着眼于初高中衔接的初中数学教学探讨

【摘要】本文基于初中教学的视角，针对初高中数学衔接教学存在的问题，提出三点教学建议，认为初中数学教师要面对差异，着眼于知识衔接、自主学习、运算能力等薄弱环节，合理把握衔接教学的契机，以有效提升数学核心素养，为学生衔接好数学学习打下基础。

【关键词】初中教学 初高中数学衔接 核心素养

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）37-0130-03

初高中数学课程标准、课程内容、教学方式等相比，初中数学教学内容表现为“浅、少、易”的特点，通过讲慢、讲细和一定量知识反复训练，可容易使学生在考试中获得高分。因此并没有深入地探讨解题思路“怎样想”、思维引导“应当怎样想”，认为“会用就可以了”，学生的数学思维水平多停留在经验层面。高中数学教学内容表现为“深、广、难”的特点，且内容多，但课时却没有增加，因此教学节奏快、多讲方法，需要学生学会融会贯通，通过典型例题以习得一类题型的解法。与初中相比，对数学思维的要求可以说是一个突变，对数学能力的要求不亚于“爬陡坡”。怎样帮助学生更好地从初中过渡到高中呢？笔者结合自己初高中六年循环教学的实践经验，从初中教学视角谈谈自己的三点思考。

一、重视初高中数学衔接教学工作

（一）明晰初高中数学教材衔接情况

笔者对比发现，当前学生使用的初高中数学教材之间并没有进行完美的衔接。单从数学课程内容知识这一个方面来看，初高中数学教材的知识有很多明显脱节的现象，内容的跨度加大，学生感到困难。如绝对值的概念，在初中七年級上册学习，新课标指出借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）。初中不讲含绝对值的方程（不等式）的解法，高中也没有专门的内容学习，但在教学中却直接使用这个内容。从教材编写来看，由于初高中数学教材的编写没有统筹好，或教材内容编写者与教学一线的教师认识不同，因此导致教学内容脱节。如初高中数学教师关注度最高、应用广泛的因式分解方法之一“十字相乘法”，2011年义教数学课标修订没有将它纳入，在高中数学也没有出现，但在学习中却直接当作必备技能使用。从认识角度变化来看，由于初高中数学有些知识联系隐蔽而深藏不露出现脱节。如初中八年级下册学习角的平分线的性质时，可以得到“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，角的平分线可以看作到角的两边距离相等的所有点的集合。学习线段垂直平分线时，可以把线段垂直平分线看成与这条线段的两个端点距离相等的所有点的集合。实际上，这是为集合的定义提供几何模型。高一数学必修一第一章讲集合时，也许学生可能只顾抱怨其抽象，但往往想不起来具体联系在哪，忘了早两年已相遇。从认知水平来看，初中教材本身有不少内容是要为高中数学学习埋下好的伏笔的，但却因把握不准而出现脱节。如人教版初中数学八年级下册19.2.3中的一次函数与方程、不等式，简称三个“一次”，三者之间的内在联系、相互转化的动态探究可为后续的高中学习一元二次方程、函数和不等式，简称三个“二次”奠定基础。如果初中数学教师能知道它们存在脱节的现象，那么就可以灵活地对教学内容进行优化组合，教会学生掌握方法，做好预设铺垫，也就有利于初高中数学教学内容自然过渡。

（二）精准处理衔接内容

初中数学教师要想从整体上把握初高中数学教材，那么就要立足于学生的现有认知，找准初高中数学教材的衔接点，并梳理好，从而对整个初高中数学教材内容有一个清晰的把握。我们深入研究就会发现，高中数学与初中数学大不相同，如高中的数学语言抽象化，学习起点高，即抽象化的数学语言对数学思维能力要求更高。教师要想解决初高中数学知识衔接问题，那么在教学中要适当拓宽初中数学内容的知识体系，适度拓展初中数学课程目标所要求的广度和深度。比如，在七年级下册实数的分类的教学中，教师除了要引导学生学会判断一个数是什么类型的实数，还要考虑到高中给出的这个概念更抽象，往往不用具体的数呈现，而是运用抽象的数学符号进行表达。这时，我们可以设计例题，对用字母表示数进行分类讨论，对实数的分类、大小比较及基本性质进行深化学习和巩固。比如：“在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根及立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？”又比如：“若a是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件。（1）-a<0;（2）3a>2a;（3）2a是偶数;（4）a+2>a;（5）-|a|<0。”实数的知识贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的学习是逐步加深的，因此也要注意合理把握难度，以有利于学生衔接过渡。

