谈变式训练对数学教学的影响

毛晓琴

[摘  要] 如何在一节课有限的时间内获得最大化的收益？要解决这个问题，应更深入地探究问题的内在规律，通过一题多解、变式训练、一解多用等方法不断提高学习效率，提升学生的数学思维. 文章从变式训练对知识的迁移、思维的发展与创新意识的形成三方面谈谈变式训练对初中数学教学的影响.

[关键词] 变式训练;知识迁移;思维发展

课堂作为教学的场所，是展现教师教学水平，发展学生思维能力的重要阵地. 怎样将知识、解题思路等进行系统的归纳与总结，让学生在有限的课堂时间内获得思维最大化的发展，是我们每个数学教师都应该关注的话题. 经实践证明，将习题由浅入深地進行拓展、延伸或变式训练，不仅能理清知识脉络，还能让学生充分感受解决问题的思路与过程，获得问题背后的规律，从而有效地提升学生的解题能力，拔高思维的高度，促使学生形成良好的探索与创新精神[1]. 本文笔者结合执教过程中的变式训练对数学教学的影响，谈一些粗浅的认识.

实现知识的正迁移

知识迁移有正负之分，正迁移指的是一种学习（或知识）对另外一种学习（或知识）的促进作用，一般指学生运用学到的知识来解决新的问题. 变式训练对知识的正迁移具有显著的促进作用，学生通过变式训练实现新旧知识的融会贯通，形成新的知识体系，避免机械式的死记硬背. 从知识迁移的规律来看，只有牢固地掌握基本知识与技能才能有效地实现知识的迁移，也就是基础越扎实，迁移效果越好. 因此，教师在课堂教学中应在学生对基础知识完全掌握的基础上进行变式训练，让学生在变式训练中逐渐实现知识的正迁移，缺乏理解性的变式训练不但无法实现知识的正迁移，还会出现负迁移的现象.

例1  （1）在一直线上任取两点A，B，可得线段______条;

（2）在一直线上任取A，B，C三点，可得线段______条;

（3）在一直线上任取A，B，C，D四点，可得线段______条;

（4）在一直线上任取n个点，可得线段______条.

方法一  根据图1可知，在一直线上任取两点可得1条线段，任取三点可得1+2条线段，任取四点可得1+2+3条线段……因此，若任取n点，则可得1+2+3+…+（n-1）=条线段.

方法二  当一条直线上有n个点时，每点与其余（n-1）个点构成（n-1）线段. 因此，构成的线段有条.

变式1：观察下图，回答问题：

（1）图2中有几个角？

（2）图3中有几个角？

（3）图4中有几个角？

（4）以此类推，假设一个角内有n条射线，请问一共有多少个角？

变式2：（1）观察下列图形，图6、图7、图8中分别有1个、3个、6个三角形，那么图9中三角形的个数是多少？以此类推，第n个图中三角形的个数是多少？

（2）请问在上述图形中会不会出现35个三角形的可能？如果有，请求出n的值;若没有，请阐述理由.

变式3：八个小朋友在一起互相握手，若两两相握，共握手了多少次？

这三个变式看似没有什么联系，其实问题的本质是一样的，背后有共同的规律，解题的思路与方法也如出一辙. 教师从最简单的线段数量关系出发，将不同背景的角的数量、三角形的数量以及两两握手的次数等问题放在一起，让学生由浅入深地进行思考与练习，学生在逐渐深入的变式中产生知识的正迁移，即强化了对这部分知识的理解程度，又达到了拓展思路的作用.

实现思维的发展

学生思维的发展主要体现在对问题考虑的宽度、广度以及周密程度，具体表现在能否分析出问题的前因后果. 为了增强学生对知识的掌握与运用程度，教师可抓住变式训练的契机，培养学生的思维能力，让学生在变式训练过程中形成周密、严谨、宽阔的思维，鼓励学生不要将目光仅仅停留在事物的表面，而要深入理解事物的内涵，起到触类旁通的成效. 因个体差异性的存在，教师在变式训练中还要兼顾各个层次学生的水平，由浅入深地进行引导，让学生从不同角度去思考、分析问题，让每个学生的思维都得到一定的发展.

