混凝土石膏盒空心楼（屋）盖有限元差分法计算

鲁思濛

1 工程设计概况

钢筋混凝土空心盖板是指混凝土板在浇筑前放置空心芯筒（盒），形成单（或双）向（x，y）正交密肋（小梁）传承板面荷载的板。板面的内力（弯矩、剪力、轴力、扭矩）和位移（转角、垂直线位移、水平线位移）求解之后采用口字型、工字型或T字型截面计算板的配筋（主筋、腰筋、箍筋等）。

板的内力计算众所周知有:（1）双单向平板法；（2）密肋（梁）法；（3）井字梁法；（4）拟夹层板法板板；（5）交叉梁系差分法；（6）有限元差分变分法；（7）电算法（多种软件）等。

2 有限元差分法理念

将预制空心楼（屋）盖的结构内力基本方程和边界约束条件（微分方程）采用有限元差分方程计算，把求解微分方程的问题改换成求解代数方程的问题。

设f=f（x，y，z）为弹性体内的某一个连续函数，在区间具有一阶直到n+1阶的导数，在区间上取一点x0，并取x0的一个增量Δx，则微分dy=f’（Xo）Δx，ΔY=f’（Xo+Δx）-f’（Xo），一个函数增量Δy，表示位移或弯矩、剪力，也可以取它代表某一个应力分量或位移分量、应力函数、温度、湿度等等。

运用泰勒级数:f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2!+…+fn（x0）（x-x0）n/n!+Rn（x）

当x0=0

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x2/2!+f‴（0）x3/3!+…+fn（0）xn/n!

即马克劳林级数，当x值很小时，幂级数收敛域很容易确定，当x＜1.0时，很快收敛，级数之和较准确，满足设计规范要求。

2.1 计算模型

图1

其平方值也愈小，立方值更小，即连续函数收敛，而且一般采用规则平面，如矩形、正方形平面，图形周边为简支（铰接）或固定（刚接），在平面图中找形心点，任何幂级数εanxn的收敛域都是以原点为中心的一个区间，在x0、y0坐标轴的左右上上相隔等间距h而平行于坐标轴的若干组平行线织成方格网，如图1，增量h≤1时，其平方值愈小，立方值更小，即连续函数收敛，而且一般采用规则平面，如矩形、正方形平面，图形周边为简支（铰接）或固定（刚接），在平面图中找形心点，任何幂级数εanxn的收敛域都是以原点为中心的一个区间，在x0、y0坐标轴的左右上上相隔等间距h而平行于坐标轴的若干组平行线织成方格网，增量h值愈小，矩剪力收敛很快，数值准确。一般先计算坐标原点的左（-1，0），右（0，1），前（-1，0），后（0，1），共4点的内力（弯矩、剪力），位移（挠度、转角），然后逐步分级扩展坐标原点的相邻的左、右、前、后各两点，共8、12、16个点的内力、位移。

h取值:当跨度8＜L≤10米时，h=L/10～12；

当跨度10＜L≤12米时，h=L/12～14；

当跨度12＜L≤15米，h=L/15～16；可以收敛快些。

2.2 有限元差分法数学表达式:

挠度系数ω为:

挠度系数如图2所示。字为节点编号。

图2 节点差分法位移系数

其中:D-板的刚度；q-计算荷载。

2.3 双向正交正放梁（肋）的位移与均布荷重、梁刚度的关系:

2.4 梁的位移与转角Θ、刚度D的关系:

2.5 梁的位移与弯矩M、刚度D的关系:

其中:m-弯矩系数。

图3 差分法弯矩系数分布图

2.6 梁的位移与剪力V、刚度D的关系:

其中:ν-剪力系数。

图4 差分法剪切力系数分布图

ω为未知数，由代数联立方程中求得，ω的影响区域，一般为上上左右各三跨，越出的可以不考虑；但要考虑边界约束条件。

3 确保质量技术措施

（1）石膏空心盒平面布置横平竖直，X与Y（横与列）方向要垂直，横与横平行，列与列平行。

（2）芯盒不能占越框架梁的面积和空间，盒与梁边的间距应大于50mm，使框架梁截面为T型，同时满足板抗剪强度要求。

（3）板应预先起拱，L/250～L/300，避免变形过大而产生裂缝。

（4）按简支计算的板，实际支座都有不同程度的约束，故要求配置适量的负弯矩钢筋，应不少于跨中正弯矩钢筋的1/2；负弯矩值=（1/8－实配正弯矩系数），按负弯矩值计算负钢筋量。

（5）肋（小梁）的肢箍钢筋要满足抗剪需要。

（6）石膏空心盒边角应为圆角，避免应力集中而产生裂缝。

（7）早强水泥会导致混凝土早期强度较高而产生裂缝，要有措施应对。

（8）在混凝土中掺入15～20%的Ⅰ～Ⅱ级粉煤灰，可减少混凝土收缩和混凝土水化热，可改善混凝土的抗裂性能。

（9）工程实践证明，在混凝土中加入适量的防腐阻锈防水抗裂剂，可以提高混凝土应有性能。

（10）混凝土在初凝前进行二次振捣，在终凝前对混凝土表面进行二次抹压，并及时覆盖保湿养护，防止早裂，确保混凝土质量。

（11）浇注混凝土前，必须在楼板上铺设架空马道，严禁施工人员踩踏芯模和钢筋，混凝土振捣设备应多种，应有小直径（一般ф30）或片式插入式振捣器，与平板振捣器协同操作，确保混凝土均匀密实。

（12）芯模吊运与堆放一是要轻掀轻放，二是要按规定控制叠放高度，以防芯模损坏。

（13）模板支撑系统，要等空心楼（屋）盖混凝土强度、刚度满足设计要求时，才许拆模。

（14）严格遵照芯模生产制作、安装检验、浇注混凝土、养护、检验、验收全过程质量要求进行施工。

4 结论

钢筋混凝土空心盖板，用有限元差分法计算，实际是幂级数f（x）泰勒级数收敛性在盖板的内力（弯矩、切力）和变形（位移）的计算应用，显得更精确、经济（降低用钢量），数学概念清晰，计算方便（微分方程采用代数方程解），结果可信，正确。