行列式的计算方法

李兴

[摘 要]归纳总结研究行列式的各种计算方法，并包括具有特殊性质的一些行列式的计算方法，同时用例子说明了这些方法在解決类似问题中的应用。

[关键字]行列式、范德蒙行列式、三角形行列式、特征根

行列式与线性代数中其他章节联系紧密，对线性方程组理论的讨论起了很大的作用，在数学的许多分支中有着极为广泛的应用。行列式的计算方法很多且灵活多变，需要掌握很强的做题技巧和应对能力。现将积累的一些常用方法归纳整理如下：

一、定义法

应用n阶行列式的定义计算其值的方法称为定义法。

n阶行列式

=

这里 表示对所有n阶排列求和，由定义立即看出，n阶行列式是由n！项组成的。定义表明，为了计算n阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。一般情况下，计算行列式的值很少用此法，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况，因此法很常见且比较繁琐，故不举例说明。

二、三角法

利用行列式的性质把行列式转换成上（下）三角行列式来计算行列式的值，此法称为三角法。

上三角形行列式

根据行列式的性质可知，任意行列式都可化为上（下）三角形行列式，虽然这个方法手算特别难，但当n较大时，完全可以在计算机编程来计算。

三、造零法

代数余子式是比原行列式阶数较低的行列式，由此若某行（列）有尽可能多的零的可以利用此性质进行计算，且出现的行列式比原行列式阶数低，易于计算。通常情况下，把原行列式的某行（列）的所有元素与它的代数余子式之积的和等于行列式的值，而任意（一行）列的元素与另一行（列）的代数余子式之积的和等于零。即：