提取结论 妙证不等式*——谈高中数学课堂教学中发展学生逻辑推理素养

福建厦门外国语学校石狮分校 (362700) 石明荣

“逻辑推理”是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．在高中数学课堂教学中，如何发展学生“逻辑推理”素养，关键在于如何引导学生发现问题和提出问题，然后利用所学知识进行表述和论证，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神．笔者就如何在高中数学课堂教学环节，通过对几个常见结论的证明和提取，进一步解决一类数学试题，发展学生的“逻辑推理”素养，拓展学生的解题思维能力，仅供同仁参考．

1 发现问题，提取结论，提升思维品质

例1 (人民教育出版社(A版)数学(选修2-2)第32页，习题1.3B组第1题)利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

(1)sinx1+x(x≠0)．

证明：(1)设f(x)=sinx-x,x∈(0,π)，则f′(x)=cosx-1<0，所以f(x)在(0,π)上为减函数，从而f(x)

图1

如图1可知，当x∈(0,π)时，函数y=sinx的图象在函数y=x的图象的下方，从而当x∈(0,π)时，不等式sinx

(2)设f(x)=ex-(1+x)，则f′(x)=ex-1．当x<0时，ex<1，f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,0)上为减函数．当x>0时，ex>1，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上为增函数．从而f(x)≥f(0)=e0-1=0，当x≠0时，f(x)>0，不等式ex>1+x成立．

图2

如图2可知，当x≠0时，函数y=ex的图象在函数y=1+x的图象的上方，从而当x≠0时，不等式ex>1+x成立．

通过对以上两道课本习题的证明，学生容易发现问题，进一步提取出如下结论：

结论1当x≥0时，sinx≤x；

结论2当x∈R时，ex≥1+x；

通过对以上两道试题的证明，再次引导学生可以发现问题，容易提取到如下结论：

2 解决问题，发展学生“逻辑推理”素养，拓展学生解题思维能力

借助以上四个结论，可以快速解决部分与ex，lnx，sinx，cosx有关的不等式试题，达到事半功倍之效果，从而发展学生的“逻辑推理”素养，拓展解题思维能力．

例3证明下列不等式：(1)ex+cosx-3>lnx；(2)ex+cosx-1>xlnx．

例4任意x∈[0,+∞)，不等式eax+cosx-sinx≥2恒成立．求实数a的取值范围．

分析：不等式eax+cosx-sinx≥2中既有指数式，又有三角函数式，若能把三角函数化为多项式结构，结合上述结论，容易求得实数a的取值范围．

综上所述，教师通过引导学生挖掘“教材中的习题”，鼓励学生大胆发现、猜测，进一步提取出一些结论，根据所提取的结论，大胆地去尝试解题，从而发展了“逻辑推理”核心素养，拓展了逻辑推理能力．广大教师应尽力构建以核心素养为导向的数学课堂，将核心素养的培养渗透到数学的每一个环节，实现“素养型”课堂的转型．