在数学教学中。教师要注重初高中衔接知识点间的联系和拓展，特别是教材内容断层的衔接处理要精准。这些内容学生往往似有过接触，处于似曾相识的认知状态，而高中数学的内容设置又默认初中学生已学习过这些内容。比如，高中数学的函数、数列、不等式，甚至导数、圆锥曲线，它们对代数式的变形要求比较高，必须要有强的因式分解能力，会用多种因式分解方法。可是初中课标仅要求会用提公因式法和公式法（直接用公式，不超过二次）与高中要求明显脱节，例如，高一必修一“证明函数f（x）=x3在定义域上是增函数”，就会出现学生无法顺利进行分解因式，因而解题受阻。若在初中的乘法公式教学中，学生学习平方差公式、完全平方公式后，教师能适当延伸扩展到立方差（和）公式，问题就迎刃而解了。因此，初中数学教师要精准处理衔接内容，为学生升入高中继续学习打好基础。

二、帮助学生养成自主学习习惯

（一）了解初高中数学学习差异

第一，初中高的数学学习方式有差异。比如课前预习，有些同学认为数学课不用预习，假如先预习看过知识点后上课就不想再专心听老师讲解了。在初中数学学习中，由于每个课时内容少，教学节奏慢，不预习也可以跟上教学。但在高中数学学习中，由于每个课时内容多，教学节奏快，预习或适当的超前学习很重要，它能使学生提前发现问题，带着问题去听课，提高听课的目的性，加深理解，提高数学学习效能。

第二，数学理解消化能力有差异。根据义务教育初中学段数学课程标准的要求，对数学定义、公式、性质等核心知识，学生只要掌握会用即可，课本教材中的数学知识难度不大，并且有机融入生活化背景，教学方式生动多样化，加之课时数比较充裕，在教法上很多初中数学教师喜欢讲练结合，大容量的习题训练可取得熟能生巧的解题效果，偏向题海战术。而高中数学教学容量大，抽象性强，模块内容编排规范严谨，加之课时数相对初中偏少，在教法上倾向于数学思想方法的培养。知识的发生过程对学生课后自主探究、巩固消化的能力来说是一种考验，如果学生仍然依据原有的数学学习方式就很难适应。

第三，数学迁移创新能力有差异。在初中数学学习过程中有很大一部分学生每当遇到问题时，往往缺乏思考意识，畏难情绪无时不在，更多的是等待老师的讲解分析，体现出对教师过度依赖，“独学、对学、群学”的数学问题解决能力往往比较弱，更谈不上自主、合作、探究学习素养的提升了，而这些能力和素养正好对高中数学过渡学习起到决定性作用。

第四，数学归纳总结能力有差异。高中数学学习注重对知识的理解记忆，学生能独立思考，学会运用“文字语言、图形语言、符号语言”进行数学表达，能够根据不同的题型触类旁通，提炼方法，“机械式”的死记硬背无法面对数学知识和数学思想方法的学习挑战，可见初高中数学学习方法的截然不同成为影响学生高中数学学习的一种无形障碍。因此，初中数学教师要引导学生认识到自主求知、自主质疑是高中数学学习必备的素养。

（二）培养学生自主学习

自主学习即学生以自主的方式进行学习。在初中数学教学中有意识地培养学生自主学习能力是实现初中数学学习顺利过渡到高中数学学习的关键途徑之一，高中数学教材内容多，但现实中又受课时的限制，不能随意增加课时，课堂讲的内容容量大、节奏快，有更多的知识需要学生去探索和掌握，需要平时的自学消化积累。从这个意义上讲，学生的自学能力决定高中数学学习的层次，但是自主学习习惯的养成又不是一蹴而就的。因此，初中数学学习阶段比传授知识更重要的是培养学生自主学习能力和引导学生自主学习。数学课本是学生获取新知的主要媒介，是数学教师培养学生自主学习能力的主要载体。教师在教学中要用好课本内容，通过“导”与“学”培养学生自主学习能力，这是一种减负增效的方式，因为自主学习的核心和基础是学会阅读和学会思考。比如，在学习上述三个“一次”中，可引导学生从函数的角度思考和分析三个问题：（1）2x+1=1;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。

