浅谈有限差分法在求梁变形时的应用

田来社

摘要：本文运用数学中有限差分的方法，对梁变形的求解进行了严密、系统的分析。利用泰勒级数，结合梁挠曲线方程，建立了梁变形差分的一般计算公式。通过具体实例，验证了有限差分法精确度能满足工程上的要求。

关键词：差分法；变形；精确度

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在实际工程中，会看到各种形式的建筑结构，其中梁是建筑结构中的主要构建之一。由于建筑物都要承受载荷的作用以及自身受重力作用，建筑结构中的梁一般情况下就会发生弯曲变形。如何求梁变形的大小，在实际当中有许多计算的方法，但最基本的方法是积分法。对于有些载荷复杂且是变截面杆的梁，用积分法求解梁的变形十分麻烦且工作量较大。下面给大家介绍一种新方法—有限差分法求梁变形。

二、有限差分法

有限差分法是一种数值计算方法。现介绍有限中心差分内容如下：

设函数y=f（x）在点x0

一阶中心差分Δy■=yi+1-yi，

二阶中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁变形差分法公式

设y=f（x）代表图1所示光滑连续函数的曲线，同时也可以将其比拟为梁变形的挠曲线。取横坐标xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各点，为方便计算取各相邻点间距均等于h。各点对应的函数值依次为yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函数y=f（x）在点xi附近以泰勒级数的形式展开，忽略三阶以上的高阶微量，其表达式为

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分别将x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考虑到相邻点为等距h就会得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

将上式y'（xi）与yn（xi）视为未知量，解方程组（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分别是函数f（x）的一阶导数和二阶导数的差分表达式，它是y=f（x）在xi点处y'（xi）与yn（xi）的近似表达式。由高等数学知道，h取值越小，计算的精度就会越准确。

由材料力学知识可知，梁变形的挠曲线近似微分方程为：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁变形差分的一般计算公式。其中M，EIi分别指x=xi处梁的弯矩与抗弯度。

对于梁弯曲变形的挠曲线，若在梁的轴线上等份地选取一些点，分别代入（5）式，得到一组有限差分方程组，它是一组代数方程。解方程组便可求得梁上选定各点的挠度。

四、有限差分法的应用

下面举例说明有限差分法的应用。设图2所示的梁为变截面简支梁。试求该梁中点的挠度。已知梁跨长为l截面惯性矩是I，载荷P作用在梁的中间。

解：先把梁分成六个相等的间隔，则h=■，利用梁的对称性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

对于点1：M1=■，抗弯刚度为EI；

对于点2：M2=■，抗弯刚度为2EI；

对于点3：M3=■，抗弯刚度为2EI。

将点1、点2、点3、的弯矩和抗弯刚度分别代入式（5）并注意到y2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程组可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中点的挠度y3=-■，该值也是代表全梁中最大的变形。

五、校验误差

依据材料力学梁的变形知识，通过精确计算，该简支梁发生的实际最大变形为

yc=-■

将yc与y3的值进行比较，其相对误差如下：

■=■=■=3.4%

通过以上计算，可以知道相对误差没有超过工程上规定的5%

综上所述：在求解梁变形时，如果对精度要求不高，采用差分法可以取得较为满意的效果。

摘要：本文运用数学中有限差分的方法，对梁变形的求解进行了严密、系统的分析。利用泰勒级数，结合梁挠曲线方程，建立了梁变形差分的一般计算公式。通过具体实例，验证了有限差分法精确度能满足工程上的要求。

关键词：差分法；变形；精确度

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在实际工程中，会看到各种形式的建筑结构，其中梁是建筑结构中的主要构建之一。由于建筑物都要承受载荷的作用以及自身受重力作用，建筑结构中的梁一般情况下就会发生弯曲变形。如何求梁变形的大小，在实际当中有许多计算的方法，但最基本的方法是积分法。对于有些载荷复杂且是变截面杆的梁，用积分法求解梁的变形十分麻烦且工作量较大。下面给大家介绍一种新方法—有限差分法求梁变形。

二、有限差分法

有限差分法是一种数值计算方法。现介绍有限中心差分内容如下：

设函数y=f（x）在点x0

一阶中心差分Δy■=yi+1-yi，

二阶中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁变形差分法公式

设y=f（x）代表图1所示光滑连续函数的曲线，同时也可以将其比拟为梁变形的挠曲线。取横坐标xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各点，为方便计算取各相邻点间距均等于h。各点对应的函数值依次为yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函数y=f（x）在点xi附近以泰勒级数的形式展开，忽略三阶以上的高阶微量，其表达式为

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分别将x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考虑到相邻点为等距h就会得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

将上式y'（xi）与yn（xi）视为未知量，解方程组（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分别是函数f（x）的一阶导数和二阶导数的差分表达式，它是y=f（x）在xi点处y'（xi）与yn（xi）的近似表达式。由高等数学知道，h取值越小，计算的精度就会越准确。

由材料力学知识可知，梁变形的挠曲线近似微分方程为：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁变形差分的一般计算公式。其中M，EIi分别指x=xi处梁的弯矩与抗弯度。

