提升直观想象素养的教学实践与思考*——以一节试题讲评课为例

江苏省无锡市第一中学 (214031) 黄 荣

《普通高中数学课程标准(2017年版)》把直观想象列为数学六大学科核心素养之一，体现了对培养直观想象素养的高度重视．本文以一节数学试题讲评课为例，给出了提升直观想象素养的教学思考．

笔者所在学校是江苏省首批四星级高中，生源基础相对较好，思维较为活跃．在高一的一次阶段性测验(内容包括立体几何、解析几何和解三角形)中，发现立体几何、解析几何的解答难尽人意，出现了不少意料之外的错误，这就引发思考.于是笔者将相关试题串联起来，设计了一节以培养直观想象素养为主题的试题讲评课，取得了良好的教学效果．

一、试题讲评课教学实录

师：这次考试，老师在批改立体几何和解析几何时发现了一些意外的错误，同时也收获了一些意外的惊喜，今天这节讲评课就专门讲讲这些问题．

1．一道立体几何中档题的意外错误

图1

(试题第20题)如图1，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，AB⊥AD．

批改发现，本题第1问错误很少，第2问学生主要有以下3种解法：

笔者任教高一两个班级，共95人．其中，34人采用解法一，5人做错；46人采用解法二， 35人做错；5人采用解法三，2人做错．解法二主要错误是未证明B、C、E、F四点共面，导致逻辑错误；还有一种常见的错误是，直接过E作BC平行线，但是未能说明EF为何在平面PAD内．

教学实录如下：

师：请同学们谈谈这道题目的解法．哪个条件是解题突破点？

生1：CE∥平面PAB．

师：线面平行通常有哪些转化方向？

生1：主要有两个方向，转化到线线平行，或者转化到面面平行．

师：很好，你提供了两种思路，具体说说看．

(学生先陈述了解法一，教师板书．讲解法二时学生有些脸红，说自己使用了解法二，但不知道为什么扣分．)

师：平面BCEF∩平面PAB=BF．这里B、C、E、F四点一定共面吗？

生1：哦，因为EF∥AD，BC∥AD，所以EF∥BC，所以四点共面．

师：非常好．还有其他解法吗？

(生2展示解法三，因为解法简洁巧妙，引发了学生的喝彩．)

师：请同学们小结比较下这三种解法的优劣．

生3：解法一较为繁琐，但容易掌握；解法二较为简洁，但是要注意需要证明四点共面；解法三体外延长比较巧妙，有点不容易想到．

师：总结很到位．对于解法二，不能仅凭视觉就判定四点共面．也就是说我们需要看图说理，但几何直观不能替代逻辑推理，解题还是要以题目条件为依据，以已有定理和逻辑法则为准绳．

(本题讲评时间8分钟．)

2．一道解三角形“送分”题的意外少解

图2

只看第1问，似乎很简单，在△ACE中，运用余弦定理列出关于AE的方程，求得AE=1或3．但事实却令人难以相信，竟有36名学生做错，查阅试题发现主要错误是少解．

教学实录如下：

师：(PPT展示少解的典型错误)学生过C作CH⊥AE于H，利用平面几何知识，求得AE=3．同学们知道错在哪里吗？

生4：少解．

师：少解？什么意思？不就一个解吗？

生4：不是的，还有一解AE=1．因为E也可能在C左方，此时高CH在△ACE外，AE=1．

师：非常好，这种解法主要运用的是平面几何知识，由于图形的局限性，容易漏解，有没有其他的做法？

生5：可以在△ACE中运用余弦定理，CE2=AC2+AE2-2AC·AEcosA，代入数据，解得AE=1或3．

(方法不当的学生恍然大悟，垂手顿足，感叹需要强化基本功．)

生6：解题需要数形结合，但有时所画的图并不是唯一情形，需要讨论．

生7：我对基本模型掌握还不够好，要注意熟练掌握常见的解三角形问题．

生8：要学会在复杂的图形组合中抽取基本图形．

师：同学们小结的非常好．我们需要看图解题，需要数形结合，但也要警惕有时图形会“欺骗”我们，要留心所画图形外的其他可能．

(本题第1问讲评时间共4分钟，第2问在讲评课第2课时进行了讲评．)

3．一道解析几何定值问题证明方法的探索

(试题第22题)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=16，直线l1：kx-y-k=0，且直线l1与圆交于不同的两点P，Q，定点A的坐标为(1，0)．

(1)求实数k的取值范围；(2)若P，Q两点的中点为M，直线l1与直线l2：x+2y+4=0的交点为N，求证：AM·AN为定值．

(学生口答，教师板书第1问的解答．)

