积累经验悟思想 丰富内涵提素养——《圆》教材解读与教学建议

○刘爱东

圆是小学“图形与几何”领域最后认识的平面图形，也是为数不多的曲线图形之一。“圆”被安排在人教版小学数学六年级上册第五单元，是在学生初步掌握长方形、正方形、三角形和梯形的基本特征及其周长、面积公式，并且已经直观认识圆的基础上进行教学的。从认识直线图形到认识圆这样的曲线图形，对学生而言是一种跨越与挑战。

从教材的内容结构来看，这部分内容分为四个板块：第一板块，认识圆的基本特征以及圆心、半径、直径，学会用圆规画圆，并利用圆设计图案；第二板块，探索并掌握圆的周长公式，了解圆周率的含义，应用圆的周长公式解决一些实际问题；第三板块，探索并掌握圆的面积公式，应用圆的面积公式解决一些实际问题；第四板块，初步认识扇形，初步理解扇形与所在圆的关系。通过本单元的学习，不仅要让学生积累认识图形的学习经验，还要让学生感受与体悟转化思想、极限思想等数学思想方法，增强空间观念，发展数学思考，提升核心素养。

一、教材解读

1.紧密联系生活实际，认识圆的特征。

在平面几何中，圆的定义是“平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合”，如何化抽象的定义描述为适切学生知识水平和接受能力的直观感知，新教材从三个方面引导学生进行数学化的加工。

（1）基于生活经验，抽象数学图形。

教材通过引导学生观察日常生活中的圆形物体，激活学生已有的关于圆的认知经验，再用“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，鼓励学生利用圆形茶杯盖、圆柱形物体、三角板上的圆孔等工具自主画圆，初步感知圆的基本特征。考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，教材同时给出了圆规画圆的提示，引导学生探索并掌握用圆规画圆的基本方法，同时在学生交流体会中引出圆心、半径和直径的概念。接着，让学生在纸上用圆规画几个大小不同的圆，进行折一折、画一画、量一量等操作，在探讨直径、半径等特点的同时，进一步熟练掌握用圆规画圆的方法。

（2）通过针对性操作，探索并发现圆的特征。

“圆，一中同长也。”这是《墨子》中对圆的定义。即只要确定了中心和半径，圆的位置和大小也就确定下来了。圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小，这一事实在以前的教材中没有明确指出，但实际上学生在用圆规画圆操作的过程中，已经在自觉应用了。因此，新教材在引导学生“用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着直径折一折、画一画、量一量，会有什么发现”的操作探索中，用“圆的中心位置由什么决定？半径决定圆的什么”的问题引发学生主动探索并发现圆的特征。任意画圆意味着学生手中的圆大小各不相同，这就为得出一般性的结论奠定了基础，而折、画、量等既是发现特征的方法，也是验证特征的手段。

（3）开展图案设计，加深本质理解。

由于在“轴对称图形”相关内容中已经对圆的对称性有过比较充分的讨论，新教材不再单独编排圆的对称性的例题，只在相关练习中加以巩固，但增加了利用圆设计图案的内容。学生在模仿教材步骤设计图案的过程中，需要观察、思考这些图案由哪些图形组成、是如何组成的，需要综合应用圆心位置的确定、半径大小的确定、圆的对称性等知识。设计图案的教学，既可以帮助学生进一步熟练用圆规画圆的技能，促进对圆的特征的认识，又能让学生在用尺规画出图案的过程中，欣赏到数学的对称美、和谐美。教学中，还可以让学生自由创作更多的作品，加深对圆的特征的理解。

2.充实数学操作内容，探究圆的周长和面积。

（1）在实验操作中理解并掌握圆的周长计算方法。

教材从“要在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，分别需要多长的铁皮”这一学生熟悉的实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。引导学生通过绕、滚、围等策略，开展对圆的周长的操作测量。一方面，能使学生感受到方法的多样性和“化曲为直”的转化思想；另一方面，圆周长概念的内涵就在这样的过程中得以清晰化、直观化。在此基础上，教材通过“除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长”的问题，引导学生探究更为一般化的方法。通过“圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于……”启发学生从圆本身的特征去想办法突破。鼓励学生利用自制的、大小不同的圆形纸片，开展实验操作，并通过测量、计算、猜测和验证等探究过程，了解圆的周长与它的直径的比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。例1 是圆的周长计算的实际问题。第一个问题，求“这辆自行车的轮子转1 圈，大约能走多远”是直接根据公式求圆的周长。第二个问题，“小明从家到学校1 千米，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈”是应用圆的周长公式解决实际问题。