第一步情境自学。创设问题情境让学生思考：（1）如何解一元一次方程2x+1=1;（2）当自变量x为何值时，一次函数y=2x+1的值为1？（3）从这两个问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？（4）动手画出一次函数y=2x+1的图象，确定它与x轴的交点坐标。

探究发现，从数的角度看，方程2x+1=1的解就是一次函数y=2x+1的y值为1时x的值;从形的角度看，方程2x+1=1的解就是一次函数y=2x+1的图象与y轴相交的点的横坐标。

第二步合作互学。引导学生共同阅读课本，开展合作探究，分析上述3个方程的异同点，观察函数y=2x+1的图象。发现三个方程的左边都是2x+1，但结果不同。从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取1，0，-1的点的横坐标0，-[12]，-1，也就是方程的解。也就是说，解这三个方程得到的解是函数图象上的纵坐标1，0，-1对应点的横坐标的值。从而激发学生深入思考：解方程ax+b=0（a≠0）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的函数值为0有什么关系？体会方程的解与图象对应点的坐标关系。

第三步展示激学。班内交流讨论回答：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式;求方程ax+b=0（a≠0）的解，就是一次函数y=ax+b的函数值为0时，自变量x的值;直线y=ax+b上纵坐标为0的点的横坐标x的值（与x轴的交点）。从而知道，一次函数的值为0所对应的x的值，其实就是方程ax+b=0（a≠0）的解。这样从函数的角度说出方程解的意义，学生就能较好地理解一次函数与一元一次方程的关系。

这样的引导就能较好地培养学生的自主学习习惯，从而促进学生变“学会”为“会学”。这是一个渐进的过程，如怎样阅读、怎样观察、怎样思考、怎样表达等，都需要教师有目的地按能力形成的规律因势利导地在日常数学教学中指导与点拨。

三、培养初中生的运算能力

（一）影响数学运算能力的因素

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“运算能力”界定为“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出数学运算是数学学科六大核心素养之一，数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决问题的素养。运算能力是学生学习数学的一个重要标志。初中数学与运算能力有关的内容一个是数的运算，另一个是式的运算。影响学生数学运算能力发展的因素，一是不能熟练准确地运用有关运算法则、运算公式、运算顺序;二是容易造成运算顺序错误的细节区分不仔细，如-32和（-3）2的区别，8÷9÷3和8÷3的区别;三是运算时书写不规范，跳步，丢三落四;五是缺乏检验和反思的习惯。学生运算能力与学生已有的认知和思维水平有关，也与学生的数学学习兴趣、习惯、意志力等有关。很多时候运算出错，不能只用一个词“马虎”或“粗心”进行归因总结，而是要分析情况找到真正的原因，之后才能采取补救措施。新课改后的初中数学配套习题较少，题目中已知数据较简单，多是基本运算法则的直接运用。加之不少教师将教学目标窄化为“会解题”，不注重算理分析，意识不到运算也可以“证明问题”，因此学生易产生“眼高手低”的思想。即使碰到一些计算稍复杂的题目时，很多初中学生的感觉是只要掌握方法就行。随着计算器、计算机等现代技术的飞速发展，教师和学生对计算过程的规范训练重视不够，运算能力自然而然弱化，因此出现会做但写不完的情形。运算功底不扎实会直接影响高中数学学习。在现实教学中，不少高中学生“题一看就会，一算就错”的无奈现象时常发生。比如，遇到求圆锥曲线方程或数列求和等运算量大、讲技巧时则吃不消。运算能力显然不是简单的计算，而是检验学生数学逻辑思维以及数学运算速度和准确性的直接体现。

