探寻“数学规定”的理与美

杜海良 沈俊杰

摘要：《含有中括号的三步混合运算》一课教学，在确保教学内容科学性的同时，又让形式化的数学符号活跃于课堂，使学生禁不住要探寻“数学规定”之理，括号的产生和使用自然而然：“衬衣外套”析层次，“哥哥弟弟”明顺序;应用深化价值，练习提升素养。同时，贯穿始终的简洁美、规范的指导和循序渐进的教学结构，使学生感受数学之美。

关键词：数学规定 结合符号 数学美 《含有中括号的三步混合运算》

一、课堂实录

（一）感受学习需求：经历“中括号”的产生

1.不含括号。

师（出示算式60÷6+4×2）这题会算吗？等于多少？

生18。

师咦，我怎么算出是28呀？大家看，60÷6=10，10+4=14，14×2=28。

生老师，你算的顺序不对，不是从左往右，而是应该先乘除后加减。

师原来如此，先乘除后加减是四则混合运算的一个法则，既然是法则，人人都要遵守，也包括老师。

2.添加小括號。

师还是这个算式，如果把得数18改成12，这个等式肯定是错误的，但有什么办法让这个等式仍旧成立吗？

生添一个括号，变成60÷（6+4）×2=12。

师添了括号，怎么算？

生先算括号里的加法，再除，最后乘，得数就是12了。

师括号在这儿起了什么作用？

生算的顺序变了。

师非常好！括号是一个特殊的数学符号，它可以改变运算顺序。括号里的必须先算，这也是四则混合运算的一个法则。

3.添加中括号。

师[指算式60÷（6+4）×2，并板书“=3”]还是这个算式，你能添上一个数学符号，使这个算式的得数等于3吗？

（学生独立尝试，教师巡视，指名学生上台板演。）

生60÷（（6+4）×2）=3。

生60÷[（6+4）×2]=3。

师（指着中括号）这是什么符号？

生中括号。

师也是括号，这里已经有了括号了，为什么还要再添一个？

生括号可以改变运算顺序。当一个括号不够用时，我们可以再添一个。

师[指算式60÷（（6+4）×2）]那为什么不像这样，继续添小括号，非要用一个新的符号呢？

生小括号已经用过了。

生两个小括号混在一起会搞不清。

师大家的意思是，小括号外面如果还要加一个括号的话，得换一种形式了，就像衬衣外面不能再穿衬衣了，得穿外套。这样，就产生了中括号。这样表示是不是更有层次、更清楚？

生（齐）是。

（二）丰富运算法则：明晰含“中括号”算式的运算顺序

1.明确运算顺序。

师现在这个算式，既有小括号，又有中括号，我们知道括号里的要先算，那到底应该先算哪个呢？

生先算小括号里面的，再算中括号里面的。

师是的，中括号是小括号的哥哥，并且还是个好哥哥，先算弟弟小括号里面的，再算自己里面的。谁来说说怎么算出3的？

生先算小括号里的，6+4=10;再算中括号里的，10×2=20;最后，60÷20=3。

师得数果然是3了，大家这个中括号添得真灵！现在我们知道了，当算式中既有小括号又有中括号时，我们应该怎么算？

生先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。

师这同样是四则混合运算的法则，我们都要遵守。

2.比一比。

师现在，大家对四则混合运算的顺序能搞得清吗？我们来试一试，（出示算式，如图1）说说这三道算式的运算顺序，再算出得数。

（学生分别说出三道算式的运算顺序与结果。）

师比较一下，这三道算式有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

（学生回答略。）

师是的，虽然数相同，运算符号也相同，但因为有了括号，改变了运算顺序，结果就不同了，这就是括号的作用。

（三）体验学习价值：用含“中括号”的算式解决问题

师括号的这个作用能帮助我们解决生活中的一些问题。比如——

（教师出示题目：小明带了210元钱，买8个网球后还剩42元，你能提出哪些可以解决的问题？学生回答略。）

师老师这有两个问题，你能列综合算式解答吗？

（教师出示：1.每个网球的单价是多少？）

生（210-42）÷8。

师这里为什么要用到小括号？

生必须要先算出已经用去的钱，然后才能除以8，算出每个网球多少元。

（教师出示：2.剩下的钱可以买几个这样的网球？）

生42 ÷[（210-42）÷8]。

师这里除了小括号，为什么还要用到中括号？

生要求还能买几个网球，需先求出每个网球的单价，就要先算后面，所以这时我们就需要中括号来帮忙。

师如果没有这个中括号呢？

生算式就不符合题目要求了。

师我们可以发现，中括号与小括号一样，都是为了解决问题，用来改变运算顺序。

（四）规范运算流程：明确含“中括号”算式的递等式运算规则

师要求剩下的钱还能买几个网球，算式有点复杂了，你会用递等式计算吗？

（学生独立尝试，教师指名两名学生上黑板演算。）

师先算什么？

生小括号里的。

师没轮到算的应该怎么样？

生照抄下来。

师中括号直接抄下来，还是写成小括号？

（学生交流。）

师大家的意见不一致。这样，我们一起请教身边的“老师”！打开课本，翻到74页，看看书上是怎么写的。

生还是写中括号。

师其实，两种做法都可以！不过，保留中括号能够表达更多的信息。看到这个中括号，我们就知道，它的上一步刚刚完成了小括号里的运算;我们还知道，下一步就要算中括号里的了。而且，这么写，不需要改变数学符号，所以也就不容易出错。我这么说，大家同意吗？

