浅析教学实践中引入伴随矩阵的原因

摘 要：伴随矩阵是线性代数课程矩阵理论教学中的一个关键点，在教学实践过程中许多学生迷惑于伴随矩阵的众多性质，而忽略对伴随矩阵出现的原因及其作用的探究，抓不住学习的重点。本文从教学实践出发，分析了矩阵理论中引入伴随矩阵的原因，指出伴随矩阵的主要作用是由其基本性质可得到方阵可逆的三个充分必要条件，从而使得可逆矩阵的判定可以从方阵的行列式、方阵的秩的角度来考虑，且判别方法更加简单便捷。本文利用伴随矩阵的性质对可逆矩阵的三个充分必要条件进行了详细论证，并举例说明利用伴随矩阵来求一个具体方阵的逆矩阵的可行性不高，指出在矩阵论中求逆矩阵的主要方法是初等变换法。

关键词：可逆矩阵;伴随矩阵;行列式

中图分类号：O151.2 文献标识码：A

Abstract：Adjoint matrix is a key point in the teaching of the matrix theory in linear algebra.Many students are puzzled by the properties of adjoint matrix so that they lose sight of the reason of introducing adjoint matrix and the application of adjoint matrix.This manuscript analyses the reason of introducing the adjoint matrix in the theory of matrix.As a result，it points out that the key role of the adjoint matrix is that it brings out three sufficient prerequisites of the invertible matrix.Therefore，people can say whether a matrix is invertible from its determinant or its rank，which are easier and simpler than from the definition of the invertible matrix.This paper also gives the proof of the three sufficient prerequisites of the invertible matrix.And it points out it is impracticable to get the inverse of a matrix by its adjoint matrix.Therefore，the elementary transformations are used to get the inverse matrix.

Keywords：invertible matrix;adjoint matrix;determinant

伴隨矩阵是线性代数教学中的一个难点，这是因为伴随矩阵具有多个比较常用又容易记错用错的性质。正是因为其性质比较多，初学的学生很容易陷入这些性质的证明与相关习题中，从而忽略了对引入伴随矩阵的原因和它的主要作用的探讨。可逆矩阵是线性代数矩阵理论中的重要内容，在教学实践中伴随矩阵的首次出现和可逆矩阵紧密相连，伴随矩阵对可逆矩阵理论的学习起着重要作用。本文主要讨论了伴随矩阵在可逆矩阵理论中的作用，基于教学实践指出在线性代数中其所起的主要作用是用来推导矩阵可逆的三个充分必要条件。这个观点对于初学者学习矩阵理论有一定的意义，可使初学者分清主次，认识到伴随矩阵的引入是起一个辅助作用，而学习的主要对象是可逆矩阵。

一、可逆矩阵的定义

定义1：n阶方阵A称为可逆的，如果存在方阵B使得：

AB=BA=E（1）

其中E是n阶单位矩阵。此时，记B=A-1，称之为A的逆矩阵。

分析1：在可逆矩阵的定义中，若要证明某方阵A是可逆的，需要证明两件事情：

（1）AB=BA （2）AB=E或BA=E

分析2：用定义1直接求一个具体方阵的逆矩阵很困难。这是因为如果没有其他附加条件，单纯用该定义求A的逆矩阵需要用n阶矩阵代进（1）式来一个一个尝试，对于高阶矩阵，这种可行性不大。

有没有判断一个具体方阵A可逆的更为简单便捷的办法？有没有可以直接求出A的逆矩阵的方法？为了解决以上两个问题，矩阵理论的教学中引入了一个新的工具，这就是伴随矩阵。

二、伴随矩阵的概念与基本性质

由方阵行列式的性质，可以得到如下所述的伴随矩阵的基本性质[1-4]。

分析3：观察伴随矩阵的基本性质（2）式，首先可以看到（2）式把方阵A、A的伴随矩阵A*以及A的行列式联结在一起;其次（2）式与可逆矩阵的定义式（1）非常相似，容易看到如果|A|≠0，那么（2）式就可以变为：

从而由可逆矩阵的定义（1）式可知A可逆，且：

分析4：引入伴随矩阵的最主要的原因就是得到定理1的结果，也就是说，引入伴随矩阵的目的是为了得到判断方阵是否可逆的充分必要条件。对于一个具体的方阵来说，这个判断方法非常有效，因为无论是求其行列式或者是求其秩都具有很强的可操作性。

也可由定理1得到A可逆。

从上例可以明显看出用行列式或秩来判断一个具体矩阵是否可逆非常有效且简单，那么对于非具体的方阵，有没有比用可逆矩阵的定义更简单的办法来判断其是否可逆？下面的推论3给出了答案。

四、由第三部分的结论证明：方阵A可逆存在矩阵B满足AB=E或BA=E

分析5：由定理1，可以得到另外一个判断方阵A可逆的简单方法，即下面的推论3。利用该结论判断一个矩阵是否可逆比可逆矩阵的定义要简单，在具体应用中，常用该结论来判断一个非具体的方阵是否可逆。

五、补充分析

在定理1中，由伴随矩阵的基本性质，可以得到在方阵A可逆的情况下，A的逆矩阵可以由伴随矩阵表示为：

这确实是求逆矩阵的一个方法，例如我们可以由此得到一些简单矩阵的逆矩阵。

由上面的例子可以看到，在利用伴随矩阵求一个具体矩阵的逆矩阵时，不仅需要求该矩阵的行列式，还需要求出m2个代数余子式，即使对于上例这个比较简单的矩阵，求其伴随矩阵的计算量就比较大且过程烦琐，因此用伴随矩阵求逆矩陣并不是一个理想的方法。

综上所述，在线性代数教学中引入伴随矩阵的主要原因是为了得到矩阵可逆的三个充分必要条件，即

存在矩阵B使得AB=E或BA=E

在矩阵可逆时，其逆矩阵可以由其行列式和伴随矩阵共同表示，这一结果在求一个具体可逆矩阵的逆矩阵时计算量较大，可行性不高。也正是因为如此，在矩阵理论中，求一个具体的可逆矩阵的逆矩阵采用的是更有可行性的初等变换法[1-4]。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明修订.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]张贤科，许甫华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社，2006.

[4]阳庆节，等.高等代数简明教程[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[5]游兴中，徐雪枫，颜小强，赵坚.伴随矩阵的两个性质[J].湘南学院学报，2014，35（5）.

[6]张丽丽.伴随矩阵的若干性质及其在解题中的应用[J].佳木斯大学学报，2015，33（5）.

[7]张平平.伴随矩阵的性质及其应用[J].教育教学论坛，2015，36.

[8]庄科俊.伴随矩阵的性质在行列式计算中的应用[J].榆林学院学报，2017，27（6）.

基金项目：国家自然科学基金项目：多复变中与群作用相关问题的研究（项目号：11671399）

作者简介：张会平，女，汉族，河南洛阳人，博士，副教授，研究方向：基础数学与高等数学教育研究。