例2  已知关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x<1，请问：a的取值范围是多少？

变式1：关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x>1，请求出a的取值范围;

变式2：关于x的不等式ax+a<3x+3的解集是x<-1，请求出a的取值范围;

变式3：请求出关于x的不等式ax+a<3x+3（其中a≠3）的解集.

遇到含有参数的不等式，首先要分类讨论其未知数系数的正与负，本题的变式训练，可以让学生明晰解决问题时要会区分题干的条件与适用范围. 这种训练方式既深化了知识的理解度，又有效地促进了学生的思维成长. 学生在变式训练中从各个角度去观察与分析题中的数量关系，让思维变得更为流畅、丰富. 此过程要特别注意学生的积极性与参与度，俗话说“好学生都是鼓励出来的”，教师需要在引导与鼓励中激励学生燃起智慧的火花，培养学生产生推理、转化和求同存异的思维能力[2].

实现创新意识的生成

爱因斯坦说过：“比知识更重要的是人类的想象力，想象力是促使知识获得进步的动力. 因此，丰富的想象力能推动知识的进步. ”随着教育的改革，数学教学方法的研究越来越倾向于将原来的机械训练转变为现在的主动学习，变式教学能帮助学生构建自主、合作与创新的模式[3]. 作为基础学科的数学课堂更要灵活多变、常革新，鼓励学生发挥独有的想象力，以一道题拓展出更多相似性或相关性的问题，可帮助学生更好地理解知识的内涵，培养学生的创新意识.

例3  若点E，F，G，H分别是四边形ABCD各条边的中点，若顺次连接E，F，G，H四点，可得到什么样的图形？请通过画图、猜想与观察来证明.

解析  如图10所示，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各条边的中点，连接AC，E，F分别是四边形的边AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF=AC;同理可证HG∥AC，HG=AC，所以EF∥HG且EF=HG，因此四边形FGHE是平行四边形.

变式1：顺次连接平行四边形ABCD各条边的中点得到的图形EFGH是什么图形？并证明.

变式2：顺次连接矩形ABCD各条边的中点得到的图形EFGH是什么四边形？并证明.

变式3：顺次连接菱形ABCD各条边的中点得到的图形EFGH是什么图形？并证明.

变式4：顺次连接正方形ABCD各条边的中点得到的图形EFGH是什么图形？并证明.

由以上几个变式可得以下结论：任意四边形、平行四边形、矩形、菱形与正方形的中点四边形分别为平行四边形、平行四边形、菱形、矩形与正方形. 为了深化学生对这部分内容的理解程度，教师可鼓励学生结合以上证明过程进行大胆猜想，提出新的问题，并尝试证明.

学生在教师的鼓励下，充分发挥想象力，提出各种问题并思考. 课堂学习氛围浓厚，学生对这部分内容充满了求知欲，每个学生都积极地思考同学提出的每个问题，并通过自己的探索发现四边形的对角线决定了中点四边形的形状. 学生在变式中开拓思维，展开想象，促使思维的发展与创新意识的形成.

总而言之，初中数学课堂教学过程中使用变式训练的教学，不但能给课堂带来一丝新的生机与活力，还能让学生在快乐的氛围中体验思维发展带来的成功，学生遨游于变化多端却又有规律可循的习题中，逐渐产生独立思考、勇于创新的学习能力. 因此，教师应在原题的基础上常常运用类比、变换、引申等丰富多样的问题拓展方式提升数学核心素养.？摇

参考文献：

[1]汤俭. 注重数学知识建构  组织变式教学[J]. 课程教学研究，2015（06）.

[2]石凤芹. 在数学教学中注重培养发散思维能力[J]. 现代教育科学：中学教师， 2011（07）.

[3]李德忠，赵同娟. 注重变式训练 提升思维品质[J]. 中学数学，2009（07）.