“割和补”在立体几何中的应用

张文平

【摘要】几何是高中数学中非常重要的一部分内容，在初中时期，学生就开始接触到几何知识，但只是平面几何的学习。高中教育阶段的数学几何知识，已发展成为立体几何，与初中阶段的平面几何相比，难度也大大提高，因此，高中数学教师必须要对立体几何的教学进行深入的研究，使学生能够切实掌握立体几何的知识。基于此，本文就对高中数学立体几何的教学进行了简单的探析。

【关键词】“割和补”  立体几何  应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）43-0050-02

立体几何是高中数学的难点之一，也是历年高考的重點和必考内容。在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏空间想象能力，不能对空间形式进行观察、识别、抽象思考。表现在不能准确地识别和分析出点线面之间的关系以及图形的正确形状。如何巧妙地将复杂图形进行分割和补充为比较简单的图形或特殊的图形，就可以把复杂问题转化为较简单化，从而可以简化解题的思想方法，大大简化解题的运算及论证过程，拓展学生的思维，培养和提高学生的空间想象能力。本文通过例子说明“割补法”在立体几何中的重要应用。

所谓“割补法”，即补体法和分割法的合称，是实现几何体之间相互转化的一条有效途径。补法就是把几何体通过补充或延伸成一个简单的或者我们熟悉的几何体，使我们解决的问题通过几何体之间相互转化变得更加简单明了的一种方法。割法就是把复杂的或不熟悉的几何体，分割成简单的或熟悉的几何体，使解决的问题变得简单的一种方法。近日在高三的模拟考试中有一道题引起了我对“割和补”在立体几何中的应用的反思。

在平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1：2;类似的，在空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为多少？

题目中的正四面体的内切球与外接球的半径之比是多少？从而联想到如何求正四面体的内切球与外接球的半径。

对于求正四面体的内切球与外接球的半径的方法很多。问题的关键是正四面体的内切球切在什么地方？图中怎么画？特别是怎么才能准确地识别出球心？外接球和内切球的半径和正四面体的面上的高和正四面体的高之间是什么关系，即使知道了相切在正四面体的四个面的中点，但是在画图时也不一定能准确地画出这个图，并且在证明和计算时也非常复杂。有没有一种简单的方法呢？“割补法”就是一种最有效、最好的方法，它不仅思想方法简单，学生最容易理解，而且大大减少了计算量。下面给出证明方法来说明“割补法”的应用。

从上面两个例子可以看出，只要题型合适再进行适当的割补就是可以大大简化解题思路和计算量。宜补则补，宜割则割，但是也不能生搬硬套，否则有可能弄巧成拙，反而会增加解题的难度。怎么才能看出哪些题宜补，哪些题宜割呢？勤能补拙，熟能生巧，只有通过大量的练习和不断的总结，才能发现“割补法”运用规律，才能灵活运用“割补法”解决几何问题。

参考文献：

[1]高博扬.割补法在高中立体几何解题中的应用分析[J].考试周刊.2019（44）：76-77.

[2]方清.割补法在高中立体几何解题中的应用[J].中学数学教学.2013（05）：43-45.

[3]蔡磊.割补法在高中立体几何解题中的应用研究[J]. 中学课程辅导（教师通讯），2015（7）：73.

[4]李暐.谈谈高中数学立体几何教学的体会[J].课程教育研究.2019（28）.