相关矩阵的Hadamard乘积不等式的奇异条件

0 引言

命题1[1-2]设相关矩阵R∈H+(m),A∈H+(m)则：

s1(R)=R∘R-2(R-1∘R+I)-1≥0；s2(R)=R-1∘R+I-2(R∘R)-1≥0

(1)

2(A∘I)(A-1∘A+I)-1(A∘I)≤A∘A； 2(A∘I)(A∘A)-1(A∘I)≤A-1∘A+I

(2)

文献[1]认为，命题1应用矩阵理论的证明是很有意义的. 利用矩阵证法推广Styan矩阵不等式(1)～(2)[3-5]，得到：

(A∘I+B∘I)(A-1∘B+B-1∘A+2I)-1(A∘I+B∘I)≤A∘B(A,B∈H+(m))

(3)

(A∘I+B∘I)(A∘B)-1(A∘I+B∘I)≤A-1∘B+A∘B-1+2I(A,B∈H+(m))

(4)

文献[6-7]给出了式(3)～(4)在半正定矩阵上的推广：

(5)

(6)

以下称式(3)～(4)、式(5)～(6)是互为正逆向的矩阵不等式. 由于相关矩阵的奇异与否对多元统计而言至关重要，文献[1]给出了如下命题：

命题2[1]设相关矩阵R∈H+(m)，则s1(R)奇异的一个充分而非必要的条件是R-I至少有一行元素全为零.

文献[1]以下面的例子来说明命题2给出的结果仅是s1(R)奇异的充分而非必要的条件.

对于矩阵不等式A≥B，本研究总约定使矩阵A-B=0(或等价于A=B)、行列式det(A-B)=0的充分必要条件分别称为矩阵不等式A≥B的等式条件、奇异条件. 本研究首先讨论半正定矩阵的矩阵不等式(5)～(6)的奇异条件；再应用奇异值分解，得到了两个正定Hermitian矩阵的Styan型矩阵不等式的等式条件和奇异条件.

1 预备知识

由文献[2, 4, 8]知, 对阶数相容的矩阵A,B,C,D总有：

(A⊗C)(B⊗D)=AB⊗CD

(7)

(A+C)⊗(B+D)=A⊗B+C⊗B+A⊗D+C⊗D

(8)

(A⊗B)+=A+⊗B+, (A⊗B)H=AH⊗BH

(9)

(10)

(11)

引理1[9]设A∈Cm×n, 则：

(A+)+=A,A+H(=(A+)H)=(AH)+,A+=(AHA)+AH

r[ω1(X,M)]=r[(I-MX(MX)+)X],r[ω2(X,M)]=r[(I-XX+)MX]

(12)

ω1(X,M)奇异⟺r[(I-MX(MX)+)X]

(13)

ω2(X,M)奇异⟺r[(I-XX+)MX]

(14)

证明由I-XX+,I-MX(MX)+都是Hermitian幂等的及引理1得：

ω1(X,M)=((I-MX(MX)+)X)H(I-MX(MX)+)X≥0

(15)

ω2(X,M)=((I-XX+)MX)H(I-XX+)MX≥0

(16)

从r(A)=r(AHA)=r(AAH),A∈Cm×n及式(15)～(16)得到式(12)～(14). 证毕.

引理4设M,N∈H+(m),T∈Cm×n且M≥TN-1TH，则:

N≥THM-1T且r(M-TN-1TH)=r(N-THM-1T)

M-TN-1TH奇异⟺N-THM-1T奇异⟺r(M-TN-1TH)=r(N-THM-1T)

2 半正定矩阵的讨论

s1(A,B)=A∘B-(A∘BB++AA+∘B)(A∘B++A+∘B+2AA+∘BB+)+(A∘BB++AA+∘B)

s2(A,B)=A∘B++A+∘B+2AA+∘BB+-(A∘BB++AA+∘B)(A∘B)+(A∘BB++AA+∘B)

u1(A,B)=(A⊗B)Pm-(AA+⊗B+A⊗BB+)Pm(A∘B++A+∘B+2AA+∘BB+)+(A∘BB++AA+∘B)

u2(A,B)=(A+⊗BB++AA+⊗B+)Pm-(AA+⊗BB+)Pm(A∘B)+(A∘BB++AA+∘B)

