立几补形思想应用策略探究

摘 要：在处理某些立体几何问题时，所给出的立体几何图形往往是较为复杂的，某些元素相互离散，其整体性不是太强。此时教师可以借助补形思想，按照补形技巧去对其做出教学。结合几何体化散为整、化难为易，在补形思想应用模式下给数学课堂的立体几何知识带来新的教学契机。文章探讨了立几补形思想在高中数学中的应用，并由补正方体、补长方体、补不规则几何体等方面展开探讨，结合传统数学中的“盈不足”思想，加强立几补形思想的应用。

关键词：立体几何;补形思想;应用探讨

一、 引言

补形法是立体几何题解题的常用方法，所谓补形法，它即是教师在教学时将一个图形往另一个图形上移，使其面积或者体积保持不变。之后，再重新进行拼接、得到新图形的一类过程。补形法重点在补，而它也巧妙地完成了立体几何图形的化归以及转换。教师可以将某些不规则的图形转化为规则图形，之后借助学生熟悉的方法对其做出解决。这样一来，学生的思维也真正被教师给激发出来了，他们会自主去探索立体几何知识的解题奥妙。

二、 立几补形思想应用意义

补形法就是将问题中的非规则、非特殊图形，通过一定的转化。添加一定的辅助线，使其变为学生熟悉的图形或者规则图形，结合隐含条件，变化数量关系得到明确答案的一类解题方案。对于补形法的应用过程来讲，教师可以将原图形进行分析，通过适当的立体几何补形，添以一定的辅助线，让题目变得更加简单。学生的思维会由补形法变得更为敏捷，在做立体几何题目时，学生通过认真地观察题目构成将其做出补形，这无形之中培养了学生的思维能力与解题技巧。对于某些立体几何图形而言，单凭抽象理解是无法搞懂题目解题关键的，但是结合补形法，却可以将其转化为较为简单的题目。结合立几补形思想应用，教師能够真正强化立体几何解题的趣味性，让学生在分析、验证过程中理解立体几何学习要点，扩充自我数学思维，在题目隐含条件探寻过程中真正找准立体几何题目突破的关键。

三、 立几补形思想应用实例

（一）巧借补形思想，补正方体

对于高中阶段的数学知识来讲，其中的某些立体几何知识是较为深邃的，学生在理解这些立体几何知识时也往往难以对其进行突破。对此，教师在教学时要借助某些新的教学观念，由整体补形思想去对学生做出要求。学生在学习过程中会将其补充成完整的模型，利用正方体的原有性质将图中有关的元素展示出来。对于很多数学知识来讲，其中所给的条件大部分就是正四面体。教师可以将这些正四面体补成正方体，之后再要求学生去进行解题。或者将正方体截去四角得到正四面体，按照正四面体的性质去进行解题。这是因为正四面体的六条棱恰好是补形之后正方体六个面的对角线，这时在进行解题时学生也会抓住正方体的基本性质，对其六个面的对角线性质进行探讨。

【例1】 已知正四面体D-A1BC1的棱长为a，①求相对两棱的距离。②求外接球半径。③已知M、N分别是A1D和BC1的中点，求MN和面ACC1A1所成的角。

当解答出前两问之后，学生的解题思路也一下子被教师开阔了，他们都知道了解决正四面体题目的一些基本步骤。对于第三小问而言，教师可以先引导学生观察一下线段MN和CD的关系，得出MN是平行于CD的，显然直线CD和平面ACC1A1所成线面角大小为45°，所以MN和ACC1A1所成的角也必定为45°。

从这个题目可以看出，对于正四面体题目来讲，教师如果要求学生用常规解题法对其作出思考，对学生来说会有一定难度。这时教师可以借助割补法，适当转换一下题目中的相互条件。或者直接要求学生在补完图之后观察其实际结果，依照补形思想转化为正方体相关的问题，最终成功地完成自身解题效率的提升。

（二）巧借补形思想，补长方体

除了正方体之外，长方体结构同样也是高中数学中常见的。当一个四面体中的三组对棱长度都对应相等时，可以把这三组对棱理解为长方体的面对角线。之后按照长方体的性质，将三棱锥补成长方体，因为长方体相对面的对角线是相等的。反之，如果将长方体截去四个角，也可以得到三组对棱相等的四面体。

同样，当给出的条件中含有四面体，且四面体过同一顶点的三条棱两两相互垂直且不相等时，我们同样可以把这个四面体看作是长方体的一角，之后将其补充为长方体。

【例2】 已知三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，Q是底面上的一点，Q点到三个面的距离分别为1、2、3，求Q点到顶点P的距离。

在此题的解题过程中，由于题目已经给出了点到面的距离，并且三棱锥P-ABC的三个侧面是两两垂直的，所以这也很容易让人联想到建立坐标系，之后按照两点之间的距离公式对其做出运算。但是在解答该道题目时，教师同样也要关注建立坐标系和计算过程中可能会出现的一些障碍。将不规则图形补充为长方体，让学生借助长方体的对角线性质成功解题，完成解题效率的提升。

（三）巧借补形思想，补不规则几何体

在高中数学中，除了学生常看到的一些规则几何体之外，也常蕴含着一些不规则的几何体。对于这些不规则的几何体来讲，其解题过程相对复杂，学生在解题时也很容易出现一些错误。对此，教师也必须对不规则几何体图形做出特别关注。应用补形思想，将其补形成规则几何体，之后按照规则几何体的性质，再次对其进行运算。如此一来，解题过程都会变得较为轻便了。学生会在解题过程中依照补形思想去认真观察不规则几何体的基本特征，之后结合这些不规则几何体去进行解题。

【例3】 已知三个12×12cm的正方形被连接在一起，都按连接相邻两边中点的直线剪裁成A、B两片（如图1），三个正方形共剪裁为6片，然后把这6片粘在一个正六边形的外面（如图2），然后折成一个多面体（如图3），求该多面体的体积。

在这道题目的解题过程中，教师将不规则的几何题补充成学生容易吃透的规则几何体。这也常是不规则几何体与规则几何体的连接要点，应用补形思想去解决不规则几何体的某些立体几何问题，会让解题过程变得更加简单。

（四）巧借补形思想，做好联系补形

某些立体几何题目单看起来似乎毫无突破口，但是通过一定的联系补形，教师却可以将这些立体几何图形变为学生能够认识的基本图形。之后在联系图形性质的同时，将某些晦涩难懂的题目以简单的方式呈现出来。学生在逐渐解题过程中会培养一定的学习信心，它也完成了原有题目教学的突破。

教师在做好联系补形之后应要求学生在课下做好例题整理，将自己遇到的某些立体几何补形题目做出归纳，完成解题过程的简单化。

四、 结语

一些困难的立体图形往往是另一个更完整立体图形的一部分，如何将其恢复原状就显得十分重要。在立几补形思想应用模式下，教师需关注图形的化归整理关系，结合学生经常遇到的一些立体几何题目，借助补形思想，转化为正方体、长方体、规则几何体中的应用，将原本复杂的图形变得更加简单，结合某些隐藏条件让学生开阔自我视野。学生会在补形思想应用模式下寻找到立体几何题更加简单的解题模式，这对于解决立体几何题目来说是十分重要的。

参考文献：

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[3]华腾飞.补形巧解立体几何题[J].数学教育研究，2015（1）：36-37，9.

[4]梁文强.补形法：解决立体几何试题的利器[J].数学通讯：学生阅读，2016（7）：37-39.

作者简介：

郭扬文，浙江省金华市，东阳市第二高级中学。