生同意！

师好，我们就这么做，请完成例3和“练一练”。

（学生独立练习后交流。）

（五）总结提升：反思本节课所学并完成针对性练习

1.回顾拓展。

师今天我们学习了“含有中括号的三步混合运算”。学到这，你还有什么不明白的或者有什么想法吗？

生有没有大括号？

（其他学生齐答“有”。）

生括号是怎么产生的，为什么这么写？

生要改变运算顺序就产生括号了。

生有的时候，在解决问题列出综合算式时，要先算加减后算乘除，就要用到括号了。

师的确，括号就是这样应“需”而生。而且，有时光有小括号还不够用，所以又有了中括号。那是不是有了中括号，以后所有的问题都能解决了呢？

生不是的，还有大括号。

师的确如此，以后的生活、学习中我们还会遇到需要用到大括号的情况。看来中括号也只是小括号的二哥，大括号才是他们的大哥。具体的，请大家打开课本，阅读《你知道吗》的内容。

（学生读课本。）

师同学们，一个括号的产生，其实也经历了漫长的发展历程，凝聚着人类无穷的智慧。

2.练习提升。

师（出示练习，如图2）我们继续来让括号大显身手。

二、教学评析

运算顺序“从左到右”和“先乘除后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中的括号。在小学数学教学中，这样的“数学规定”往往被生搬硬套;为避免教学中的知识性错误，课堂上引领学生进行深度思考的案例更是少之又少。杜海良老师执教的这节课，在确保教学内容科学性的同时，让形式化的数学符号活跃于课堂，使学生禁不住要探寻“为什么是这样”“是谁规定的”“还可能是怎样”，即“数学规定”之理，括号的产生和使用自然而然。同时，通过贯穿始终的简洁美、规范的指导和循序渐进的教学结构，让学生感受数学之美。

（一）括号之理

1.“衬衣外套”析层次，“哥哥弟弟”明顺序。

细品杜老师课上的语言：“小括号外面如果还要加一个括号的话，得换一种形式了，就像衬衣外面不能再穿衬衣了，得穿外套。这样，就产生了中括号。”学生在经历了中括号产生的过程、体会了中括号产生的必要后，这种清晰的层次感了然于心。这不仅仅是“含有中括号的三步混合运算”的教学，也很好地沟通了其他结合符号产生的必要性——说明所需的运算顺序，进一步明确了中括号在其中的位置与顺序。整节課也在分明的教学层次中展开。

“中括号是小括号的哥哥，并且还是个好哥哥，先算弟弟小括号里面的，再算自己里面的。”又一个比方，赋予了数学符号生命。既然括号的产生是运算顺序的需要，那么顺序的明确就是学习括号的关键。区别于语文中的标点符号，数学结合符号（如小括号、中括号、大括号等）与运算顺序有关。两个比喻，从符号到物，从物到人，形象生动地明晰了中括号的运算顺序。

2.应用深化价值，练习提升素养。

杜老师引导学生在解决实际问题的过程中理解运算顺序的合理性。在同一个问题情境中，因所求问题的不同选择，使用的括号也不相同，既与之前所学的小括号呼应，又为后续学习多步计算的解决问题埋下伏笔。“那是不是有了中括号，以后所有的问题都能解决了呢？”将学生的思维再次引向深入，让整节课有了整体感和结构性。

整体性、结构性是数学学科的本质特性。用整体建构的理念指导学生学习一系列的数学结合符号，创建出结构化的数学课堂，引领学生在完善知识结构、丰富学习感受、发展思维素养的过程中，逐步地从自主走向自为。这，既符合数学学科的本质，又符合儿童数学学习的规律，更符合信息时代素养教育的大方向。

（二）数学之美

1.贯穿始终的简洁美。

我国著名数学家华罗庚说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”括号的使用也有美感吗？这一点，杜老师早就洞察到了，并让这种美贯穿始终。“简洁美是数学永远追求的目标。”数学用空间形式和数量关系谱写了自然界和人类社会的内在旋律，以其简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，给人以美感。结合符号是有限的，随着解题步骤的增多，算式也会变得庞大，杜老师适时地引导学生：括号的使用不在于丰富，而是在于简洁。作为人类智慧结晶的数学再次与美密切联系在了一起。

2.规范的指导和循序渐进的教学结构。

递等式计算中，是否保留中括号引发了学生的争议。然而，杜老师包容的点评中，既肯定了学生的多样化表达，也进一步明确了保留中括号做法的有益之处，更为练习提升做好了规范表达的准备。

全课的设计结构也处处彰显美感。从“感受中括号产生的必要”到“明晰含中括号的顺序”“应用中深化价值”，再到“递等式计算”和“练习提升”，轮廓清晰，又丝丝入扣、紧密相连，体现了数学的基本思想和学科核心素养。不仅在教学内容本身把握得当，还在教学设计的结构之中力求向学生展现数学本身的魅力——高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，让数学核心素养的培养润物无声。