MPCK:基于实证精神的数学教学研究

倪媛媛

[摘要]MPCK是数学学科教学知识的简称，指数学学科知识（MK）、教学法知识（PK）以及有关数学学习的知识（CK）的综合与融合其中，本体性知识研究是MPCK研究的原点，儿童性知识研究是MPCK研究的关键，教学法知识研究是MPCK研究的核心。加强对教师MPCK知识的研究，如MPCK知识培训、教学观摩、经验反思等，能不断优化教师的教学，促进教师的专业成长，使学生在数学学习上得到更好的发展、

[关键词]MPCK;实证精神;数学教学;研究

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007-9068（2020）36-0030-02

MPCK是数学的核心知识教学基础，也是教师专业发展的重要内容。所谓MPCK（Mathematics Peda-gogical Content Knowledge），是数学学科教学知识的简称，一般认为是数学教师开展常规教学所具备的三类知识，即数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK）、教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称PK）以及有关数学学习的知识（Content Knowledge，简称CK）。MPCK这一术语最早源于美国学者舒尔曼提出的学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge，簡称PCK），通过这一概念使人们逐渐认识到教师教学工作的专业性、独特性。

基于MPCK视角，秉持实证精神研究小学数学教学，能让教师获得新的启示，进而改进自己的教学，使学生在数学学习上得到更好的发展。

一、本体性知识研究：MPCK研究的原点

对数学本体性知识进行深度研究，是MPCK研究的原点。对教师的教学来说，首要的问题是“教什么”或学生“学什么”的问题，这是课程本体论的问题，是教学中最为核心的问题。正如华东师范大学著名教育家张奠宙先生所说的“‘教什么永远比‘怎样教更重要”，因为“教什么”涉及教学方向的问题，而“怎样教”涉及教学方法、策略等问题。

数学课程本体论的研究，就是MK的研究。进行数学教学，教师要先研读数学教材，因为“教材是知识最为重要的载体”，知识是“镶嵌”在教材之中的。但在教学实践中，教师不能“唯教材”至上，对教材顶礼膜拜，在这一点上，叶圣陶先生说得好“教材只不过是一个例子”。这就要求教师进行数学课程本体论研究时，既要从教材出发，又不能为教材所束缚。因此，教师研究数学教材时要瞻前顾后，将分散在教材中的知识点串联、整合起来，形成“知识串”“知识块”“知识群”。

例如，统观苏教版小学数学教材，严格地说，《确定位置》在教材中出现了四次：第一次是在一年级上册，课题为《认位置》;第二次是在二年级下册，课题为《测定方向》;第三次是在四年级下册，课题为《用数对确定位置》;第四次是在六年级下册，课题为《用方向和距离确定位置》。从教材编排来看这一内容，发现一年级、二年级的教学主要让学生初步认识方位、和方向，为四年级与六年级的教学服务、奠基。认识到这一点，教师就要深入研究四年级《用数对确定位置》和六年级《用方向和距离确定位置》的内容，以及研究《确定位置》的编写意图。为此，我们组织教师进行沙龙研讨。通过深度研讨，教师达成共识：由于《用数对确定位置》与《用方向和距离确定位置》分别对应初、高中《平面直角坐标系》以及《极坐标系》的学习，所以从这个意义上来说，小学阶段《确定位置》的学习是为了初中、高中的数学学习奠基的。有了这样的整体性视角，教师的教学思路就更明朗、更清晰了。

基于MPCK视角的数学本体性知识研究，包括数学知识的核心概念、思想方法等。作为教师，要对数学知识进行整合、梳理、组织，淡化形式，注重实质，不仅重视显性知识的研读，更要深入发掘隐性知识。对数学本体性知识的研究，尤其要把握其中的数学思想方法，因为数学思想方法是最具活力的知识，具有迁移性、统领性、概括性等特点。通过研读数学本体性知识，使教师形成正确的知识观，从而更好地指导自己的教学。

二、儿童性知识研究：MPCK研究的关键

著名教育家卢梭曾经说过：“在人类的各种知识中，最有用而最不完备的就是关于‘人的知识。”同样，在数学教学研究中，最不完备的知识就是关于学生的知识。作为教师，必须基于学生的立场，从学生的立场、视角去统观数学知识，去研究学生、发现学生、引领学生，而儿童性知识研究是MPCK研究的关键。正如德国著名儿童教育家凯斯特纳所说的：“只有保持童心的人才是完整的人。”从某种意义上说，数学教学成败的关键，不仅在于对数学本体性知识的解读，更在于对儿童性知识的解读。

儿童性知识研究，不仅需要研究学生一般的年龄特征、心理特征，更需要深入到学生之中，研究每一位学生的认知特点、认知倾向以及迷思概念、相异构想等方面。同时，教师要主动地、自觉地把握学生的现实认知路径、可能认知路径，揣摩学生理解数学的历程，认识到学生数学学习的优势与障碍等。另外，教师还要考虑到学生的家庭背景、社会政治文化等外在因素的影响。只有这样，才能让数学教学与学生的“最近发展区”相契合，使学生以积极的态度投入到数学学习中去。