对于梁弯曲变形的挠曲线，若在梁的轴线上等份地选取一些点，分别代入（5）式，得到一组有限差分方程组，它是一组代数方程。解方程组便可求得梁上选定各点的挠度。

四、有限差分法的应用

下面举例说明有限差分法的应用。设图2所示的梁为变截面简支梁。试求该梁中点的挠度。已知梁跨长为l截面惯性矩是I，载荷P作用在梁的中间。

解：先把梁分成六个相等的间隔，则h=■，利用梁的对称性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

对于点1：M1=■，抗弯刚度为EI；

对于点2：M2=■，抗弯刚度为2EI；

对于点3：M3=■，抗弯刚度为2EI。

将点1、点2、点3、的弯矩和抗弯刚度分别代入式（5）并注意到y2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程组可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中点的挠度y3=-■，该值也是代表全梁中最大的变形。

五、校验误差

依据材料力学梁的变形知识，通过精确计算，该简支梁发生的实际最大变形为

yc=-■

将yc与y3的值进行比较，其相对误差如下：

■=■=■=3.4%

通过以上计算，可以知道相对误差没有超过工程上规定的5%

综上所述：在求解梁变形时，如果对精度要求不高，采用差分法可以取得较为满意的效果。

摘要：本文运用数学中有限差分的方法，对梁变形的求解进行了严密、系统的分析。利用泰勒级数，结合梁挠曲线方程，建立了梁变形差分的一般计算公式。通过具体实例，验证了有限差分法精确度能满足工程上的要求。

关键词：差分法；变形；精确度

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0084-02

一、引言

在实际工程中，会看到各种形式的建筑结构，其中梁是建筑结构中的主要构建之一。由于建筑物都要承受载荷的作用以及自身受重力作用，建筑结构中的梁一般情况下就会发生弯曲变形。如何求梁变形的大小，在实际当中有许多计算的方法，但最基本的方法是积分法。对于有些载荷复杂且是变截面杆的梁，用积分法求解梁的变形十分麻烦且工作量较大。下面给大家介绍一种新方法—有限差分法求梁变形。

二、有限差分法

有限差分法是一种数值计算方法。现介绍有限中心差分内容如下：

设函数y=f（x）在点x0

一阶中心差分Δy■=yi+1-yi，

二阶中心差分Δ2yi=Δy■-Δy■。

三、梁变形差分法公式

设y=f（x）代表图1所示光滑连续函数的曲线，同时也可以将其比拟为梁变形的挠曲线。取横坐标xi-1，xi-1，xi，xi+1，xi+2各点，为方便计算取各相邻点间距均等于h。各点对应的函数值依次为yi-1，yi-1，yi，yi+1，yi+2。把函数y=f（x）在点xi附近以泰勒级数的形式展开，忽略三阶以上的高阶微量，其表达式为

y=y（xi）+y'（xi）（x-xi）+■yn（x-xi）2 （1）

分别将x=xi-1和x=xi+1代入（1）式，考虑到相邻点为等距h就会得到

y（xi-1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2y（xi+1）=y（xi）-y'（xi）h+■yn（xi）h2 （2）

将上式y'（xi）与yn（xi）视为未知量，解方程组（2）得到（3）式：

y'（xi）=■yn（xi）=■ （3）

式（3）分别是函数f（x）的一阶导数和二阶导数的差分表达式，它是y=f（x）在xi点处y'（xi）与yn（xi）的近似表达式。由高等数学知道，h取值越小，计算的精度就会越准确。

由材料力学知识可知，梁变形的挠曲线近似微分方程为：

yn（xi）≈■ （4）

由（3）、（4）式得：yi+1-2yi+yi-1=h2■。 （5）

（5）式是梁变形差分的一般计算公式。其中M，EIi分别指x=xi处梁的弯矩与抗弯度。

对于梁弯曲变形的挠曲线，若在梁的轴线上等份地选取一些点，分别代入（5）式，得到一组有限差分方程组，它是一组代数方程。解方程组便可求得梁上选定各点的挠度。

四、有限差分法的应用

下面举例说明有限差分法的应用。设图2所示的梁为变截面简支梁。试求该梁中点的挠度。已知梁跨长为l截面惯性矩是I，载荷P作用在梁的中间。

解：先把梁分成六个相等的间隔，则h=■，利用梁的对称性可知

y0=y6=0，

y1=y5，

y2=y4，

对于点1：M1=■，抗弯刚度为EI；

对于点2：M2=■，抗弯刚度为2EI；

对于点3：M3=■，抗弯刚度为2EI。

将点1、点2、点3、的弯矩和抗弯刚度分别代入式（5）并注意到y2=y4，整理得：

-2y1+y2=■■■y1-2y2+y3=■■■y1-2y3+y2=■■■ （6）

解上述三元一次方程组可得

y1=-■y2=-■y3=-■ （7）

由式（7）可知，梁中点的挠度y3=-■，该值也是代表全梁中最大的变形。

五、校验误差

依据材料力学梁的变形知识，通过精确计算，该简支梁发生的实际最大变形为

yc=-■

将yc与y3的值进行比较，其相对误差如下：

■=■=■=3.4%

通过以上计算，可以知道相对误差没有超过工程上规定的5%

综上所述：在求解梁变形时，如果对精度要求不高，采用差分法可以取得较为满意的效果。