高三数学课堂的高效源于“用教材教”*——例谈改编教材例习题的几种手段

江苏省江浦高级中学 (211800) 徐爱勇

纵观近些年高考卷，每年试题中总会有相当一部分直接来源于教材例习题的改编、拓展、整合，有些试题甚至就是教材的原题.这一举措对推进课程改革起到了良好的“风向标”作用，同时还能够更加理性地引导教师在教学过程中要重视教材的使用，注重挖掘教材的内涵.“用教材教”这一观点应当成为全体一线教师达成的一条基本共识.“用教材教，而不是教教材”真正的意图是要求教师能够更加灵活地、富有创造性地使用教材.如果把教材文本呈现的内容看作是“露出海面的冰山一角”，那么“用教材教”就要求教师能够把“海面以下的巨大冰山托出海面”，让学生领略到“整座冰山”.

高效课堂是学生主动学习、积极思考的课堂，是师生互动、生生互动的课堂，是学生对所学知识主动实现意义建构的课堂.构建高效课堂业已成为全体同仁不懈的追求.基于此，笔者试结合自身的教学经验和体会，来阐述在高三复习过程中，改编教材例习题的几种手段，以期能够达到高效备考的目的，希望能够引起广泛地关注.

1.手段1——变换图形

案例1(苏教版数学2 P95第21题)已知M(-1,3),N(6,2)，点P在x轴上，且使PM+PN取最小值，求点P的坐标.

变式平面直角坐标系中，点A(1,-2),B(4,0),P(a,1)，N(a+1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过三点A,P,N的圆的圆心坐标是．

评析：本题主要考查的核心知识点为“求点关于线的对称点”.更多时候，对其变式多为“改变对称轴的位置”，从而增加其运算的容量.更有甚者，将对称轴直线的斜率定为1或-1，从而直接得出结果，将解题思索过程固化，偏离了解题教学的价值方向.

改变已有命题的条件或结论的表现形式，将原命题中的条件或结论间接化、隐蔽化，或改变问题的背景变换出新的命题的方法.本题变式的核心就是“将线段BN平移至PC，其中C(3,0)”即可，从而体现其“灵动性”.

2.手段2——以图思题

案例4(苏教版必修4P122例5图3-2-2)如图1，在半圆钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？

图1

图2

变式(1)(苏教版必修4 P121思考)在一个圆所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？

(2)(苏教版必修4 P132 第18题)如图2，在半径为R,圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M,N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.

图3

(3)(苏教版数学5 P19例4)如图3，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置是，四边形OACB的面积最大？

(4)在(3)的基础上，点B在什么位置时，线段OC的长取最大值？

评析：通过归纳类比、拓展思考、反思建构，做到举一反三，由此及类，由习题到模式，这是培养解题能力、抽象概括能力的重要手段.本组题在教材中均为核心题型，按照如此串联和变式，圆→半圆→扇形→矩形→三角形→面积→长度→……一目了然，从而增强了复习的针对性.

3.手段3——变量包装

变式(1)已知u≥1，v≥1且(logau)2+(logav)2=loga(au2)+loga(av2)(a>1)，则loga(uv)的最大值为，最小值为．

评析：有些问题看似平淡无奇，缺乏新意，但若我们对问题进行改头换面，或提炼，或抽象，或纯化，往往会有意想不到的感悟.这些感悟主要是把一个个零散的发现由表及里、由浅入深地集中和联系起来，再通过恰当的方法加以处理，化归为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法，这一构造思想一般超越了问题的原有意境，具有更为丰富的想象力和创造力.

4.手段4——直观想象

案例4(苏教版数学5 P56第6题)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证：a2,a8，a5也成等差数列.

变式(1)设Sn是等比数列{an}的前n项和，a2,a8，a5成等差数列，求证：S3,S9,S6也成等差数列.

(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4,S10,S7成等差数列，求证：a3,a9，a6也成等差数列.

评析：有些数学问题的已知条件或结论的外表形态与结构，让人容易想到相关的或相似的定义、定理、公式或图形等，如果我们善于抓住这一直觉，也许会从中得到有益启发.当我们解完题后，一个很自然的念头，立即会从脑海中掠过.该问题的逆命题是否成立？显然成立，解答过程从略.

再审视本题，还可以发现条件和结论之间的下标似乎存在某种对应关系.经过持续探究，可得到如下结论：设Sn是等比数列{an}的前n项和，Sm,Sn,St成等差数列，求证：对任意自然数k,am+k,an+k，at+k也成等差数列.

5.手段5——横向到边

案例5(苏教版数学1 P73第5题)汽车在隧道内行驶时，安全车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长(m)的积，且安全车距不得小于半个车身长.假定车身长约为4m，车速为60km/h，安全车距为1.44个车身长.(1)试写出车距d与车速v之间的函数关系式；(苏教版选修2—2P38页第4题，题目同上，增加了第2问)(2)在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？

变式将上两题进行整合，合并成一题，从而完成从“建模”到“解模”完的整过程.

评析：对数学习题的拓展常表现在解题方法层面上.这是一种联系性拓展，但数学教学中的联系性拓展不仅局限于此，还包括对教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一等.

不同的数学分支间具有普遍的联系性，有的显而易见，有的则较为隐蔽.数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，在这个过程中，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法产生较为清晰的认识.

6.手段6——纵向到底

案例6(苏教版数学1 P8例1)写出集合{a,b}的所有子集.

(苏教版数学1 P9练习1)写出集合{1,2,3}的所有子集.

(苏教版数学1 P8旁白)集合{a1,a2,a3,a4}有多少个子集？

(苏教版数学1 P17第8题)求满足{1，3}∪A={1,3,5}的集合A.

(苏教版数学1 P94第18题)已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是{1,4}，求此函数的定义域.

变式(1)集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少？

(2)求集合M={1,2,3}的所有非空子集中各元素之和.若M={1,2,3,4}呢？你能按此方法大胆尝试探索，发现一个具有一般规律的结论吗？

(3)若A∪B={a,b}，则这样的A,B共有多少组？若A∪B={a,b,c}，则结论又如何呢？若A∪B∪C={a,b}，则结论又如何呢？你能按此方法大胆尝试探索，发现一个具有一般规律的结论吗？

评析：我们把表面上不尽相同，而问题实质一致的若干问题有机地衔接在一起，形成问题串的方法.这种方法体现了在知识交汇点处命题的指导思想，也是各级各类考试中命制习题最常用的方法.

数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是要让学生理解蕴涵在这些知识中的丰富数学思想.数学思想方法对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性.例习题的教育价值是否能够充分发挥出来，完全取决于例习题中的数学思想是否被我们充分地挖掘与展现.

类似的题目和手段还可以举出一些.但本文的目的不是针对个别的题目，而是想纠正目前高三数学复习环节中的一些不良倾向.在高考复习中“用教材教”，以主干知识为核心，以教材例习题的拓展性、多解性、归一性、开放性和辨析性等特点精心做好高三数学复习工作，积极更新教学观念，只有这样才能真正地做到回到课本中去.