（2）在转化操作中理解并掌握圆的面积计算方法。

教材通过“圆形草坪占地面积是多少平方米”，引出圆的面积计算的必要性。考虑到圆面积公式的推导过程与其他多边形面积公式的推导过程存在较大的差异，特别是把曲线图形转化为直线图形所涉及的极限思想等，对学生来说不仅陌生而且过于抽象，为此教材一方面注意借助直观呈现转化过程，另一方面注意通过由简单到复杂的逐步变化，帮助学生逐步形成认识。教材首先引导学生把圆平均分成16 份，拼成一个近似的平行四边形，初步感受转化的方法。接着，结合呈现的32 等份拼图以及虚线长方形图，帮助学生认识到：分的份数越多，每一份就会越小，拼出的图形就会越接近于一个长方形，从而体会极限思想。接着，通过“这个近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么关系”，引导学生推导出圆的面积计算公式。例1 求“铺满草皮需要多少钱”，需要先求出圆形草皮的面积，再求出需要的钱数。例2 求“圆环的面积是多少”，教材通过插图帮助学生了解圆环的含义，理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。教材给出了两种算法，引导学生采用相对简便的方法解决实际问题。例3 是新教材增加的内容，它以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情境，直观清晰地提出了需要解决的数学问题──求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积。例3 给出一个特殊的圆半径，先解决特殊问题，在“回顾与反思”部分再讨论一般性的规律。

3.立足扇形初步认识，突出扇形与圆的联系。

扇形的认识是学习扇形统计图的必要基础，新教材把这部分内容由选学变为正式教学内容。教材呈现了三个名称中含有“扇”的物体，引出问题“什么是扇形”，把扇形这个数学名词与学生已有的生活经验建立联系，有助于激发学生的研究兴趣。然后结合图示，直接揭示了“弧”“扇形”“圆心角”等概念的含义。扇形的大小与圆心角的大小紧密相关，也与所在圆的半径大小有关。这些需要学生直观感知并理解，但总体要求并不高，例如，教材上只列出了两类特殊的扇形：半圆为弧的扇形对应的圆心角是180°，四分之一圆为弧的扇形对应的圆心角是90°。但也应该让学生认识到，扇形与圆密不可分，无论是与扇形有关的概念，还是画扇形、求扇形及扇环的面积，都离不开圆的基本内容。

二、教学建议

1.丰富学习素材，积累数学经验。

圆的定义是“平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合”。教学中，应为学生提供丰富的学习素材，通过对圆的素材的观察、比较和实际操作等直观的方式，引导学生逐步感悟圆的本质特征。细致观察，即通过引导学生观察生活中的圆形物体表面，找到圆，体会圆是由曲线围成的图形，直观把握圆的形状特征。细心比较，即通过引导学生将圆与长方形、正方形、平行四边形等进行比较，一方面可以把圆和其他图形一起纳入平面图形知识结构中，另一方面在比较中体会圆不是由线段围成、而是由曲线围成的图形。实际操作，即通过实际操作活动，经历圆的形成过程，激活画圆经验，感悟画圆方法的共同点。

圆心、半径和直径的教学，要充分利用学生用圆规画圆的活动体验，启发学生思考：用圆规一脚固定的那个点对于圆重要吗？这个点在所画的圆的哪里？圆规两脚之间的距离重要吗？在所画的圆中找一找，从哪里到哪里？是怎样的图形？以突出半径是从圆心到圆上任意一点的一条线段。在此基础上，再让学生寻找直径，理解半径与直径之间的关系。