美国学者舒尔曼提出的学科教学知识主要由两个因素组成，即教师对知识的表征以及教师对学生具体学情的把握。在教学实践中，这两个因素是交织在一起的，相互关联、相互依赖、相互促进。当教师拥有较多的对学科知识的表征方式时，就越能把握学生的具体学情，了解学生学习的障碍、困惑等;反之，当教师能够把握学生的认知倾向、认知特点后，也就能形成多元化的知识表征方式。例如，江苏省著名特级教师柳小梅执教《用字母表示数》（苏教版小学数学五年级上册）一课时，运用“数学魔盒”将数学知识“包装”起来，以一种近乎魔术般的教学，让学生学习“好吃又有营养”的数学，获得了好的教学效果。在这节课中，学生对“变量”的理解是难点，尤其对“两种相关联的变量”的理解更是有一定的困难。基于此，柳老师通过“数学魔盒”中的“魔盒吐数”功能，让学生在两种相关联的变量之间寻找关联性。如学生输入数字2，“数学魔盒”吐出数字20;学生输入数字0.2，“数学魔盒”吐出数字2;学生输入数字3，“数学魔盒”吐出数字30-在多次输入数字、输出数字后，学生发现输入数字和输出数字之间的关系，即输出数字总是输入数字的10倍。在此基础上，柳老师引导学生用字母a来表示任意一个输入数字，用lOa来表示相应的输出数字。在这个过程中，学生体会到字母的本领，明白用字母表示数的作用和意义。上述教学，由于柳老师设计的教学符合学生的认知特点，所以能调动学生的数学学习积极性，激发学生的数学思考，引发学生的深度探究，催生学生的深度想象，进而挖掘学生的创新潜质，使学生积极主动地建构数学知识。

基于MPCK视角，我们认为小学阶段的MPCK具有以下特点：（l）数学性，即教师教学时要引导学生进行抽象、推理和建模等数学活动;（2）多样性，即在数学教学实践中，教师秉持不同的儿童观就会形成不同的教学方式。可以这样说，每一种对儿童的理解、解读都是一把钥匙，能打开神秘的儿童世界;从根本上说，每一种儿童观都只是提供了一种理解儿童的方式，意味着实践一种发展的可能性。因此，在数学教学中，只有探明与掌握学生的具体学情，教师才能具备多样化的知识，提高自己的教学水平。

三、教学法知识研究：MPCK研究的核心

传统的数学教学注重學生是否掌握了数学知识，且主要指对结果性知识的掌握。基于教学法知识，从教学法的角度来审视教学，我们不仅要考查学生对结果性知识的掌握程度，还要考查学生获得数学知识的合理性、合情性、合度性。具体而言，教学法知识包括教学观念、教学理论知识、课程知识等。

事实上，并不是每一位数学学习优秀的学生都能成为一名好的教师。如陈景润当年曾经在北京的一所中学任教，事实证明，教师这一职业不适合他。从某种意义上说，教师的专业发展取决于他（她）教学法知识的优劣。正如张奠宙教授所指出的那样，“教师在数学教学中要将学术形态的数学转化成教育形态的数学”。因此，如何有效地选择和组织教学内容与确定教学方法、如何激活学生的数学思维和催生学生的数学想象、如何激发学生的学习动机与评价学生的学习结果等，就成为在教学法知识视角下MPCK研究的主要内容。例如，《三角形的内角和》（苏教版小学数学四年级下册）一课，许多教师在教学中常引导学生进行实验探究。学生也很争气，运用不同方法探究三角形的内角和，如“撕角拼角法”“折角拼角法”“量角求和法”等，但无论运用何种方法探究，总有一部分学生的实验结果为180°左右，所以这些学生认为“三角形的内角和大约是180°”。于是，部分教师会运用初中的同位角、内错角等知识进行教学，将学生拉人并不适合的逻辑推理之中。事实上，三角形的内角和是一种超验性知识，一般来说，经验性知识适合运用探究式教学，而超验性知识适合运用验证式教学。因此，在《三角形的内角和》教学中，教师不妨先出示结论，然后放手让学生运用自己的方法去进行验证。如此，就能调动学生验证的积极性，不会出现上述教学中的尴尬了。

由于教学法知识的差异，面对同样的数学知识，不同的教师会有不同的教学设计，所以有的课堂教学平平淡淡，而有的课堂教学则精彩纷呈。也就是说，基于同样的教学日标，运用同样的教学素材，不同的教师会选择不同的教学法知识，从而形成对数学问题的不同表征，对教学方法的不同抉择。

总之，知识结构是教师进行有效教学的条件，其中数学学科知识（MK）是根基，有关数学学习的知识（CK）是关键，教学法知识（PK）是核心，只有将三者有机融合，才能真正创建丰富的教学场域。因此，作为教师，要不断地学习、不断地研究、不断地完善自身的MPCK，逐步建构自身最佳的知识结构。同时，加强对教师MPCK知识的研究，如MPCK知识培训、教学观摩、经验反思等，能不断优化教师的教学，促进教师的专业成长，使学生在数学学习上得到更好的发展。

（责编 杜华）