师：请同学谈谈第2问的解题思路．

生9：联立圆C和直线l1的方程，消去y，得到关于x的方程，根据韦达定理得xP+xQ，进而求得中点M的坐标，联立l1和l2求出N的坐标，最后根据两点距离公式化简计算．

师：思路清晰，下面请同学们尝试计算出结果，并尝试探索有没有其他解法．

(6分钟过去后，部分同学还是没有算出结果，接下来老师和学生一起计算．)

师：同学们，这种解法是一种常规解法，思路清晰，可是计算量较大．此题主要是M坐标以及AM长度计算比较困难，还有其他解法吗？

师：很好，发现了定点A在直线l1上，用勾股定理计算AM，简化了运算．注意到A，M，N三点共线，还有其他解法吗？

师：同学们觉得如何？

(话毕，教室里响起了热烈的掌声．)

师：还有其他思路吗？

生12：因为直线CM与l1垂直，且过M，可得CM方程：x+ky-3-4k=0，与l1联立求得M的坐标．

师：很好，这种做法挖掘了圆的几何性质．

师：通过探索，同学们给出了这道题目的多种解法．通过解法的比较可以发现，解决解析几何问题，尤其涉及圆这样几何性质丰富的图形，要善于运用数形结合，充分挖掘几何性质，以达到简化运算、事半功倍的效果．同学们课后可以继续探索是否还有其他美妙的解法．

(本题给予了学生较为充分的计算、探索时间，讲评时间共计20分钟．)

4．一道以圆为背景的综合性最值问题

师：最后我们来一起研究下选择题最后一题，想一想怎么做？

(大部分学生毫无头绪，不知如何下手．)

师：处理最值问题的基本手段有哪些？

生13：可以转化为函数最值问题，还可以数形结合，利用几何意义求解．

师：说的非常好，那么这个题目涉及x，y两个变量，怎么办？

生13：消元，比如消去y．

师：怎么消？

生13：式子太复杂，好像难以操作．

师：对照本题进行思考，注意观察式子分子、分母的结构特点．

师：很好，请同学们再想想下面该怎么做？

(停顿一会儿，给基础相对较弱的同学一些思考时间)．

(本题讲评共用时间12分钟．)

二、几点教学思考

1．运用几何直观要谨防“图形失真”

借助几何直观思考数学问题，是一种非常重要的研究策略和解题手段．但是，也不能过于依赖几何直观，忽视对图形等价性、存在性和完整性等方面的考察，导致“图形失真”的错误．

以20题为例，部分同学过直线CE作平面β与平面PAB相交，并交PA与点F，在这里C、E、B确定一个平面，那么与平面PAB相交如何保证交线一定与PA相交却未能说明其存在性．在这里，仅凭视觉观察形之间的位置关系，却没有对其存在性进行的必要考察，从而似是而非，无中生有，导致错误．再以21题第1问为例，题目看似不难，但有不少同学漏解，源于对问题蕴含的多种可能性缺乏敏感，考虑不周，以偏概全．

因此，在教学时，一是要注重小结常见的“图形失真”的范例；二是要引导学生对图形的整体进行考察，挖掘问题蕴含的多种可能性；三是既要立足直观想象，又要优化解题策略，提炼更具通用性的思想方法．

2．给直观想象插上逻辑推理的翅膀

教学时，可以适时给直观想象插上逻辑推理的翅膀，把直观想象素养的培养推向思维纵深处．教师在教学过程中应注意使所研究的问题直观化，并借助恰当的直观模型，揭示研究对象的本质属性．但是，一方面，几何直观本身往往并不是目的，而是一种解决问题的手段；更为关键的是，缺乏逻辑推理所得的直观认识往往难以深入，甚至导致谬误．因此，直观想象素养的培养不能脱离与逻辑推理的融合．

如在讲评第20题的解法二时，可以反问学生给出四点是否一定共面，如何说明四点共面等．总之，直观想象和逻辑推理两者不可偏废，应该根据教学需要有所侧重，如此才能更为有效的提高和发展更直观想象素养的水平层次．

3．设计高水平数学任务，综合提升数学学科素养

数学学科六大核心素养并非独立存在，而是相互联系、彼此交融．因此要提升学生的直观想象素养的水平层次，还需要跨越数学学科不同分支，设计隐含多种学科素养的高水平数学问题和任务，这种问题和任务不仅需要直观想象，还必须综合使用多种策略、方法和工具才能加以解决．

如12题，要解决此题不仅需要几何直观、数形结合，更需要综合运用转化化归、整体化思想、函数思想等多种思想方法才能解决，这对高一学生而言既具有较大的思维挑战，同时也能契合学生的最近发展区，有利于激发学生的探究热情，培养学生的高阶数学思维，从而综合提升数学学科素养[1]．