改进的粒子群算法在电力经济调度中的应用

张春韵，邹德旋，沈 鑫

（1.江苏师范大学 电气工程及自动化学院，徐州 221116；2.中国矿业大学 信息与控制工程学院，徐州 221116）

0 引言

随着社会经济快速发展，能源需求不断增长，电能的消耗也不断增加，因此对电力系统经济调度（ELD）问题的研究显得格外重要。ELD是电力系统优化中重要的问题之一，主要目标是在满足负荷需求和运行条件下，尽可能地降低总燃料成本。

电力系统经济调度是一个考虑禁止运行区、斜坡率、功率平衡、传输损失、不同燃料成分比例和阀点效应等多约束条件的优化问题，因此，ELD解决的是多约束性、非线性的复杂问题。目前，主要的研究方法分为两种，一种是基于拉格朗日优化函数和神经网络的线性规划技术[1]，但线性规划需要问题的导数以及梯度，处理高维电力系统时计算程度过于复杂。一种是基于迭代的群体智能优化算法[2]，也是目前普遍使用的方法，包括差分进化算法（DE）[3]，遗传算法（GA）[4]，粒子群算法（PSO）[5]等。本文提出一种改进的粒子群优化算法（IPSO）用来解决经济调度问题。

1 改进的粒子群优化算法

1.1 原始粒子群优化算法

粒子群优化算法最初是由Kennedy和Eberhart提出[6]，其基本思想是先随机初始化一群粒子，通过不断迭代，最终寻得最优解。在每一次迭代后，粒子都会由适应度值来更新个体极值和全局极值，并根据公式更新速度和位置。原始粒子群优化算法基本流程如下：

1）种群初始化

2）计算目标函数值并更新极值

计算目标函数值，并与上一代的值比较，更新个体最优值Pbest和全局最优值Pbest。

3）更新粒子的速度和位置

粒子根据目标函数的适应度值来更新自己的搜索速度和位置，每次迭代后都向全局最优粒子靠拢。具体如下公式：

4）算法终止

判断是否达到最大迭代次数或满足其他的算法终止条件，若满足条件则算法结束，输出全局最优值。

1.2 标准粒子群优化算法

为了提高PSO搜索过程的准确性和稳定性，Shi和Eberhart对粒子的速度更新式[7]进行修改，通过引入惯性权重ω的方式加强粒子的搜索能力，如式(4)所示：

惯性权重ω随着迭代次数的增加，从0.9线性减小到0.4，引入惯性权重后的速度更新公式更加全面体现了粒子在搜索过程中的运行机制，算法的搜索结果更加可靠，因此，式(4)是目前普遍使用的标准粒子速度更新公式。

1.3 算法改进

1.3.1 提高种群多样性

标准粒子群优化算法中，基于减法[8]的解决方案易造成粒子种群多样性缺失和搜索进程的停滞。根据式(4)可以知道，粒子运行受个体经验和群体经验影响，如果某一粒子处于当前最优位置，则其他粒子迅速向其靠近，但若该最优位置是局部极值，那么粒子群就容易陷入局部最优，无法在解空间里重新搜索，这就造成了算法的早熟现象。为了克服早熟收敛，提高种群多样性，若通过迭代运行后全局极值保持不变，选取m（m≤5%N）个粒子的历史最优位置，与当代产生的粒子进行重组。如式(5)所示：

其中，hnew代表新产生的粒子；hold代表选取的历史最优位置；hup代表当代产生的粒子；c代表（0，1）之间的随机数。新产生的粒子具有不同的运行方向和速度，探索新的搜索空间，跳出局部最优，避免早熟收敛。此外，使用历史最优就是以个体所搜索到的最好位置为参考，在其周围进行搜索，以期望搜索到更好的位置，有利于不断改进解的质量，在增加粒子多样性的基础上保证其寻优精度。

1.3.2 动态惯性权重

惯性权重ω体现了粒子之前的速度对这一代的影响[9]，通常在算法寻优初期ω值较大，有利于全局寻优，在迭代后期ω值较小，有利于局部寻优。本文对惯性权重ω作如下改进：

其中，ωmax和ωmin分别代表惯性权重的最大值和最小值；t代表当前迭代次数；T代表最大迭代次数。与线性递减的模型不同，式(6)是一种凹函数模型的动态惯性权重，递减速度更加匹配粒子搜索进程，更好地平衡了算法全局搜索能力和局部搜索能力。

1.3.3 学习因子

很多算法改进中，只考虑参数ω 对粒子运行的影响，而忽略了学习因子的作用。事实上，c1c2分别代表粒子自身速度和其他粒子速度对当前运行速度的影响。标准粒子群优化算法，学习因子c1c2设置为相同的常数，在整个迭代过程中，粒子受个体信息与群体信息的影响不变。因此，对学习因子加以改进，随着迭代过程的进行，c1递减而c2递增，即在迭代前期，粒子主要受个体信息影响，有助于增加种群多样性，在迭代后期，主要受群体信息影响，有助于粒子快速向全局极值靠近，获得最优解。改进的c1c2如下所示：

其中，t代表当前迭代次数；T代表最大迭代次数。

算法实现流程

综合以上三点改进，IPSO算法的具体实现过程如图1所示。

图1 IPSO算法流程图

2 电力系统经济调度

2.1 目标函数

本文研究采用单一能源发电的静态电力系统经济调度问题，目标成本函数的数学模型分为无阀点效应和考虑阀点效应[10]两类，可以分别由式(9)、式(10)表示。

其中，Fi和代表发电机组i的燃料成本；ai，bi，ci代表发电机i的成本系数；ei，fi代表发电机组的阀点效应（VPE）系数；Pi代表发电机组的发电功率；n是电力系统中发电机总数。

