拉普拉斯变换求线性常系数微分方程初值问题的应用研究

摘要：首先简要介绍了拉普拉斯变换知识，总结了用拉普拉斯变换求线性常系数微分方程初值问题的常用解题步骤，最后通过三个典型例题来利用拉普拉斯变换求线性常系数微分方程的初值问题。

关键词：高等数学;拉普拉斯变换;常微分方程

引言

求解线性常系数微分方程的初值问题，通常有三种方法[1]：（1）先求出对应齐次线性微分方程的基本解，再用待定系数法求出非齐次线性微分方程的一个特解，从而得到非齐次线性微分方程的通解 ，最后代入初始条件，确定 个任意常数 ，从而得到其初值解 。（2）先求出对应齐次线性微分方程的基本解，再用常数变易法求出非齐次线性微分方程的一个特解，从而得到非齐次线性微分方程的通解 ，最后代人初始条件，确定 个任意常数 ，从而得到其初值解 。（3）用拉普拉斯变换，直接求解。本文研究用拉普拉斯变换直接求线性常系数微分方程的初值问题。

1预备知识

1.1本文用到的拉普拉斯变换公式[2]

2拉普拉斯变换求线性常系数微分方程初值问题的基本步骤

拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程初值问题，一般分三个步骤：

（1）微分方程两边取拉普拉斯变换，同时结合初始条件，将微分方程转化为关于象函数的代数方程;

（2）解象函数满足的代数方程，求出象函数;

（3）象函数两边取拉普拉斯逆变换，从而求出原微分方程的解[5]。

高职高专院校人才培养的目标是培养适应管理、服务、生产、建设第一线需要的，德智体美劳全面发展的高技术应用性人才[6]。数学是为专业课服务的，因此学生学习数学的主要目的是使用数学解决专业问题。拉普拉斯变换求线性常系数微分方程的初值问题时，不用学习线性微分方程的通解结构的理论，这样可以节约学生们的学习时间。因此，用拉普拉斯变换求线性常系数微分方程的初值问题，对数学理论要求不是很高的理工类学生们来说，非常适合。拉普拉斯变换是高职高专院校理工类专业课的重要工具，在工程技术中有着重要的应用。如电气类专业中，自动控制系统里，大量的应用拉普拉斯变换来解决专业问题。

参考文献：

[1]高伟航，宫成春，王鹏鲲.高阶常微分方程的拉普拉斯变换新解[J].高等数学研究，2018，21（1）：100-103.

[2]滕岩梅.积分变换中常见问题[J].大学数学，2015，31（1）：105-109.

[3]周从会.应用拉普拉斯变换解决高等数学中的一些问题[J].高等数学研究，2016，19（4）：61-62.

[4]李景和，金少华.拉普拉斯变换微分性质的若干应用[J].高等数学研究，2015，18（1）：76-78.

[5]陳荣军，文传军.复变函数与积分变换[M].南京：南京大学出版社，2015.

[6]田垒.拉普拉斯变换在微分方程中的应用[D].安庆：安庆师范大学，2016.

作者简介：钱小慧（1980-），女，云南人，云南机电职业技术学院讲师，理学硕士，主要从事高等数学教学工作。