危楼高百尺 手可摘星辰——兼评方爱英、倪婷两位老师《图形的运动（三）》一课

刘 松（特级教师）

众所周知，宋徽宗赵佶喜爱书画，常出题考画家。有一次考试，他出的题目是“深山藏古寺”。结果，一个画了四面高山、悬崖峭壁，中间有座寺院；另外一个画了峰峦起伏、松柏挺立，并有古寺一角；唯有第三位未画山也未画寺，他画了数节石阶通向小溪，一个和尚在挑水，古寺藏而不露反而跃然纸上。三位画家的水平，尤其是想象力立见分晓。想象力是一种高级的认识能力，是大脑对原有表象进行加工改造，形成新形象的心理能力，它渗透到学习活动的方方面面，尤其对创新、创造和发明有巨大作用。

想象力如此重要，数学学习对学生的想象力的培养是否不该也不能缺席？回答自然是肯定的。

小学数学教学中，有一个核心词与上述想象力颇为相关，就是空间观念。中华人民共和国成立以来，历次颁布的小学算术（数学）教学大纲中，最早出现“空间观念”一词的是1956 年印发的《小学算术教学大纲（修订草案）》。原文是：“在小学里学习几何教材，除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外，还可以发展他们的空间观念。”从此，“空间观念”就一直沿用至今。义务教育段的数学课程标准，核心词从6 个变为10 个，始终都有“空间观念”。

一般认为，数量关系与空间形式是数学研究的两大基本范畴，尽管现代数学的研究对象已经有了极大的拓展，但数量关系与空间形式仍是数学不可动摇的基本内容。培养、发展学生的“空间观念”作为小学数学“图形与几何”领域的核心或者说终极目的，一点也不为过。曹培英老师说：从心理学的视角看，与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象与空间想象。空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。空间表象是在大量空间知觉的基础上，形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。在认知心理学中，表象既是信息加工的成果，又是信息加工的过程。空间想象是指在事物或图形的影响下，在言语的调节下，头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合，产生新表象的心理过程。一般来说，从空间知觉到表象再到想象，这三种认知水平是递进发展的。显然，空间知觉是空间表象的基础，空间想象是空间表象的发展。空间表象“承前启后”，空间想象“至高无上”。相信，即将颁布的核心素养视域下的义务教育段新课程标准，一定也会对“空间观念”持续关注。

小学阶段的图形与几何领域的教学内容非常丰富。其中，图形的运动是其重要部分。小学阶段一共学习三种图形运动的方式：轴对称、平移和旋转。这三种图形的运动方式都是发展学生空间观念、培养想象力的好材料。三种图形运动方式，既有不同之处，也有相同之妙。如果学生掌握了图形运动的方法，理解了图形运动的本质，就可以在头脑中自如转换，空间观念就会得到良好的发展。

从学习难度而言，学生会感觉图形的旋转最难。所以，人教版教材安排在了五年级下册的第五单元，作为图形的运动（三）出现。学生学习该内容，如果有困难，大致会出现以下三类情况：一是有的学生根本想象不出图形如何旋转、以及旋转后的样子（尤其是“面”的旋转）；二是即使有的学生可以想象出来，但是画不出来（尤其是“面”的旋转）；三是有的学生即便画出来了，但是对是错，还是浑然不知。究其原因，何故？经过访谈得知，无外乎学生缺失了空间知觉、空间表象及空间想象力。于是，如何通过丰富学生的空间知觉和强化学生的空间表象来有效促进学生的空间想象，就成了本节课的重要任务。