2.2 约束条件

ELD问题的约束条件[11]包括的等式约束和不等式约束，等式约束是电力平衡约束，不等式约束包括发电机组有功出力约束以及禁止运行区约束，具体如式(10)所示。

电力平衡约束由式(11)给出，其中，PD表示系统的总负载需求；PL表示总传输损耗，显然，根据功率平衡标准，式(11)表明在固定时间内产生的总功率应等于总负载需求与总线损之和。

总传输损耗由式(12)计算，其中，Bji，B0j，B00都表示损耗系数。

2.3 约束处理

严格的约束处理有利于获得更符合实际情况的解,通常的处理方法有惩罚函数法和修补方法。文献[10]中提出先对违反解进行修复，筛选出不可行解，再用罚函数进一步修补的方法，此方法可以严格满足所有约束条件且效果显著，因此使用文献[10]中提出的修复方法。

3 实验结果与分析

3.1 仿真环境与案例

在硬件配置为Intel（R）Core(TM) i5-8265U CPU@1.60GHz（8CPUs）～1.8GHz的计算机上采用MATLAB 2014a编程，对8个经典案例[10]进行测试实验，案例分为4个考虑VPE的电力系统模型和4个不考虑VPE的电力系统模型，并与近期著名的PSO算法PSOCO[12]、DPSO[13]、MPSO[14]算法进行对比分析，通过分析不同算法的收敛性和稳定性等情况，验证IPSO的有效性。

3.2 案例结果分析

为了评估不同算法的性能，记录了每个算法搜索结果的最小值Costmin，最大值Costmax，平均值Costmean，中间值Costmedian，标准差Coststd五个参数。为了避免验证结果的随机性，实验时令每个算法对不同案例单独运行30次，取30次运行结果的平均值作为最终搜索值，以保证实验数据的可靠性，运行结果如表1所示。

表1 四种不同PSO方法处理八种ELD问题的燃料成本比较分析

表1 （续）

通过分析表1可以发现，对于第一个单元维数较少的简单情况，所有算法都能获得相同的最小成本函数值，并且它们的标准差都为0，表明这些算法都可以轻松地找到最佳解决方案，但只有IPSO能搜索到所有案例的最小燃料成本。其次，对于案例三、案例五、案例六、案例七和案例八，IPSO的Costmax值甚至都小于其他算法的Costmin值，说明IPSO的收敛性明显比其他三种算法更好。对于案例三、案例五、案例六、案例八，IPSO的Costmean值也小于其他算法，这说明IPSO不仅能获得最优解，而且稳定性极强，不是随机或偶然形成的。此外，对于案例八的40单元电力系统，IPSO的Costmin、Costmax、Costmean、Costmedian、Coststd值都小于其他三种算法，表明MDLPSO在解决高维复杂的电力系统问题时依然能高效稳定地获得最优解，这是显著优于其他算法的地方。

为了能够更加直观清晰地观察分析几种算法的搜索效果，其相对应的平均燃料成本收敛特性曲线如图2～图9所示。

图2 不考虑VPE的2单元系统（PD=250MW）

图3 不考虑VPE的3单元系统（PD=850MW）

图4 考虑VPE的3单元系统（PD=850MW）

图5 不考虑VPE的6单元系统（PD=1263MW）

图6 考虑VPE的13单元系统（PD=1800MW）

图7 考虑VPE的13单元系统（PD=2520MW）

图8 不考虑VPE的38单元系统（PD=6000MW）

图9 考虑VPE的40单元系统（PD=10500MW）

观察图2～图9可以看出，随着迭代次数增加，IPSO总能搜索到最优解，IPSO的曲线图在迭代初期快速下降，在迭代中后期以较慢的速度继续下降并逐步达到最小值，在整个搜索过程中，IPSO都体现了极强的收敛性。其次，观察四个考虑VPE的电力系统案例，可以明显看出IPSO比其他所有算法的平均燃料成本特性曲线都要低，直观体现出其更具优越性。此外，观察图5、图6和图8，PSOCO的曲线图都是最高，有陷入局部最优的可能。

为了进一步分析和比较收敛性和稳定性，以40单元为例，系统总需求PD（MW）分别设置为8000，8250，8500，9000，9250，9500，表2给出了四种算法获得的平均燃料成本值，并且为了方便观察和比较，最佳结果以粗体标出。

表2 四种算法搜索40维下不同的电力系统总需求获得的最小平均燃料成本比较

通过表2可知，尽管参数PD在很大范围内变化，提出的IPSO仍然能搜索到最小的燃料成本，获得更好的解决方案。

综上所述，相比于PSOCO、DPSO、MPSO，IPSO在解决不同特性的ELD问题中更具优越性，其搜索能力更强，能避免陷入局部最优而且稳定性好。

4 结语

为了解决ELD问题，提出一种改进的粒子群优化算法IPSO，主要有三点，1）通过重组增加种群多样性；2）提出一种新的动态惯性权重；3）改进学习因子。用IPSO来解决8种典型特性的ELD问题，与其他三种算法的对比验证了IPSO具有更好的收敛性，全局搜索能力以及稳定性，是一种高效的解决ELD问题的方法。未来，将继续改进算法并用来解决多目标的ELD问题。