则：

si(A,B)≥0 (i=1, 2)

(17)

r(si(A,B))=r(ui(A,B)) (i=1, 2)

(18)

si(A,B)奇异⟺r[ui(A,B)]

(19)

(20)

(21)

(22)

XHM2X=(MX)HMX=A∘B++A+∘B+2AA+∘BB+

(23)

应用式(20)～(23)和引理3及其证明得:

s1(A,B)=((I-MX(MX)+)X)H(I-MX(MX)+)X=ω1(X,M) ≥0

s2(A,B)=((I-XX+)MX)H(I-XX+)MX=ω2(X,M)≥0

即式(17)成立. 令：

由式(20)～(23)和引理1得

v1(A,B)=X-MX(XHM2X)+XHMX=(I-MX(MX)+)X

v2(A,B)=MX-X(XHX)+XHMX=(I-XX+)MX

于是由引理3及其证明可得:

si(A,B)=vi(A,B)Hvi(A,B)=ωi(X,M)≥0 (i=1, 2)

(24)

从式(7)～(11)及引理1～2知：

(25)

由式(24)～(25)得：r(si(A,B))=r(vi(A,B))=r(ui(A,B)),i=1, 2. 则可知式(18)成立，进而式(19)也成立. 证毕.

矩阵不等式有一个熟知的结论[11]:

M≥N>0⟺N-1≥M-1>0 (M,N∈H+(m))

(26)

设M=A-1∘B+A∘B-1+2I,N=(A∘I+B∘I)(A∘B)-1(A∘I+B∘I). 当A,B∈H+(m)时，由式(4)知，M≥N>0. 从式(11)、 (26)得：N-1≥M-1>0，即式(3)与式(4)等价. 同理知，式(2)中的不等式互为确定.

3 正定矩阵的讨论

(27)

(28)

s1(A,B)=A∘B-(A∘I+I∘B)(A∘B-1+A-1∘B+2I)-1(A∘I+I∘B)

(29)

s2(A,B)=A∘B-1+A-1∘B+2I-(A∘I+I∘B)(A∘B)-1(A∘I+I∘B)

(30)

由式(29)～(30)知：s1(A,B)≥0和s2(A,B)≥0互相确定.

定理2设A,B∈H+(m)满足式(27)～(30), 则：

r[s1(A,B)]=r[s2(A,B)]=r(M12)

(31)

式(3)等式成立⟺式(4)等式成立⟺QH(A-1⊗I+I⊗B-1)Q=diag(M11,M22)

(32)

s1(A,B)奇异⟺s2(A,B)奇异⟺r(M12)

(33)

证明由式(7)～(11)知：M=A-1⊗I+I⊗B-1∈H+(m2)，这样从式(27)～(28)和定理1的证明得：

(34)

由式(24)、 (30)、 (34)有：

(35)

等式(6)成立⟺QH(A-1⊗I+I⊗B-1)Q=diag(M11,M22)

(36)

s2(A,B)奇异⟺r(M12)

(37)

由式(11)可得：A-1∘B+A∘B-1+2I(=M),A∘B(=N)和A∘I+B∘I(=T)都是正定. 这样由式(29)～(30)和引理4知：式(31)成立. 因为式(3)～(4)和s1(A,B)≥0,s2(A,B)≥0是互相确定的，所以从式(31), (35)～(37)可得：式(32)～(33)成立. 证毕.

定理3设A,B∈H+(m)满足式(27)～(30)，且π(A,B)=(A⊗I+I⊗B)Pm-(A⊗B)Pm(A∘B)-1(A∘I+B∘I), 则:

r[s1(A,B)]=r[s2(A,B)]=r(π(A,B))

(38)

式(3)等式成立⟺式(4)等式成立⟺π(A,B)=0

(39)

s1(A,B)奇异⟺s2(A,B)奇异⟺π(A,B)的列线性相关

(40)