高数基本知识点的横向邻接与纵向拓展

杨松

摘要：对数学的学习并不是单一的，也不是独立的，从数学层面来解析，数学每个知识和技能之间都是能够紧密联系在一起的，且知识点之间能够融会贯通，相辅相成。从学术层面进行解析，数学和其他专业之间也是能够相互帮助、相互成就的。对于高数基本知识点的掌握和解析，学生如果没有关注学习技巧，那么学生在解题的时候，就会出现理解层面的疑惑，可能还会影响学生的记忆。进而为之后的高数学习带来负面影响。从高等数学的整体布局出发，能够看到的是，高数基本知识点之间是有一定规律存在的;一些知识点之间存在着横向的关联，一些知识点之间则能够纵向的相互依存，也能够进行纵向的知识延展。

关键词：高等数学;基本知识点;横向邻接;纵向拓展;

高数是一门由微积分学、代数学、几何学以及它们之间的相融内容所构成的一门基础性科目，其主要内容包含数列、极限、微积分等内容，是理科类本科生考试的固定科目。虽然由很多微小的知识点组成，但知识点并不是独立的，它们之间有联系、有类接、有延展、有拓宽。学习高等数学的本真就在于整合和归纳，触类旁通，解决同类型的问题是学好高数的本源。一个知识点，不仅要抓到它的基本点，而且还要抓到它的生长点，更要抓到它的延展点。因为学习高等数学就是由浅入深、由小见大、由及到里的过程，只要掌握高数基本知识点的横向邻接与纵向拓展，就能够获取到对应的知识理念，增强对应的知识应用能力。

一、高数基本知识点的横向邻接

关于基本知识点的横向邻接，我们可以把定积分的高数内容作为分析的例子，我们明白，定积分的定义是立足在极限基础上的，其基本思路是“化整为零”、“以直代曲”、“积零为整”，用基础问题的处理手段，解决非基础的问题，像是曲边梯形的面积、变速运动问题的即时速度等等。由基本知识点的串联，自然而然地想象到不定积分的概念和几何意义、原函数的求法、有理函数的积分、定积分的计算、牛顿莱布尼茨公式等等。从思想原理出发，这种知识邻接属于从特殊到一般之后再回归到特殊当中的一类思维规律。从解析的过程来看，概念上的横向关联，大多都以类接和邻接为关键内容，而纵向延展则体现为纵深延展和拓宽以及反向延展和拓宽，即从深层的知识出发进行探究，然后借此往浅层的知识追溯。

（一）概念层面的横向类接

不少数学的概念、定理、原理层面，都拥有着横向类接的问题，这和知识链接的归类和总结十分的相似，但又不能完全地把它看成總结分析、整理分析、归纳分析。相同的概念、一致的原理、没有差异的定理，如若从不同视角出发，所获取到的类接结果是有一定差异的。

就像极限概念的类接：依照自变量变化方向进行分析，极限大致分为两类，一类称之为点极限，另一类称之为无穷远极限，由点极限进行类接，其能够分为左极限和右极限，由无穷远极限进行类接，其能够分为正无穷远和负无穷远。依照变量的性质进行分析，极限分为“数列的极限”和函数的极限，数列的极限大致分为三类，即单调有界数列极其他类型调有界数列极限、其它类型数列极限。函数的极限分为两类，即初等函数极限，非初等函数极限，由初等函数极限进行类接，其能够分为“基本初等函数极限、复合其他类型、反函数的极限、其它类型的极限”，由非初等函数极限进行类接，其能够分为“幂指函数极限、分段函数极限、隐函数极限、其它函数极限”。

上述两种概念类接解析能够说明，不同的分析视角能够产生几种完全不一样的类接成果，这也为我们提供了分层次类接的策略。借助这样的案例，我们能够明白：针对一致性的概念，相同的定理、没有差异的原理，我们需要从不同视角出层次地表述的问题，进行分层次的表述，进而完成全方面解析和把握的学习目标。

（二）概念层面的横向邻接

不少数学的概念和定理以及原理之间拥有着邻接。所谓“邻接”，指的其实就是概念基础上的邻近，在运用的时候，可以相互融合，并且借此加深一定的记忆。

我们可以把连续的概念当做分析概念横向邻接的例子。连续，除了一元函数的连续、还有二元函数的连续和多元函数的连续等等，而连续自身的定义，就邻接着函数的定义域、函数值、点极限、微分。积分、区间连续等定义，除此外，连续自身还类接着导数的定义、增量、最值性、有界性、介值性、极限等都是连续直接呈现出来的结果。连续是函数最弱的性质，而导数连续是函数最强的性质。它们之间的逻辑关系为，函数的导数连续能够推出函数可导，而函数可导能够推断出函数连续。导数的实质是增量比的极限。函数可导一定连续，但连续不一定可导，可导一定可微，可微一定可导，可微一定连续，但连续不一定可微。由此可见，它们之间存在着邻接关系。

二、高数基本知识点的纵向拓展

高其他主要概念之间，除了和其它概念之间拥有着横向邻接的关系，同时，还拥有着纵向拓展的联系。单从纵向拓展和融合的视角来看，对于困难的问题，我们可以运用简单的策略进行解决。比如极限概念的纵向拓展，即“极限→无穷小→导数→微分→积分”。

由微积分定理的纵向延伸进行分析，即从一元函数的分割开始进行取点、作和式、取极限定义、看几何意义;“一元函数→二元函数→二重积分→三重积分→多重积分”;“定积分→可变上限的积分”;“常规积分→反常积分”。

关于高数基本知识点的纵向拓展学习，其问题的提出要剑指中心，指向高数的关键内容，掌握问题的精练程度。所谓“精练程度”，指的其实就是结合学习内容的重点进行设问，结合学习思维的关键处进行设问，这样，我们就能够在精度的问题下，进行纵向的思考，并在解析问题的过程里，加强我们自己的数学解题能力。就以“微积分”的知识点为例，我们在进行纵向拓展的时候，就要把问题罗列出来，即微积分的面积问题、微积分的切线问题、微积分的速度问题[1]。

回归微积分定理的拓展，其能够延展为非正常积分的知识内容，而学习的主要内容，则是“问题的提出→反常积分的定义→反常积分的几何意义”而提出的问题，就可以结合微积分的基本定理，设f（x）在[a，b]上连续，若F（x）是f（x）在[a，b]上的一个原函数，那么要求满足（1） f（x）在区间[a，b]上连续;（2） [ a，b]为有限区间。对问题的解析过程，其实就是由此获取反常积分定义的过程，这种知识点层面的纵向拓展，事实上就是学好高数的基础。

结束语：

综上所述，高数的基本知识点存在着横向邻接关系和纵向拓展关系，精确地剖析和结局这些联系，不仅能够加深学生们对概念的了解，而且能够借此加深学生的记忆力。简单地说，从概念层面来看，高数的基本知识点是独立存在的，但事实上，它们之间有着横向和纵向的知识联系，学生只要了解这些关系，且能够归纳这些关系，学生们就能够学好高等数学，并从中获取不限量的知识延续。

参考文献：

[1]程美玉.新时代提高“高等数学”课程教学质量的研究[J].黑龙江教育（理论与实践），2021（11）：76-77.