浅谈含参二次函数压轴题的解法

林东斌

摘  要：含参的二次函数压轴题，因其抽象、灵活多变而显得深奥，对学生综合能力要求很高，是近几年全国各地中考压轴题的必考类型之一。大多数学生对这类问题都望而生畏，找不到思维方向。其实，含参二次函数压轴题也有一定的解题思路，消参、数形结合、化动为定是解决上述问题的三大主要策略。

关键词：含参函数;消参;数形结合;化动为定

函数是初中数学的重要知识板块，所涉及的性质与数学思想方法多，所涉及的问题很广，综合应用性很强。特别是含参的二次函数压轴题，更是因其抽象、灵活多变而显得深奥，对学生综合能力要求很高，是近几年全国各地中考压轴题的必考类型之一。大多數学生对这类问题都望而生畏，找不到思维方向。其实，含参二次函数压轴题也有一定的解题思路，下面以广州市近几年中考压轴题为例，浅谈一下含参二次函数压轴题的类型及其基本思路。

一、消参

多参函数，就是函数解析式中包含多个参数，显然参数的数量越多越不利于问题的解决，因此“消参”是解决多参函数的重要策略。在实际问题中，通常可以根据所给条件找到两个参数之间的关系，将其中一个参数用另一个参数来表示，使多参变为一参，从而实现“消参”的目的，降低题目的难度。

例1（2020年广州市第25题）

平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax2+bx+c（0

（1）用含a的式子表示b;

（2）求点E的坐标;

（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为

+3，求y=ax2+bx+c在1<x<6时的取值范围（用含a的式子表示）.

分析：

（1）将点A坐标代入解析式可得b=-6a，得到抛物线G：y=ax2-6ax+c，将三个参数先变成两个;

（2）分两种情况讨论，由三角形面积关系，可得BE=CE+1，由对称轴为x=       =3，可求BC中点M的坐标（3，3），由线段的数量关系，可求EM=     ，可求解;

（3）此时抛物线G：y=ax2-6ax+c还有两个参数，要想办法继续“消参”，直到只剩下一个参数。

解法如下：

∵直线DE与抛物线G：y=ax2-6ax+c的另一个交点F的横坐标为      +3，

∴y=a（     +3）2-6a×（      +3）+c=     -9a+c，

∴点F（    +3，    -9a+c），

∵点D是抛物线的顶点，

∴点D（3，-9a+c），

∴直线DF的解析式为：y=6x-18+c-9a，

∵点E坐标为（    ，3）在直线DF上，

∴3=21-18+c-9a，∴c=9a，

∴抛物线解析式为：y=ax2-6ax+9a，

∵1<x<6，

∴当x=3时，ymin=0，当x=6时，ymax=9a，

∴0≤y<9a.

求出c=9a，得到抛物线解析式为：y=ax2﹣6ax+9a是本题的关键。

函数中含有多个参数是很难直接解决问题的，在初中阶段，通常可以笼统地认为多参便是消参的提示，看到多个参数就可以利用题目中给出的有效信息进行转化、消参，使得多个参数最后消成一个参数，让问题变得清晰，降低问题难度，从而进一步解决问题。

二、数形结合

抽象是函数的本质特征，也是很多学生感到函数问题难度较大的原因之一，对于初中生而言，函数的概念确实比较抽象，而通过画图，数形结合，可以让抽象的函数变得直观，让条件与问题变得明显。

例2（2018年广州市第24题）

已知抛物线y=x2+mx-2m-4（m>0）.

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点;

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上.

①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标;若不是，说明理由;

②若点C关于直线x=-      的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求

的值.

分析：

（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论;

（2）令y=0，∴x2+mx-2m-4=0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，∴x=2或x=-（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，∴y=-2（m+2），

∴C（0，-2（m+2）），

∴OC=2（m+2），

①通过定点（0，1）理由：如图，

∵点A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB=        =                  =     ，

在Rt△AOF中，tan∠OAF=       =        =      ，

∴OF=1，

∴点F的坐标为（0，1）;

②如图1，由①知，点F（0，1），

∵D（0，1），∴点D在⊙P上，

∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，

∴∠DCE=90°，

∵⊙P是△ABC的外接圆，∴点P在抛物线的对稱轴上，

∴点E在⊙P上，∴DE是⊙P的直径，

∴∠DBE=90°，∵∠BED=∠OCB，

∴tan∠BED=        ，设BD=n，

在Rt△BDE中，tan∠BED=       =       =      ，

∴BE=2n，

根据勾股定理得，DE=  BD2+BE2 =  5 n，

∴1=BD+BE+DE=（3+  5  ）n，r=     DE=      n，

∴     =                       =                 .

图像是函数的三种表达形式之一，它能形象地呈现出函数多方面性质。含参函数问题一般都比较抽象，直接根据题意无法理解其含义和厘清数量之间的关系，因此需借助图像让问题变得明显。

很难想象不画图能解出此题，通过图象易得三角形相似或者运用三角函数的知识来求定点。图像不需要很精准，但顶点、对称轴、开口方向、特殊点等关键要素要严谨准确，这样才能利用图像直观的性质巧妙地解决含参函数抽象的问题。

近几年广州市的函数解答题都没给出图形，需要学生自己动手画。所以在平时教学时要重视数形结合、强调在分析题目时画示意图，让学生参与动手画图、分析图象和使用图象，学会根据图象解决问题，让学生经历由数到形和由形到数的过程，感受数形结合的优越性。

三、化动为定

动态问题是数学经久不衰的经典问题，对数学基础及思维的灵活性有很高的要求。含参函数问题，本身就是动态问题。参数的变化自然引起函数的变化。然而万变不离其踪，含参函数的变化不是毫无规律可循的，它的运动也是存在轨迹的。找定点，化动为定，是解决动态问题的基本原则。

例3（2019年广州市第25题）

已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点.

（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）;

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.

分析：

（1）抛物线有最低点即开口向上，m>0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值.

（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y与x的函数关系式.再由m>0，即求得x的取值范围.

（3）如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线x=1时，y=-1-2=-3;x=2时，y=-2-2=-4

∴函数H的图象恒过点B（2，-4）

∵抛物线G：y=mx2-2mx-3

∴抛物线G过定点（0，-3），由对称性知

抛物线G过定点A（2，-3）

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB<yP<yA

∴点P纵坐标的取值范围为-4<yP<-3

满足条件的抛物线G有无数种情况，但不管怎么变化，抛物线G都恒过点A（2，﹣3），找到定点是此题的关键。

含参函数因为有参数的存在，看似是“动”的，但它常常与定点有关，所以求出定点、挖掘隐含条件对于解决含参函数问题非常必要。

消参、数形结合和化动为定是解决含参二次函数压轴题的三大主要策略。当然含参二次函数问题还经常要对参数进行分类讨论、运用“十字相乘法”对含参的一元二次方程进行因式分解等。

参考文献：

[1]广州市教育研究院.2020年广州市初中毕业生学业考试年报[N].广州：广东教育出版社，2019.

（作者单位：广东第二师范学院广州南站附属学校，广东   广州   510000）