（二）主动反思纠错，强化能力衔接

运算能力的培养讲究循序渐进，合理把握衔接教学的契机，激发学生提升数学运算水平的信心。

1.可从揭示公式本质意义设计运算教学

九年级是衔接教学的关键节点，其中一元二次方程的解法是学习高中数学一个非常重要的基石，方程是基于“式”的运算，是培养运算能力的最佳模型之一。比如，学习用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）这一节中求根公式的推导（配方、开方）。首先，它是一个让学生个体对一个公式（题目）进行完整推导（运算）的体验过程，但学生往往不够重视，其蕴含的初衔高的潜在价值亟待教师挖掘。其次，它可培养学生“步步有据”的运算推理意识，让学生明白运算不是凭空建立的;再次，它有助于学生鉴赏和理解求根公式x=[-b±b2-4ac2a]（b2-4ac≥0），这个看似简单的公式包含加、减、乘、除、乘方、开方六种运算，3个系数、6种运算简洁地联系在一起，和谐的公式内涵能激活学生跃跃欲试的运算状态。最后，它直接帮助学生运用公式解方程。如解方程x2-3x+2=0，方程已为一般形式，从中可直接定系数，a=1（注意不是0），b=-3（不要漏掉负号），c=2，有b2-4ac=（-3）2-4×1×2=1>0（负数乘方添括号），最后代入求根公式计算求解，并把求出的根化成最简形式。运用求根公式特别容易在方程的系数的正、负号上出现错误，因此，平时要注意引导学生正确对待运算中的错误，善于反思，“吃一垫长一智”，而不是简单地归结于“粗心”，从而提高运算水平。

2.可从改错纠错角度设计运算教学

在数学学习过程中，会不可避免地出现运算错漏，造成这些错漏的原因有多方面。在学生的身心发展过程中难免出现粗心大意，这时教师不必过于焦虑而想杜绝，应该允许学生试错，并给予学生具体的帮助，和学生一起分析错误的原因。哪些是会做而由于粗心丢分的？哪些是因公式记错而无法计算的？哪些是根本无法完成的？在查找原因中帮助学生实现新的认知平衡，通过纠错性作业以帮助学生纠错。例如：“已知a=1-[2]，先化简[a2-2a+1]，再求值。”化简过程中学生经常会错误地化简为“[a2-2a+1]=a-1”，没有很好结合“a=1-[2]”来思考“a-1”的范围。作为二次根式[a2]化简代表性类型题，要想避免此类错误发生，那么就得举一反三，以实例练习以纠错，引导学生灵活运用二次根式的性质，得出“[a2-2a+1=a-1]”，再依据a的大小把绝对值符号去掉。这样从纠错、改错的角度设计具有典型意义的题目，可以较好地训练学生的避错能力。

3.可从拓展学生运算视野上设计运算教学

在教学中，教师可用一题多解训练学生发散思维，减少出错。比如，解方程时，可以有针对性地添加用“十字相乘法”来解的题目，这也是培养学生运算能力的一个好办法。它既能训练学生数、式分解能力和计算的灵活性，增強方程同解变形的运算能力，又能培养学生批判性思维，让学生不仅能感悟方法的巧妙，而且还能从中准确判断运算的途径。比如，受过训练的学生一眼就能看出方程x2+x-1=0不能用“十字相乘法”求解。在学生能够接受的前提下多给几把解决问题的钥匙，让他们学得主动。“算”是数学不同于其他学科的特征之一，有意义的数学运算过程是一个磨炼意志的过程，是一个检验思维的过程，它能很好地锻炼人的韧性，使人细心。因此丰富运算的情感体验是学好数学的关键，也是激发学生学习数学热情的关键，为学生数学运算的核心素养发展打下坚实的基础。

落实初衔高数学教学是优化学生学习数学的一体化过程，必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。相信，随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的实施，正在修订的高中数学新教材内容将会增加必要的预备知识，衔接初高中数学。我们一线教师也要把握好初高中数学的关联性，精心施策、缓解反差、平衡过渡、顺利衔接。

【参考文献】

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[2]史淑莉.数学素养视阈下初高中数学衔接问题研究[J].数学教育学报，2017（8）.

[3]余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2018.

[4]李霞.中小学数学学习衔接的途径探究[J].基础教育课程，2015（2）.

【作者简介】韦鸿敏（1974— ），男，教育硕士，来宾市第二中学高级教师，广西师范大学基础教育研究院兼职研究员，研究方向为中小学数学教学。

（责编 李 唐）