点在x轴上．

4 推广与统一

结论证明的过程中会涉及大量的符号运算，具体的证明我们留给感兴趣的读者. 我们借助TI图形计算器的CAS运算功能，求出了一个关于x，y的二元四次方程，该方程的形式过于复杂，本文就不再给出具体的表达式了．

图9和图10给出的是当λ≠1且δ<0时包络线对应的图象，由于当点B在椭圆内部时，直线BP和BQ与椭圆共产生了四个交点，故图9和图10叠合在一起才是完整的包络线图象．

图9 图10

至此，我们已经对这道试题及其推广形式有了比较完整的认识. 在双曲线中也有类似的结果，限于篇幅我们就不再赘述了．