数学活动——三角点阵中前n行的点数计算

王秋明

摘要：数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。在数学活动中，感悟数学思想，积累数学活动经验。

关键词：数形结合;模型思想;转化思想

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

观看一段视频影片---有关数学家高斯小时候课堂学习“解决从1+2+3+。。。+100”的故事。

师：今天我们就探究解决一个相关的数学问题---三角点阵点数和的探究问题。引出课题。

二、探究新知

活动一：出示三角点阵图形

1、学生观察图形特征，

2、完成表格的分析信息。（表1：各行点数和的统计，表2前n行点数和的统计）

意图：通过观察图形完成表格，培养学生利用表格分析问题的能力。

生1：叙述结果：1、2、3、...、n。

3、继续观察图形，完成表2

生2：展示结果依次：

师：好，那么前n行点数和如何表示呢？

生：1+2+3+4+......+n

师：好，由特殊到一般，我们可以类比上面几行的结果表示得出前n行的点数和的表示，在此基础上，你能提出哪些问题？

生1：前4行共有10个点，那么前10行共有多少个点？前20行呢？

生2：300个点是前多少行的点数和？生3：300个点是第几行，第几个点？生4：这个图形的探究问题能否与三角形的面积联系到一起呢？

师：大家提出的问题都非常有代表性，很有想法。尤其是最后一位同学，能够大胆的猜想：点数和的问题与三角形的面积关系。同时我们把这四位同学的问题板书到黑板上，稍后我们逐一取解决它们。

如何表示三角点阵前n行的点数和的问题，大家能否从一开始视频中小高斯的计算方法给我们一些启发呢？---（类比思想）

学生独立思考完成猜想、证明过程。（选生代表板演并叙述思路）

生：有特殊到一般，借助首尾相加的方法，归纳出：

师：非常好。师板书.大家通过将图形问题转化为数列问题，从数列的角度分析找出规律。在这个过程中渗透了数学上的由特殊到一般的思想。问题：我们能否从“形”的角度去考虑呢？

师提示：之前我们在研究几何问题如四边形的相关问题，常常会转化成三角形的问题去解决，在今天的这个图形-三角点阵的问题，能否转化为平行四边形去尝试解决呢？

师：很好，两位同学的思路都很好，所求的点数和应该是（每一行的点数和×行数）的一半。

从图形的角度分析实际上和数的角度本质上是一致的。不论哪一种方法，我们应该从中提升分析问题的能力。

2.动脑思考，解决问题

在此基础上回顾大家提出的问题，该如何解决？（小组交流）

上述问题我们将它们分成两类吧，第一类是直接利用点数和公式计算点数和;第二类是通过列一元二次方程（方程模型）解决点数和的存在性问题。（抽生板演：问题300个点是前几行的点数和？）

师：追问：600个点呢？学生独立完成。

3、感悟数学思想，积累活动经验

回顾探究三角点阵前n行点数和的规律以及解决大家提出的问题的过程，你积累了哪些数学活动经验，与大家分享一下：学生交流

4.拓展延伸：点数依次换为 2，4，6，…，2n，…？前 n 行的点数和能是 600 吗？试用一元二次方程说明道理.

师：在此基础上你还能想到什么样的问题来解决一下呢？

生：变式：若将点数依次换为1、3、5、7、...呢？

师：很好，能通过变式来进一步解决与之相关的问题，能够举一反三。

三、巩固练习（正六边形点阵问题）

四：课时小结

意图：本环节通过反思总结，将知识上升为经验，促进思维的再次生长。

五、数学思考

1、挖掘知识之间的内在联系，有效的课堂教学应研究“从哪里来？怎样来？到哪里去？怎样去”等研究性问题。

2、重视数学思想方法的渗透，教师引导学生在知識的迁移中体验数学思想方法，培养学生思维的延伸性。

3、充分展示学生的思维活动，出示问题后，留给学生充裕的时间思考，通过设置一些开放性的小问题，培养学生多角度看问题，在提问时，生4提出的与三角形面积有关的问题，偏离了方向，但是能够大胆的思考，将知识联系在一起，虽然想法不太成熟，但是能激发学生的思维。

参考文献

[1]由两个等差数列的公共项组成的新数列问题[J]. 史正. 中学数学杂志. 2014（01）

[2]中学数学两种思维结合学习论【M】温寒江。教育科学出版社，2016，11）