虽然方爱英、倪婷两位教师的教学设计不尽相同，具体的教学中亦有许多待改进之处，但都比较好地做到了空间知觉、表象和想象三种认知水平的兼顾与递进。

方爱英老师的教学，自始至终秉承“想象先行、虚实相融”的理念，尽可能让学生先想象、再操作，不断地鼓励想象，丰富空间知觉；不停地搭建想象的支架，强化空间表象。

新课伊始，教师就创设学生熟悉的情境，借用动作直观，丰富学生的空间知觉。新课展开环节，首先认识旋转三要素之一的旋转方向，教师充分借用视觉直观，丰富学生的空间知觉……类似丰富学生空间知觉的做法还有很多，限于篇幅，不再赘述。但一节课如果仅仅停留在知觉层面，是远远不够的。空间观念的最终形成，空间表象是关键。“动手操作”和“发挥想象”都是形成空间表象的重要方式。在实际教学中，到底是让学生先动手操作，获得感性经验后，再让学生想象，还是先让学生想象旋转后图形的样子，再让学生动手操作进行验证？到底哪种方法更能体现价值？表象既是信息加工的成果，又是信息加工的过程。从这个意义上，孰先孰后，都是可以的。方老师选择了“想象先行”，贯穿课的始终。

按照方老师自己的观点，空间观念既有“实”的一面，也有“虚”的一面。本节课的“实”，指的是学生能用旋转的三要素描述图形的旋转，能根据描述画出旋转后的简单图形；“虚”指的是支撑学生理解和操作的空间想象能力。虚实相融，转换提升，方能有效实现发展学生的空间观念。所以，本节课的实践，虽然倡导“想象先行”，但丝毫也不否认动手操作的价值和意义，依然安排了大量的实践操作过程。方老师清醒地意识到了空间想象能力虽是“虚”的，但并不会凭空产生，一定需要实在的操作活动来丰盈，需要真切的空间表象来支撑。

倪婷老师的教学，更凸显空间表象“承前启后”的价值和作用。学生理解旋转的三要素是本节课的学习重点，是学生后续想象和画图的思维基础，必须切实掌握。学生对旋转中心的理解，是相对容易的，稍难理解的是旋转方向和角度。倪老师巧妙地运用了知识的迁移，在四年级下册《图形的运动（二）》的学习中，学生对轴对称图形和平移已有深入认识，尤其是平移，它与旋转在基本要素上有相通之处。平移有平移的方向和距离两个要素，旋转是否也有相应的要素呢？答案是肯定的。只不过旋转的方向不再是上下左右等多个方向，而是只有顺时针和逆时针两个方向；图形旋转时，图形上每个点走过的距离不一样，所以用角度来统一表示更合理，这样从平移的两要素轻松过渡到旋转三要素，不仅降低了学习难度，更重要的是让学生清晰地建构了旋转三要素的表象。

针对学生画“面”旋转时的难点，倪老师首先强化线段旋转的表象，然后以线段旋转作为桥梁，引导学生把“面”的旋转分解转化为线段的旋转，从而有效地搭建起了思维的支架。

如此信息加工的过程，也成了信息加工的成果，在学生头脑中留下了“面”旋转的深刻表象。有了该空间表象的支撑，学生再遇到其他“面”的旋转时，就有了思维的抓手，就可以轻松地表征。

强化空间知觉和表象，促进空间想象，倪老师的课堂，还有一处值得点赞。就是在练习环节，把轴对称、平移和旋转三种图形的运动方式进行了对比，通过视觉直观，让学生透过现象看本质，三种图形运动的运动方式虽然不同，但都拥有运动前后图形大小不变，只是图形位置变了的属性。而深刻知觉了这一共同属性，形成表象，不仅让学生感悟了图形运动的本质，还会极大地提升学生的空间判断力。

当然，两位教师的教学还略显传统，不够开放和包容。如果课前能充分了解学情，然后以学定教，适当“留白”，相信一定可以上出结构更优化的课堂。但即便如此，两位教师的目标定位及教学导向均值得肯定，尤其是两位教师运用不同的手段，丰富学生的空间知觉、强化学生空间表象的做法，更值得点赞！因为，只有学生的空间表象丰富了，学生的空间想象才可能多彩起来。

李白有诗云：危楼高百尺，手可摘星辰。诗仙写诗，不仅诗风豪放，想象丰富，还蕴含着朴素的科学道理。试想，危楼若是不足够高，何以手可摘星辰？所以，图形运动的教学，乃至整个图形与几何领域的教学，教师都应尽量且充分地积累和强化学生的空间表象，学生才可能摘到空间观念的“星辰”。