2.经历探究过程，感悟数学思想。

圆的周长和面积计算公式，不仅仅是重要的数学结论，更具有探究价值。教学中，要充分展开探索公式的活动过程，重视学生在活动过程中对于数学思想的感悟和数学活动经验的积累。

（1）转化思想。

如圆的周长计算公式探究中，用卷尺、皮尺或绳子直接沿圆形物体绕一圈，把圆形物体在尺子或绳子上滚一圈，量出长度等。这样的操作本质是把难以测量的曲线转化成可以直接测量的线段，体现了化曲为直的转化思想。在圆的面积计算公式探究中，把圆等分后转化成长方形来研究，同样体现了化曲为直的转化思想。

（2）极限思想。

教学圆的面积时，把圆平均分成16 份后，可以拼成一个近似的平行四边形。如果继续把圆平均分成32 份、64 份……分的份数越多，每一份越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形。当把圆分的份数足够多时，就可以拼成一个长方形。教材中的虚线长方形表示的就是圆无限细分后所拼成的图形。图形虚化的原因，是因为实际操作中，只能是无限地接近长方形，而不是一个真正的长方形。只要无限细分下去，就能得到一个长方形。极限思想是学生第一次接触，因此，教学中要充分地让学生体会、想象、推理、感悟。

（3）符号化思想。

本单元涉及用字母表示的地方很多，比如用字母表示图形的名称，圆心、半径、直径的名称，半径与直径的关系，圆周长计算公式和面积计算公式等。系统地运用数学符号，可以简明地表达数学思想，简化数学运算或推理过程，使解题思路更清晰，提高解题速度和准确率。

3.感受知识联系，重视综合应用。

重视不同数学知识的综合应用，让学生感受数学知识的内在联系，有利于不断提高解决实际问题的能力。例如，在认识圆的特征时，可以让学生综合应用平移和数对确定位置的方法，体会圆心决定圆的位置的道理；用圆设计漂亮的图案时，可以把正方形、长方形、三角形等图形一起加入，既丰富了图案的内容，又能提升对圆的特征的感悟；在学习圆的周长公式后，可以让学生列方程解答已知周长和直径或半径的实际问题。在学习圆的面积计算后，让学生综合应用学过的平面图形的面积公式，计算简单的组合图形的面积。这样的安排，对于培养学生综合运用数学知识和方法解决问题的意识和能力，是非常有益的。

4.历史现实结合，凸显文化价值。

本单元涉及数学史的知识相对较多，在教学时，要充分利用数学史的魅力，激发学生对数学的情感。比如，学习圆的周长后，教材安排了关于圆周率的数学史。从某种意义上来说，对于圆周率的认识过程，就是一个人类不断获取圆周率精确数值的过程。教材通过“你知道吗”介绍圆周率的研究历史时，突出了中国古代数学家的贡献。教学时，不仅要让学生受到爱国主义教育，也要让他们感受到数学家坚定的意志和可贵的探索精神。学习圆的面积后，教材又介绍了刘徽运用极限思想解决图形问题的史料。在具体的练习中，穿插了大量与生活密切相关的问题。通过这些内容的学习，学生既了解到古今中外数学家对圆的研究的伟大成果，又欣赏到了生活中美丽的圆，体会到解决与圆有关的一些现实问题的方法等。所有这些，都能让学生在厚重的历史与精彩的现实中，深切感受数学的文化价值。

资料存盘

1.《圆》课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在“学段目标”的第二学段中提出：

探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征，体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基本方法，掌握测量、识图和画图的基本方法；在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果；在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。

2.外国部分数学家关于圆周率的研究。

古希腊的阿基米德从周长着眼，得出圆周率介于两个同边数内接和外切正多边形的周长之间，通过计算圆内接和外切正96 边形的周长，得出中亚著名数学家阿尔·卡西在《关于弦和正弦》一文中，分别计算了圆内接和圆外切805306368 边形的周长，计算出2π=6.2831853071795865，使圆周率小数点精确到小数点后16 位。德国数学家鲁道夫于1596年，把π值算到小数点以后20位，在他去世前又算到了小数点后35位。在德文中，圆周率π又叫“鲁道夫数”。